فيديو: امتحان الجبر والهندسة الفراغية • ٢٠١٧/٢٠١٦ • السؤال الثامن عشر

امتحان الجبر والهندسة الفراغية • ٢٠١٧/٢٠١٦ • السؤال الثامن عشر

٠٨:٥١

‏نسخة الفيديو النصية

اكتب معادلة المستوى الذي يحتوي على الخط المستقيم ل واحد، حيث المتجه ر يساوي صفر وتلاتة وسالب خمسة، زائد ك واحد في ستة وسالب اتنين وسالب واحد. ويوازى الخط المستقيم ل اتنين، حيث المتجه ر يساوي واحد وسبعة وسالب أربعة، زائد ك اتنين في واحد وسالب تلاتة وتلاتة.

مُعطى عندنا هنا في السؤال إن فيه مستوى ما، وليكن المستوى ط. بيحتوي على الخط المستقيم ل واحد. وفي نفس الوقت بيوازى خط مستقيم آخر هو ل اتنين. المطلوب مننا هو إننا نكتب معادلة المستوى ده.

عشان نقدر نكتب معادلة أي مستوى، فإحنا محتاجين حاجتين. نقطة بتنتمي إلى المستوى، ومتجه اتجاه عمودي على المستوى. أول حاجة هنبدأ نشوف إزاي هنوجد النقطة اللي بتنتمي إلى المستوى. إحنا عارفين إن الخط المستقيم ل واحد ده خط واقع على المستوى. يبقى لو شفنا المعادلة بتاعته، وقدرنا نوجد النقطة اللي بتقع على الخط المستقيم ده، هنبقى في نفس الوقت قدرنا نوصل للنقطة اللي بتنتمي إلى المستوى.

لو بصينا لمعادلتي الخطين المستقيمين اللي عندنا اللي همّ ل واحد و ل اتنين، هنلاقيهم مكتوبين على الصورة المتجهة لمعادلة الخط المستقيم، اللي هي بالشكل ده: المتجه ر يساوي المتجه أ زائد ك في المتجه هـ. حيث ر هو متجه موضع أي نقطة على المستقيم. أما المتجه أ فده بيمثِّل متجه موضع نقطة معلومة على المستقيم. أما المتجه هـ فده متجه اتجاه المستقيم. أما ك فده عدد حقيقي ولا يساوي الصفر؛ لأن لو قيمة ك أصبحت صفر، ففي الحالة دي هنحصل على متَّجه موضع النقطة المعلومة اللي هي أ نفسها.

فلمَّا نيجي نقارن معادلة الخط المستقيم ل واحد بالصورة المتجهة لمعادلة الخط المستقيم اللي عندنا دي. هنلاقي إن المتجه أ هو المتجه اللي إحداثياته صفر وتلاتة وسالب خمسة. يبقى كده هي دي إحداثيات النقطة المعلومة على الخط المستقيم واللي محتاجين نعرفها. لأنها بما إنها واقعة على الخط المستقيم، والمستقيم ده أصلًا موجود على المستوى، فده معناه إن النقطة المعلومة دي هتبقى نقطة بتنتمي إلى المستوى. يبقى كده عرفنا أول حاجة محتاجينها، وهي إحداثيات نقطة بتنتمي إلى المستوى.

تاني حاجة محتاجين نعرفها متجه الاتجاه العمودي على المستوى. عايزين نفكر ده إزاي هنوجده. مش إحنا لو عندنا متجهين واقعين على المستوى، وعملنا لهم ضرب اتجاهي؛ حاصل الضرب الاتجاهي ده هيبقى عبارة عن متجه عمودي على المستوى اللي بيحتوي المستقيمين ل واحد وَ ل تلاتة. طب أنا بالفعل عندي مستقيم منهم معلوم اللي هو ل واحد. يبقى أنا لو قدرت أوجد مستقيم تاني، وعملت ضرب اتجاهي للمستقيمين دول؛ هحصل ساعتها على متجه الاتجاه العمودي اللي هو ن اللي أنا محتاجاه واللي هستخدمه عشان أكتب معادلة المستوى.

طب خلينا نفكر دلوقتي إزاي هنوجد مستقيم آخر، ونعرف معادلته بينتمي إلى أو واقع على نفس المستوى اللي هو ط. المستقيم ل واحد خلينا نقول إن متَّجه الاتجاه بتاعه هو المتجه هـ واحد. والمستقيم ل اتنين خلينا نقول إن متَّجه الاتجاه بتاعه هو المتجه هـ اتنين. وإحنا مُعطى عندنا إن المستقيم ل اتنين موازي للمستوى اللي عندنا. فنقدر نرسم على المستوى اللي عندنا خط مستقيم جديد موازي للخط المستقيم ل اتنين، وليه نفس متجه اتجاهه اللي هو هـ اتنين؛ لأنه بيوازيه.

يبقى كده نقدر نعمل ضرب اتجاهى للمتجهين هـ واحد وَ هـ اتنين، وحاصل الضرب الاتجاهي ده هو اللي هيدِّينا متجه الاتجاه العمودي على المستوى اللي محتاجينه عشان نكتب معادلة المستوى. يبقى دلوقتي عايزين نوجد متَّجه اتجاه المستقيم ل واحد اللي مسمِّيينه هـ واحد، واللي نقدر نستنتجه من مقارنة معادلة الخط المستقيم ل واحد بالصورة المتجهة لمعادلة الخط المستقيم. واللي هنستنتج منها قيمة متَّجه الاتجاه، اللي هنلاقي إنه بيساوي ستة وسالب اتنين وسالب واحد. وباستخدام نفس الطريقة نقدر بمقارنة معادلة الخط المستقيم ل اتنين بالصورة المتجهة لمعادلة الخط المستقيم. نقدر نستنتج متجه اتجاه المستقيم ل اتنين، اللي بنسميه هـ اتنين. يبقى كده هنستنتج إن المتجه هـ اتنين يساوي واحد وسالب تلاتة وتلاتة.

دلوقتي بقى نقدر نوجد المتجه ن اللي هو متجه الاتجاه العمودي على المستوى، واللي هيبقى عبارة عن حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين هـ واحد و هـ اتنين. لمّا بنيجي نُجري ضرب اتجاهي لمتجهين، بنعمله باستخدام المحددات. فبنعمل محدد أول صف فيه بيبقى متجه وحدة في اتجاه المحور س. ومتجه وحدة في اتجاه المحور ص. ومتجه وحدة في اتجاه المحور ع. والصف التاني بيبقى عبارة عن مركِّبات المتجه الأول، اللي هو المتجه هـ واحد، اللي هي ستة وسالب اتنين وسالب واحد. أما الصف التالت فبيبقى عبارة عن مركِّبات المتجه هـ اتنين، اللي هي واحد وسالب تلاتة وتلاتة.

دلوقتي عايزين نوجد قيمة المحدد، وما ننساش نستخدم قاعدة إشارات المحدد. وبعد ما نوجد قيمة المحدد اللي عندنا، هنلاقي إن المتجه ن هيبقى بيساوي سالب تسعة في اتجاه متجه الوحدة س. ناقص تسعتاشر في اتجاه متجه الوحدة ص. ناقص ستاشر في اتجاه متجه الوحدة ع. وبكده يبقى قدرنا نوجِد متَّجه الاتجاه العمودي على المستوى. وإحنا أصلًا استنتجنا نقطة بتقع على المستوى، فيبقى دلوقتي نقدر نكتب معادلة المستوى. خلينا نكتب الأول المتجه ن بالصورة الإحداثية أو الكارتيزية. هيبقى بيساوي سالب تسعة وسالب تسعتاشر وسالب ستاشر. الصورة اللي قدامنا دي هي الصورة المتجهة لمعادلة أي مستوى. بتبقى عبارة عن حاصل الضرب القياسي للمتجهين ر وَ ن، بيساوي حاصل الضرب القياسي للمتجهين أ وَ ن.

المتجه ر هنسيبه زي ما هو؛ لأن ده عبارة عن متجه موضع أي نقطة على المستوى. يعني اللي هي بصورة عامة أي نقطة إحداثياتها س وَ ص وَ ع بتقع على المستوى، لازم إحداثياتها تحقق المعادلة دي. أما المتجه ن فهنعوّض عنه بإحداثيات المتجه اللي أوجدناه اللي هي سالب تسعة وسالب تسعتاشر وسالب ستاشر. والمتجه أ هنعوّض عنه بإحداثيات النقطة المعلومة على المستوى، واللي استنتجنا إنها صفر وتلاتة وسالب خمسة. ثم هنعوَّض مرة أخرى عن المتجه ن بالإحداثيات بتاعته، اللي هي سالب تسعة وسالب تسعتاشر وسالب ستاشر.

دلوقتي عايزين نُجري عملية الضرب القياسي للمتجهين اللي على الطرف الأيسر، اللي هتساوي صفر ناقص سبعة وخمسين زائد تمانين. واللي هيبقى بيساوي تلاتة وعشرين. وبكده هتصبح المعادلة اللي عندنا حاصل الضرب القياسي للمتجهين ر، والمتجه سالب تسعة وسالب تسعتاشر وسالب ستاشر؛ يساوي تلاتة وعشرين. وبكده يبقى وصلنا للصورة المتجهة للمستوى المطلوب.

زي ما إحنا عارفين إن المتجه ر بيرمز لمتجه موضع أي نقطة عمومًا على المستوى؛ ولذلك فبنفرض إحداثياته بـ س وَ ص وَ ع. فنقدر نعوَّض في الصورة المتجهة لمعادلة المستوى اللي عندنا عن المتجه ر بإحداثياته اللي هي س وَ ص وَ ع. فهتبقى المعادلة بالشكل ده. وبإجراء عملية الضرب القياسي اللي موجودة على الطرف الأيمن، هنلاقي إن سالب تسعة س ناقص تسعتاشر ص ناقص ستاشر ع، يساوي تلاتة وعشرين. وبطرح تلاتة وعشرين من طرفَي المعادلة اللي عندنا، هتصبح بالشكل ده.

بعد كده نقدر نضرب الطرفين في سالب واحد. فهتصبح المعادلة بالشكل ده. تسعة س زائد تسعتاشر ص زائد ستاشر ع زائد تلاتة وعشرين يساوي صفر. وهي دي الصورة العامة لمعادلة المستوى. ويبقى كده قدرنا نكتب معادلة المستوى المطلوب، مرة على الصورة المتجهة، ومرة على الصورة العامة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.