تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

فيديو الدرس: حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية: إيجاد طول ضلع الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد طول ضلع ناقص في مثلث قائم الزاوية من خلال اختيار النسبة المثلثية المناسبة لزاوية معطاة.

٢١:١٤

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد طول ضلع ناقص في مثلث قائم الزاوية من خلال اختيار النسبة المثلثية المناسبة لزاوية معطاة. سنفترض أن لدينا مثلثًا قائم الزاوية مثل المثلث الموضح، ومشار إلى إحدى الزاويتين غير القائمتين بالرمز 𝜃. الوتر هو الضلع الأطول في المثلث القائم الزاوية، وهو دائمًا الضلع المقابل للزاوية القائمة. وبالنسبة إلى الزاوية التي أشرنا إليها بالرمز 𝜃، فإن الضلع الذي يقابل هذه الزاوية يعرف باسم «الضلع المقابل». وأخيرًا، يعرف الضلع الآخر المجاور للزاوية 𝜃؛ وهو ليس الوتر، باسم «الضلع المجاور». وهو أيضًا الضلع المحصور بين الزاوية القائمة والزاوية 𝜃.

إن النسب المثلثية نسب بين طولي ضلعين من هذه الأضلاع الثلاثة؛ أي الضلع المقابل والضلع المجاور والوتر. النسب المثلثية الثلاثة؛ أي الجيب وجيب التمام والظل والتي يشار إليها اختصارًا بـ جا وجتا وظا، تعبر عن النسب بين طولي ضلعين مختلفين في مثلث قائم الزاوية. لأي قيمة ثابتة للزاوية 𝜃، تكون النسبة بين كل ضلعين ثابتة دائمًا، وذلك بغض النظر عن كبر أبعاد المثلث. يمكننا تذكر تعريفات النسب المثلثية الثلاثة. تتضمن النسب المثلثية أضلاع المثلث الثلاثة كما ذكرنا. وعليك تذكر أي ضلع من أضلاع المثلث يأتي في البسط وأيها يأتي في المقام لكل نسبة مثلثية.

إذن، النسبة الأولى هي نسبة الجيب؛ أي جا 𝜃 لزاوية معطاة، وتساوي طول الضلع المقابل للزاوية مقسومًا على طول الوتر. وجتا 𝜃 يساوي طول الضلع المجاور مقسومًا على طول الوتر. وظا 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل مقسومًا على طول الضلع المجاور. هيا نتناول الآن كيفية استخدام هذه النسب المثلثية لحساب طول مجهول في مثلث قائم الزاوية.

أوجد قيمة ﺱ في الشكل الموضح. قرب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

في هذا المثلث القائم الزاوية، لدينا طول أحد الأضلاع وقياس إحدى الزاويتين الأخريين. ونريد حساب طول ضلع آخر. دعونا نبدأ بتسمية أطوال أضلاع المثلث بالنسبة إلى الزاوية التي قياسها ٦٨ درجة. الضلع المقابل للزاوية القائمة مباشرة هو الوتر دائمًا. والضلع الذي يقابل الزاوية التي قياسها ٦٨ درجة هو الضلع المقابل. وأخيرًا، الضلع المحصور بين الزاوية القائمة والزاوية التي قياسها ٦٨ درجة هو الضلع المجاور. يمكننا استرجاع النسب المثلثية لتحديد أي نسبة منها علينا استخدامها في هذا السؤال.

الضلع الذي نريد حساب طوله هو الضلع المقابل، والضلع الذي نعرف طوله هو الضلع المجاور، وهذا يوضح أننا سنستخدم نسبة الظل. دعونا نسترجع تعريفها. في المثلث القائم الزاوية، ظا 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل مقسومًا على طول الضلع المجاور. سنعوض الآن بقيمة 𝜃 وبقيمتي الضلعين المقابل والمجاور في هذا المثلث أو التعبيرين الدالين عليهما. قياس 𝜃 يساوي ٦٨ درجة. طول الضلع المقابل مجهول، لكن لدينا التعبير ﺱ. وطول الضلع المجاور يساوي ١١ وحدة. وبهذا تصبح لدينا المعادلة ظا ٦٨ درجة يساوي ﺱ على ١١.

لحل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﺱ، علينا ضرب كلا الطرفين في ١١. هذا يعطينا ١١ مضروبًا في ظا ٦٨ درجة يساوي ﺱ. أو يمكننا كتابة ذلك على الصورة ١١ ظا ٦٨ درجة. لا نحتاج هنا إلى كتابة علامة الضرب. يمكننا الآن حساب قيمة ذلك على الآلة الحاسبة، مع التأكد من ضبطها على نظام الدرجات. ومن ذلك، نحصل على ٢٧٫٢٢٥. يطلب منا السؤال تحديدًا تقريب الإجابة لأقرب منزلتين عشريتين. إذن، بتقريب الإجابة، نحصل على ٢٧٫٢٣. لم يرد في السؤال أي وحدات، إذن الإجابة ببساطة هي ٢٧٫٢٣ وحدة طول.

في هذا المثال، الطول المجهول الذي أردنا حساب قيمته كان في بسط الكسر. ومن ثم، كانت إعادة ترتيب المعادلة لإيجاد قيمة ﺱ طريقة مباشرة تمامًا. دعونا الآن نتناول مثالًا آخر حيث يكون المجهول موجودًا في مقام الكسر.

أوجد قيمة ﺱ لأقرب منزلتين عشريتين.

في هذا المثلث القائم الزاوية، نعرف قياس إحدى الزاويتين الأخريين وطول أحد أضلاعه. ونريد حساب طول ضلع آخر في هذا المثلث. يمكننا فعل ذلك باستخدام حساب المثلثات. سنبدأ بتسمية الأضلاع الثلاثة في هذا المثلث بالنسبة إلى الزاوية التي قياسها ٢٠ درجة. الضلع المقابل للزاوية القائمة هو وتر المثلث. والضلع الذي يقابل الزاوية التي قياسها ٢٠ درجة هو الضلع المقابل. والضلع المحصور بين الزاوية القائمة والزاوية التي قياسها ٢٠ درجة هو الضلع المجاور.

بعد ذلك، دعونا نتذكر النسب المثلثية لنحدد ما إذا كنا نحتاج إلى استخدام نسبة الجيب أو جيب التمام أو الظل في هذا السؤال. الضلع الذي نعرف طوله هو الضلع المقابل. والضلع الذي نريد حساب طوله هو الوتر. إذن، سنستخدم نسبة الجيب. لأي زاوية 𝜃 معطاة في مثلث قائم الزاوية، تكون نسبة الجيب؛ جا 𝜃، مساوية لطول الضلع المقابل مقسومًا على طول الوتر. يمكننا التعويض بالقيم التي لدينا لهذا المثلث في هذا التعريف. قياس 𝜃 يساوي ٢٠ درجة، وطول الضلع المقابل يساوي ١٢ وحدة، وطول الوتر هو قيمة المجهول ﺱ هذا. إذن، لدينا المعادلة جا ٢٠ درجة يساوي ١٢ على ﺱ.

حسنًا، علينا أن ننتبه هنا. ثمة خطأ شائع للغاية؛ وهو اعتقاد أن المجهول، وهو ﺱ في هذه الحالة، يجب أن يكون دائمًا في بسط الكسر؛ ومن ثم يكتب بدلًا من ذلك جا ٢٠ درجة يساوي ﺱ على ١٢. لكن بالطبع إذا فعلنا ذلك، فإننا بذلك سنقسم طول الوتر على طول الضلع المقابل، وليس طول الضلع المقابل على طول الوتر. وهذا خطأ شائع للغاية. علينا إذن أخذ الوقت الكافي عند التعويض بقيمتي ضلعي المثلث أو التعبيرين الدالين عليهما في تعريف النسب المثلثية. علينا الآن حل هذه المعادلة حيث يوجد ﺱ في مقام الكسر، وهذا الحل يتطلب خطوتين.

في البداية، سنضرب طرفي المعادلة في المجهول ﺱ. في الطرف الأيمن، يصبح لدينا ﺱجا ٢٠ درجة، وفي الطرف الأيسر، يبسط ١٢ على ﺱ مضروبًا في ﺱ إلى ١٢. بعد ذلك، علينا قسمة طرفي المعادلة على جا ٢٠ درجة. تذكر أن هذا مجرد عدد؛ لذا لا بأس إطلاقًا من القسمة عليه. هذا يعطينا ﺱ يساوي ١٢ على جا ٢٠ درجة. وأخيرًا، نحسب قيمة ذلك باستخدام الآلة الحاسبة، وهذا يعطينا ٣٥٫٠٨٥. تذكر أن علينا التأكد من ضبط الآلة الحاسبة على نظام الدرجات للحصول على الإجابة الصحيحة. يطلب منا السؤال تحديدًا تقريب الإجابة لأقرب منزلتين عشريتين. لذا، سنقرب الإجابة إلى ٣٥٫٠٩. إذن، بتطبيق نسبة الجيب في هذا المثلث القائم الزاوية، وجدنا أن قيمة ﺱ لأقرب منزلتين عشريتين هي ٣٥٫٠٩.

لقد تناولنا أمثلة على كيفية حساب طول ضلع مجهول عند وجوده في بسط الكسر أو في مقام الكسر. دعونا نلخص الخطوات الأساسية التي علينا إجراؤها. في البداية، نحدد أي أضلاع المثلث الثلاثة يمثل الضلع المقابل وأيها يمثل الضلع المجاور وأيها يمثل الوتر. بعد ذلك، نحدد الضلع الذي نعرف طوله والضلع الذي نريد حساب طوله. ثم نتذكر النسب المثلثية لنحدد النسبة المثلثية التي علينا استخدامها.

بعد ذلك، نكتب تعريف هذه النسبة المثلثية ونعوض بالقيم المعلومة في المثلث المحدد الذي نتعامل معه. وأخيرًا، نحل المعادلة لإيجاد الطول الناقص باستخدام الآلة الحاسبة. تذكر أن الأمر قد يتطلب أحيانًا إعادة ترتيب أكثر تعقيدًا إذا كان الضلع الذي نريد حساب طوله في مقام الكسر.

في كل مسألة من المسائل التي تناولناها حتى الآن، كان لدينا شكل مرسوم للمثلث الذي علينا استخدامه. هذا الأمر قد لا يحدث دائمًا. لذا، دعونا نتناول سؤالًا يطلب منا أولًا رسم المثلث بناء على وصف كلامي.

‏ﺃﺏﺟ مثلث قائم الزاوية في ﺏ؛ حيث قياس الزاوية ﺟ يساوي ٦٢ درجة وطول ﺃﺟ يساوي ١٧ سنتيمترًا. أوجد طول كل من ﺃﺏ وﺏﺟ لأقرب منزلتين عشريتين، وأوجد قياس الزاوية ﺃ لأقرب درجة.

دعونا نبدأ برسم هذا المثلث. علمنا من السؤال أن المثلث قائم الزاوية في ﺏ. إذن، ﺏ هو رأس الزاوية القائمة، والرأسان الآخران هما ﺃ وﺟ. المعلومة الأخرى التي لدينا هي أن قياس الزاوية ﺟ يساوي ٦٢ درجة، وطول ﺃﺟ يساوي ١٧ سنتيمترًا. مطلوب منا إيجاد طول كل من ﺃﺏ وﺏﺟ. وهذان هما الضلعان الآخران في المثلث. لذلك سنسميهما ﺱ سنتيمتر وﺹ سنتيمتر. ومطلوب منا أيضًا إيجاد قياس الزاوية ﺃ.

حسنًا، يمكننا إيجاد قياس الزاوية ﺃ مباشرة؛ لأن لدينا مثلثًا نعرف فيه قياسي الزاويتين الأخريين. مجموع قياسات الزوايا في أي مثلث يساوي ١٨٠ درجة؛ لذا يمكننا إيجاد قياس الزاوية الثالثة بطرح قياسي الزاويتين الأخريين من ١٨٠ درجة. وهذا يعطينا ٢٨ درجة. والآن، دعونا نفكر في كيفية إيجاد طولي الضلعين الآخرين في هذا المثلث. سنبدأ بتسمية الأضلاع الثلاثة بالنسبة إلى الزاوية التي قياسها ٦٢ درجة. ‏ﺃﺟ هو الوتر، وﺃﺏ — الذي نطلق عليه ﺱ سنتيمتر — هو الضلع المقابل، وﺏﺟ هو الضلع المجاور.

سنسترجع بعد ذلك النسب المثلثية لتحديد النسبة التي نحتاج إليها لحساب طول كل ضلع. سنبدأ بالضلع ﺃﺏ، هذا الضلع الذي نريد حساب طوله هو الضلع المقابل، والضلع الذي نعرف طوله هو الوتر. لذا، سنستخدم نسبة الجيب. إننا نعلم أن جا 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل مقسومًا على طول الوتر. بالتعويض بالقيم التي لدينا في هذا المثلث، يصبح لدينا جا ٦٢ درجة يساوي ﺱ على ١٧. سنوجد قيمة ﺱ بضرب طرفي المعادلة في ١٧ لنحصل على ﺱ يساوي ١٧ جا ٦٢ درجة. بحساب قيمة ذلك، نحصل على ١٥٫٠١٠١ وهو ما نقربه إلى ١٥٫٠١.

لحساب طول الضلع الثاني؛ ﺏﺟ، لدينا خيار آخر. بما أننا نعلم الآن طولي ضلعين في هذا المثلث القائم الزاوية، يمكننا حساب طول الضلع الثالث بتطبيق نظرية فيثاغورس. لكن بما أننا نركز على حساب المثلثات هنا، دعونا نحسب طول ﺏﺟ باستخدام النسب المثلثية. هذه المرة، الضلع الذي نريد حساب طوله هو الضلع المجاور، والضلع المعطى لنا طوله في البداية هو الوتر. إذن، سنستخدم نسبة جيب التمام. أو بدلًا من ذلك، يمكننا استخدام الضلع الذي حسبناه للتو، وهو ما يجعل لدينا الضلعين المقابل والمجاور. وحينئذ، سنستخدم نسبة الظل. لكن يفضل استخدام القيمة المعطاة أصلًا في السؤال، تحسبًا لاحتمال حدوث أي أخطاء عند حساب طول الضلع المقابل.

بالتعويض بالقيمة ٦٢ درجة عن 𝜃، وﺹ عن طول الضلع المجاور، و١٧ عن طول الوتر، نحصل على جتا ٦٢ درجة يساوي ﺹ على ١٧. يمكننا بعد ذلك ضرب طرفي المعادلة في ١٧ لنحصل على ﺹ يساوي ١٧ جتا ٦٢ درجة ثم نحسب القيمة على الآلة الحاسبة، مع التأكد من ضبطها على نظام الدرجات. بعد ذلك، نقرب الناتج إلى أقرب منزلتين عشريتين، ليصبح لدينا ٧٫٩٨. وبذلك، نكون قد انتهينا من حل المسألة. طول ﺃﺏ يساوي ١٥٫٠١ سنتيمترًا. وطول ﺏﺟ يساوي ٧٫٩٨ سنتيمترات، وذلك بعد تقريب كل منهما لأقرب منزلتين عشريتين. وقياس الزاوية ﺃ هو ٢٨ درجة.

إن حساب المثلثات القائمة الزاوية مفيد للغاية؛ حيث يمكن تطبيقه أيضًا في السياقات العملية. في أغلب الأحيان، تكون المسائل التي تقابلنا في صورة قصة أو وصف لمواقف حياتية، ويمكن حلها بتطبيق الطرق التي نتدرب عليها هنا. إذا لم يكن لدينا شكل، فإن الخطوة الأولى الأساسية هي رسم شكل بناء على المعلومات المعطاة. دعونا نلق نظرة على مثال أخير من هذا النوع.

طائرة ورقية، على ارتفاع عمودي ٤٤ مترًا، مربوطة في خيط يميل على الأفقي بزاوية قياسها ٦٠ درجة. أوجد طول الخيط لأقرب منزلة عشرية.

دعونا نبدأ برسم شكل يعبر عن هذه المسألة. لدينا طائرة ورقية مربوطة في خيط. يميل هذا الخيط بزاوية قياسها ٦٠ درجة على الأفقي، ويوجد ارتفاع عمودي للطائرة الورقية. وهذا يعني أن ارتفاع الطائرة الورقية يصنع زاوية قائمة مع الأفقي، وطول الارتفاع ٤٤ مترًا. نلاحظ الآن أن لدينا مثلثًا قائم الزاوية مكون من الأفقي والرأسي وخيط الطائرة الورقية. إننا نريد حساب طول الخيط؛ لذا دعونا نسمه ﺹ متر. نحن نتعامل مع مثلث قائم الزاوية؛ لذا يمكننا حل هذه المسألة باستخدام حساب المثلثات.

سنبدأ بتسمية الأضلاع الثلاثة في المثلث بالنسبة إلى الزاوية التي قياسها ٦٠ درجة. بعد ذلك، سنسترجع تعريف النسب المثلثية لمساعدتنا في تحديد النسبة المثلثية التي نحتاج إليها هنا. الضلع الذي نعرف طوله هو الضلع المقابل، والضلع الذي نريد حساب طوله هو الوتر. إذن، سنستخدم نسبة الجيب. لأي زاوية 𝜃 في مثلث قائم الزاوية، جيب الزاوية يساوي طول الضلع المقابل لها مقسومًا على طول الوتر. يمكننا بعد ذلك التعويض بقيم 𝜃 والضلع المقابل والوتر في هذه المعادلة، لنجد أن لدينا جا ٦٠ درجة يساوي ٤٤ على ﺹ.

علينا أن ننتبه هنا؛ لأن المجهول موجود في مقام هذا الكسر. وبعد ذلك، نحل هذه المعادلة. بما أن ﺹ موجود في المقام، فإن الخطوة الأولى هي ضرب طرفي المعادلة في ﺹ، وهو ما يعطينا ﺹجا ٦٠ درجة يساوي ٤٤. بعد ذلك، نقسم طرفي المعادلة على جا ٦٠ درجة، وهو ما يعطينا ﺹ يساوي ٤٤ على جا ٦٠ درجة. ثم نحسب قيمة ذلك على الآلة الحاسبة، والتي يجب ضبطها على نظام الدرجات، ليصبح لدينا ٥٠٫٨٠٦. يطلب منا السؤال تقريب الإجابة لأقرب منزلة عشرية. لذا، سنقرب هذه القيمة، ونستخدم وحدة المتر. إذن، طول الخيط لأقرب منزلة عشرية هو ٥٠٫٨ مترًا.

دعونا الآن نلخص النقاط الأساسية التي تناولناها في هذا الفيديو. عند التعامل مع المثلثات القائمة الزاوية، فإننا نستخدم المسميات «الضلع المقابل» و«الضلع المجاور» و«الوتر» للإشارة إلى الأضلاع الثلاثة للمثلث. الوتر هو الضلع المقابل للزاوية القائمة، ويكون دائمًا أطول ضلع في المثلث. يحدد الضلعان المقابل والمجاور بالنسبة إلى الزاوية المعطاة، ويشار إليها غالبًا بالرمز 𝜃. الضلع المقابل هو الضلع الذي يقابل هذه الزاوية مباشرة، بينما الضلع المجاور هو الضلع المحصور بين هذه الزاوية والزاوية القائمة. يمكننا استرجاع النسب المثلثية وتحديد النسبة التي علينا استخدامها لحساب طول ضلع ناقص. ‏جا 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل على طول الوتر. وجتا 𝜃 يساوي طول الضلع المجاور على طول الوتر. وظا 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل على طول الضلع المجاور.

عند استخدام حساب المثلثات لإيجاد طول ضلع مجهول في مثلث قائم الزاوية، فإننا نطبق الخطوات التالية. أولًا، نسمي أضلاع المثلث بالنسبة إلى الزاوية المعلومة 𝜃. ثانيًا، نسترجع النسب المثلثية ونختار النسبة المثلثية الصحيحة. وبعد ذلك، نعوض بقياس الزاوية المعلومة وطول الضلع المعلوم. وأخيرًا، نحل المعادلة لحساب الطول المجهول. تذكر أن علينا الانتباه جيدًا عند إعادة الترتيب إذا كان المجهول في مقام الكسر. وعرفنا أنه يمكن تطبيق هذه الطرق على المسائل الكلامية التي تصف أحد المواقف الحياتية.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.