نسخة الفيديو النصية
دائرة منطقية بها أربعة دخول، كل دخل يمكن أن تكون قيمته صفرًا أو واحدًا. كم صفًّا يجب عليك إضافته إلى جدول الصواب لتوضيح كل التجميعات الممكنة لهذه الدخول؟
للإجابة عن هذا السؤال، علينا أن نتذكر أن جدول الصواب هو نوع من الجداول يوضح خرج دائرة منطقية لكل تجميعة ممكنة من قيم الدخل. في هذه الحالة، نعرف من المعطيات أن الدائرة لها أربعة دخول. هذا يعني أن جدول الصواب المناظر سيحتوي على أربعة أعمدة دخول. أي عمود واحد لكل قيمة دخل من الدخول الأربعة في الدائرة. ثم يوضح العمود الأخير خرج الدائرة لكل تجميعة ممكنة من قيم الدخل.
إذن، على سبيل المثال، سيحتوي الصف الأول في جدول الصواب هذا على دخل أول قيمته صفر، ودخل ثان قيمته صفر أيضًا، ودخل ثالث قيمته صفر، ودخل رابع قيمته صفر. ومن ثم ستكون قيمة عمود الخرج هذا هو خرج الدائرة، عندما يكون لكل دخل من هذه الدخول القيمة المدرجة في هذا الصف. إذن، في هذه الحالة، قيمة الدخول الأربعة كلها تساوي صفرًا.
وبما أننا لم نعرف من المعطيات أي شيء عن البوابات المنطقية في الدائرة، فليس لدينا طريقة نوجد بها قيمة الخرج في الواقع. لكن يتضح لنا أن هذا لن يهم. لأنه ليس مطلوبًا منا إيجاد قيمة الخرج على الإطلاق. نعرف من المعطيات أنه مطلوب منا معرفة عدد الصفوف التي يجب أن نضيفها إلى جدول الصواب؛ لكي ندرج كل التجميعات الممكنة لقيم الدخل.
لكي نجيب عن هذا السؤال، فإن ما يعنينا فقط هو الأعمدة الأربعة الأولى من الجدول. نعرف من المعطيات أن كل دخل يمكن أن تكون قيمته صفرًا أو واحدًا. إحدى طرق الإجابة عن هذا السؤال هي محاولة كتابة كل التجميعات الممكنة بصورة منهجية. وبما أننا بدأنا هنا بجعل كل الدخول تساوي صفرًا، فربما تكون التجميعة التالية التي سيكون من المنطقي أن نكتبها هي صفر، صفر، صفر للدخول الثلاثة الأولى، ثم واحد لقيمة الدخل الرابع. ومن هنا، يمكننا أن نجعل الدخل الثالث يساوي واحدًا، والدخول الأخرى تساوي صفرًا، بحيث يصبح لدينا صفر، وصفر، وواحد، وصفر.
يمكننا، من حيث المبدأ، المتابعة بهذه الطريقة. وفي نهاية المطاف، سيصبح لدينا صف في الجدول لكل تجميعة ممكنة من الدخول التي يمكننا أن ندرجها. ثم نحتاج فقط إلى عد الصفوف للحصول على الإجابة. لكن اتضح أن ثمة طريقة أفضل بكثير يمكننا استخدامها. حيث لا تكمن مشكلة هذه الطريقة التي نحاول فيها إدراج جميع التجميعات بأنفسنا في أنها قد تستغرق بعض الوقت فحسب، ولكن أيضًا من الممكن إغفال إحدى التجميعات عن طريق الخطأ. بدلًا من ذلك، دعونا نشاهد معًا كيف يمكننا استخدام هذه الطريقة الأفضل.
نعرف أن الدائرة تحتوي على أربعة دخول. وبما أن كل دخل من هذه الدخول قد تساوي قيمته صفرًا أو واحدًا، إذن، فكل دخل له قيمتان محتملتان. من المهم أن ندرك أن هذه الدخول هي كميات مستقلة. هذا يعني أنه، على سبيل المثال، إذا كانت قيمة الدخل الأول تساوي صفرًا أو واحدًا، فإن قيمة الدخل الثاني والثالث والرابع قد تختلف على نحو مستقل عن الدخل الأول وتساوي صفرًا أو واحدًا بدورها. وكل هذه الاحتمالات المختلفة هي التي تؤدي إلى تجميعات ممكنة للقيم الأربع.
لتوضيح ذلك أكثر، دعونا نتناول نظامًا مبسطًا يحتوي على قيمتين للدخل فقط. في هذه الحالة، يمكن أن يساوي الدخل الأول صفرًا أو واحدًا. وبشكل مستقل تمامًا عن الدخل الأول، يمكن أن يساوي الدخل الثاني صفرًا أو واحدًا. يعني هذا وجود قيمتين محتملتين للدخل الأول وقيمتين محتملتين للدخل الثاني. بما أن أيًّا من هاتين القيمتين للدخل الأول يمكن أن يترافق مع أي من قيمتي الدخل الثاني، فإن إجمالي عدد التجميعات المحتملة يساوي عدد احتمالات الدخل الأول، وهو اثنان، مضروبًا في عدد احتمالات الدخل الثاني، وهو اثنان أيضًا. وهو ما يساوي إجمالي أربع تجميعات.
في هذا السؤال، لدينا أربعة دخول بدلًا من اثنين. وكما هو الحال في حالة وجود دخلين، نعرف أن كل دخل يمكن أن تكون قيمته صفرًا أو واحدًا، وعليه، يكون لكل دخل قيمتان محتملتان. يمكننا إيجاد عدد التجميعات الممكنة بالطريقة نفسها التي استخدمناها مع الدخلين. أي أن عدد التجميعات المحتملة يساوي عدد القيم المحتملة للدخل الأول، والذي نعلم أنه يساوي اثنين، مضروبًا في عدد القيم المحتملة للدخل الثاني، والذي يساوي اثنين أيضًا، مضروبًا في عدد القيم المحتملة للدخل الثالث، والذي نعرف أيضًا أنه يساوي اثنين. وأخيرًا، نضربه في معامل رابع قدره اثنان، يمثل عدد القيم المحتملة للدخل الرابع. يمكننا أيضًا إعادة كتابة ناتج المعاملات الأربعة التي قدرها اثنان في صورة اثنين أس أربعة.
باختصار، يمكننا ملاحظة أنه عندما نظرنا إلى حالة الدخلين، وجدنا أن عدد التجميعات المحتملة يساوي اثنين مضروبًا في اثنين. وكان يمكننا أن نختار كتابة ذلك في صورة اثنين أس اثنين. في الواقع، بالنسبة إلى أي نظام به عدد معين من الدخول، والذي نرمز له هنا بالرمز 𝑛، إذا كانت الدخول مستقلة تمامًا بعضها عن بعض، وقيمة كل دخل منها من الممكن أن تساوي أي قيمتين محتملتين، فسيصبح لدينا 𝑛 من معاملات العدد اثنين في هذه العملية الحسابية. أي معامل واحد لكل 𝑛 من الدخول. هذا يعني أنه عند وجود 𝑛 من الدخول، يوجد اثنان أس 𝑛 من التجميعات الممكنة لقيم الدخل.
بالعودة إلى السؤال، لدينا دائرة بها أربعة دخول، أو يمكننا أن نقول إن 𝑛 يساوي أربعة. وقد وجدنا في هذه الحالة أن عدد التجميعات المحتملة هو اثنان أس أربعة. بحساب قيم ذلك، نحصل على إجابة نهائية، وهي 16.