فيديو السؤال: إيجاد جميع الأطوال الممكنة لنصف القطر بمعلومية مساحة قطاع دائري ومحيطه

نسخة الفيديو النصية

مساحة قطاع دائري ١٢ سنتيمترًا مربعًا ومحيطه ١٦ سنتيمترًا. أوجد جميع الأطوال الممكنة لنصف القطر.

لنبدأ بمراجعة ما نعرفه عن مساحة القطاع وطول القوس عندما يكون لدينا قطاع زاويته مقيسة بالراديان. بالنسبة إلى القطاع الذي نصف قطره نق وزاويته 𝜃 راديان، فإن المساحة تساوي نصف نق تربيع 𝜃. وطول القوس، أي طول المنحنى، هو نق مضروبًا في 𝜃.

إذا أضفنا القياسات المتبقية إلى هذا الشكل، أي نصف القطر نق ثم طول المنحنى، أو طول القوس نق𝜃، فيمكننا تكوين تعبير يمثل المحيط. وهو نق زائد نق زائد نق𝜃. تذكر أن المحيط عبارة عن المسافة حول الشكل. بتجميع الحدود المتشابهة، فإن ذلك يبسط إلى اثنين نق زائد نق𝜃. وهذا يساوي ١٦. وبذلك، يمكننا تكوين معادلة بجعل هذا المقدار يساوي ١٦. ولدينا ١٦ تساوي اثنين نق زائد نق𝜃.

الآن، لنصغ معادلة تعبر عن المساحة. المساحة تساوي نصف نق تربيع 𝜃. ونعلم مسبقًا أنها تساوي ١٢. إذن، لدينا ١٢ يساوي نصف نق تربيع 𝜃. يمكننا تبسيط هذا المقدار قليلًا بضرب كلا طرفي المعادلة في اثنين. وبإجراء ذلك، نرى أن ٢٤ يساوي نق تربيع 𝜃.

لدينا الآن زوج من المعادلات الآنية في متغيرين مجهولين، نق و𝜃. ونحتاج إلى إيجاد طريقة لحذف أحد هذين المتغيرين. إحدى الطرق لإجراء ذلك هي إعادة ترتيب المعادلة الثانية. يمكننا قسمة كلا الطرفين على نق تربيع. ونلاحظ أن 𝜃 تساوي ٢٤ على نق تربيع.

لدينا الآن معادلة تعبر عن 𝜃 بدلالة نق تربيع. يمكننا التعويض في المعادلة الآنية الأولى، وهي المعادلة التي كتبناها للتعبير عن المحيط. بالتعويض بـ ٢٤ على نق تربيع عن 𝜃 في المعادلة واحد نحصل على ١٦ يساوي اثنين نق زائد نق في ٢٤ على نق تربيع. يمكننا تبسيط الحد الثاني بحذف العامل المشترك نق. ونحصل من ذلك على ١٦ يساوي اثنين نق زائد ٢٤ على نق. بعد ذلك، سنضرب الكل في نق. نعلم من ذلك أن ١٦نق تساوي اثنين نق تربيع زائد ٢٤. لاحظ أن جميع هذه الحدود بينها عامل مشترك وهو اثنان. قبل إجراء أي خطوة أخرى، سنقسم الكل على اثنين. ونحصل بذلك على ثمانية نق يساوي نق تربيع زائد ١٢. هذه معادلة تربيعية.

لحل معادلة تربيعية، علينا إعادة ترتيبها لمساواتها بالصفر. نطرح ثمانية نق من كلا الطرفين. ويتبقى لدينا نق تربيع ناقص ثمانية نق زائد ١٢ يساوي صفرًا. لحل هذه المعادلة التربيعية، علينا إجراء التحليل. لا توجد عوامل مشتركة بين الحدود الثلاثة. ومن ثم، نعلم أن علينا التحليل إلى قوسين، بحيث يكون نق الحد الأول في كل قوس.

بعد ذلك، علينا إيجاد عاملي موجب ١٢ اللذين مجموعهما سالب ثمانية. هذان العاملان هما سالب ستة وسالب اثنين؛ إذ إن سالب ستة في سالب اثنين يساوي موجب ١٢. لكن مجموعهما يساوي سالب ثمانية. نعلم أن حاصل ضرب هذين القوسين يساوي صفرًا. والطريقة الوحيدة لتحقيق ذلك في هذه الحالة هي أن يكون أحد القوسين مساويًا للصفر. إذن، نق ناقص ستة يساوي صفرًا. أو نق ناقص اثنين يساوي صفرًا.

نحل المعادلة الأولى بإضافة ستة إلى كلا الطرفين. ويمكن أن نرى أن أحد الأطوال الممكنة لنصف القطر هو ستة. ونحل المعادلة الثانية بإضافة اثنين إلى كلا الطرفين. ونعلم من ذلك أن نق يساوي اثنين. إذن، يمكن أن يكون طول نصف القطر ستة سنتيمترات أو سنتيمترين.

لاحظ أنه حتى هذه المرحلة لا تطلب منا المسألة إيجاد قيمة 𝜃. لكن، يمكننا إجراء ذلك بالتعويض بكل من ستة واثنين في إحدى المعادلتين الأصليتين. وبإجراء ذلك، يفترض أن نكون قد لاحظنا أنه عندما يكون نصف القطر ستة، فإن قياس الزاوية 𝜃 يساوي ثلثين. وعندما يكون طول نصف القطر اثنين، فإن قياس الزاوية 𝜃 يساوي ستة راديان.

إذن، نصف القطر الذي كنا نبحث عنه يساوي إما ستة سنتيمترات أو سنتيمترين.