فيديو الدرس: التحويل بين الصورة اللوغاريتمية والصورة الأسية الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحول المعادلات بين الصورة اللوغاريتمية والصورة الأسية. سنبدأ بتحديد شكل المعادلة في كلتا هاتين الصورتين.

الدالة اللوغاريتمية هي معكوس الدالة الأسية أو مقابلها. وهو ما يعني أن جميع المعادلات الأسية يمكن كتابتها في صورة لوغاريتمية والعكس صحيح. فعندما يكون ﺱ أكبر من صفر، وﺃ أكبر من صفر، وﺃ لا يساوي واحدًا، يكون ﺹ يساوي لوغاريتم ﺱ للأساس ﺃ مكافئًا لـ ﺃ أس ﺹ يساوي ﺱ. أي معادلة مكتوبة في صورة لوغاريتمية لها معادلة مكافئة في الصورة الأسية. سنتناول الآن سؤالًا يتطلب تغيير معادلة مكتوبة في صورة أسية إلى معادلة أخرى مكتوبة في صورة لوغاريتمية.

اكتب أربعة أس سالب اثنين يساوي واحدًا على ١٦ في الصورة اللوغاريتمية المكافئة.

المعادلة الابتدائية لدينا مكتوبة في الصورة الأسية. هذا يعني أنها مكتوبة في صورة ﺃ أس ﺱ يساوي ﺹ. ونعلم أنه إذا كان ﺃ أس ﺱ يساوي ﺹ، فإن ﺱ يساوي لوغاريتم ﺹ للأساس ﺃ. فأي معادلة أسية لها معادلة لوغاريتمية مكافئة. في هذا السؤال، ﺃ يساوي أربعة، وﺱ يساوي سالب اثنين، وﺹ يساوي واحدًا على ١٦. وبالتالي، يمكننا استنتاج أن سالب اثنين يساوي لوغاريتم واحد على ١٦ للأساس أربعة. إذن، فإن الصورة اللوغاريتمية المكافئة للمعادلة الأسية أربعة أس سالب اثنين يساوي واحدًا على ١٦ هي سالب اثنين يساوي لوغاريتم واحد على ١٦ للأساس أربعة.

في السؤال التالي، سنحول معادلة من الصورة اللوغاريتمية إلى الصورة الأسية المكافئة لها.

اكتب لوغاريتم ﻉ للأساس ٢٠ يساوي نصفًا في الصورة الأسية المكافئة.

في هذا السؤال، لدينا معادلة في الصورة اللوغاريتمية. هذا يعني أنه يمكن كتابتها في صورة لوغاريتم ﺹ للأساس ﺃ يساوي ﺱ. نعرف أن أي معادلة في الصورة اللوغاريتمية تكون لها معادلة مكافئة في الصورة الأسية؛ بمعنى أنه إذا كان لوغاريتم ﺹ للأساس ﺃ يساوي ﺱ، فإن ﺹ يساوي ﺃ أس ﺱ. في هذا السؤال، الأساس ﺃ يساوي ٢٠، وﺹ يساوي ﻉ، وﺱ يساوي نصفًا. وبالتالي، يمكن إعادة كتابة المعادلة في صورة ﻉ يساوي ٢٠ أس نصف. هذه هي إذن الصورة الأسية المكافئة للمعادلة لوغاريتم ﻉ للأساس ٢٠ يساوي نصفًا.

بالرغم من أن هذه الخطوة ليست مطلوبة في هذا السؤال، نتذكر أن ﺱ أس نصف يساوي الجذر التربيعي لـ ﺱ. وهو ما يعني أن ٢٠ أس نصف يساوي الجذر التربيعي لـ ٢٠، وهو الناتج الذي يمكن تبسيطه باستخدام قوانين الجذور أو الجذور الصماء إلى اثنين جذر خمسة. إذن، ﻉ يساوي اثنين جذر خمسة. وبما أن المطلوب منا هو فقط كتابة الإجابة في الصورة الأسية، إذن فإن الإجابة هي ﻉ يساوي ٢٠ أس نصف.

في السؤالين التاليين، سنتعامل مع الصورة اللوغاريتمية للأساس ١٠. ويعرف ذلك باللوغاريتم المعتاد.

اكتب ١٠ تكعيب يساوي ١٠٠٠ في الصورة اللوغاريتمية المكافئة.

المعادلة المعطاة في هذا السؤال مكتوبة في صورة أسية من النوع ﺃ أس ﺱ يساوي ﺹ. نعلم أن أي معادلة في الصورة الأسية لها صورة لوغاريتمية مكافئة. وبالتالي إذا كان ﺃ أس ﺱ يساوي ﺹ، فإن ﺱ يساوي لوغاريتم ﺹ للأساس ﺃ. في هذا السؤال، الأساس ﺃ يساوي ١٠، والأس ﺱ يساوي ثلاثة، وﺹ يساوي ١٠٠٠. وهو ما يعني أنه يمكننا إعادة كتابة المعادلة في صورة ثلاثة يساوي لوغاريتم ١٠٠٠ للأساس ١٠.

نتذكر أن اللوغاريتم الذي أساسه ١٠ يسمى اللوغاريتم المعتاد. وهذا يعني أنه عند كتابة لوغاريتم بدون أساس، يفترض أن أساسه يساوي ١٠. زر اللوغاريتم (log) الموجود في بعض الآلات الحاسبة العلمية هو لوغاريتم أساسه ١٠. وعندما يكون الأساس ١٠، فليس علينا كتابة الأساس. وبالتالي، فإن لوغاريتم ١٠٠٠ يساوي ثلاثة. إذن هذه هي الصورة اللوغاريتمية المكافئة لـ ١٠ تكعيب أو ١٠ أس ثلاثة يساوي ١٠٠٠.

اكتب لوغاريتم مليون يساوي ستة في الصورة الأسية المكافئة.

المعادلة المعطاة في السؤال مكتوبة في الصورة اللوغاريتمية التي لها صورة عامة هي لوغاريتم ﺹ للأساس ﺃ يساوي ﺱ. نعلم أن أي معادلة في الصورة اللوغاريتمية لها معادلة مكافئة في الصورة الأسية. وبالتالي إذا كان لوغاريتم ﺹ للأساس ﺃ يساوي ﺱ، فإن ﺹ يساوي ﺃ أس ﺱ. نلاحظ في هذا السؤال أنه لا يوجد أساس. وعند كتابة لوغاريتم بدون أساس، يفترض أن يكون أساسه ١٠. ويعرف هذا النوع باللوغاريتم المعتاد. نلاحظ إذن أن ﺃ يساوي ١٠، وﺹ يساوي مليونًا، وﺱ يساوي ستة.

بإعادة كتابة المعادلة في الصورة الأسية، يصبح لدينا مليون يساوي ١٠ أس ستة. ونعلم أن هذه الإجابة صحيحة؛ لأن ١٠ في ١٠ في ١٠ في ١٠ في ١٠ في ١٠ يساوي مليونًا. وعند رفع العدد ١٠ إلى قوة ما، يناظر الأس عدد الأصفار.

في آخر سؤالين، سنتعامل مع اللوغاريتم الطبيعي.

اكتب المعادلة الأسية ﻫ أس ﺱ يساوي خمسة في صورة لوغاريتمية.

للإجابة عن هذا السؤال، علينا أن نتذكر تعريف اللوغاريتم الطبيعي. عندما يكون ﻫ أس ﺹ يساوي ﺱ، فإن لوغاريتم ﺱ للأساس ﻫ يساوي لوغاريتم ﺱ للأساس ﻫ، ويكتب في صورة اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ يساوي ﺹ. فدالة اللوغاريتم الطبيعي هي معكوس الدالة الأسية. في هذا السؤال، لدينا المعادلة الأسية ﻫ أس ﺱ يساوي خمسة. بإعادة كتابة هذه المعادلة في الصورة اللوغاريتمية، يصبح لدينا ﺱ يساوي اللوغاريتم الطبيعي لخمسة. إذن، يمكن كتابة المعادلة الأسية ﻫ أس ﺱ يساوي خمسة في الصورة اللوغاريتمية ﺱ يساوي اللوغاريتم الطبيعي لـ لخمسة.

اكتب المعادلة اللوغاريتمية ثمانية يساوي اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ في صورة أسية.

في هذا السؤال، لدينا اللوغاريتم الطبيعي اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ. نعرف أن اللوغاريتم الطبيعي اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ يساوي لوغاريتم ﺱ للأساس ﻫ. كما نعرف أن اللوغاريتم الطبيعي لـ هو الدالة العكسية للدالة الأسية. فإذا كان ﺹ يساوي اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ، فإن ﻫ أس ﺹ يساوي ﺱ. في هذا السؤال، ثمانية يساوي اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ. وهو ما يعني أن ﻫ أس ثمانية يساوي ﺱ. إذن يمكن كتابة المعادلة اللوغاريتمية ثمانية يساوي اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ في الصورة الأسية ﻫ أس ثمانية يساوي ﺱ.

سنلخص الآن النقاط الأساسية المستخلصة من هذا الفيديو. بدأنا هذا الفيديو بتذكر أن الدالة اللوغاريتمية هي معكوس الدالة الأسية. وهو ما يعني أن كل معادلة لوغاريتمية لها معادلة أسية مكافئة. إذا كان ﺱ يساوي لوغاريتم ﺹ للأساس ﺃ، فإن ﺃ أس ﺱ يساوي ﺹ. ويتيح لنا ذلك التحويل من معادلة لوغاريتمية إلى معادلة أسية والعكس صحيح. كما عرفنا أيضًا أن اللوغاريتم الذي يكتب بدون أساس من المفترض أن يكون أساسه ١٠. ويعرف ذلك باللوغاريتم المعتاد.

عرفنا أيضًا أنه يمكن التعبير عن اللوغاريتم الطبيعي بالصورة اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ. وهذا يماثل لوغاريتم ﺱ للأساس ﻫ. كما عرفنا أن دالة اللوغاريتم الطبيعي هي معكوس الدالة الأسية. وهذا يعني أنه إذا كان ﺹ يساوي اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ، فإن ﻫ أس ﺹ يساوي ﺱ.