نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، موضوعنا هو حركة المقذوفات. سوف نتعلم على وجه التحديد بعض المعادلات الأقل شهرة التي تصف هذه الحركة. وسنستخدم هذه المعادلات لحساب مدى المقذوف، وأقصى ارتفاع له، وزمن تحليقه.
عندما نتحدث عن حركة المقذوفات، فإننا نتحدث عن أجسام تتحرك تحت تأثير قوة واحدة فقط، وهي الجاذبية. على سبيل المثال، لنفترض أن لدينا قاذفة بطاطس تطلق حبة بطاطس في الهواء. إذا أهملنا مقاومة الهواء، فيمكننا القول إن هذه البطاطس تتحرك فقط تحت تأثير الجاذبية. إذن، هذه البطاطس تعد مقذوفًا. وهذا يعني أن حركة هذه البطاطس توصف بما يسمى معادلات الحركة. هناك أربع معادلات من هذا النوع، وهي تصف خواص المقذوفات، مثل سرعتها النهائية وسرعتها الابتدائية، وعجلتها، وإزاحتها، وزمن التحليق. وبوجه عام، يمكن استخدام معادلات الحركة مع أي جسم يتحرك بعجلة ثابتة. هذا يعني أنه ما دامت قيمة 𝑎 ثابتة دائمًا، فستنطبق هذه المعادلات. في حالة البطاطس المقذوفة أو أي جسم آخر يقذف في الهواء، تكون عجلة الجسم ثابتة، وهي عجلة الجاذبية 𝑔.
عند التفكير في المسار الكلي للبطاطس، ثمة بعض القيم المختلفة التي قد نريد حسابها. أول ما قد نرغب في معرفته هو المسافة الأفقية التي تقطعها البطاطس. وهذا يسمى مدى المقذوف. قد نرغب أيضًا في معرفة أقصى ارتفاع يمكن أن يصل إليه المقذوف. يمكننا الإشارة إلى ذلك بالرمز ℎmax. وأخيرًا، قد نرغب في معرفة الزمن الكلي الذي تستغرقه البطاطس في الهواء. سنسمي ذلك زمن التحليق، ونشير إليه بالرمز 𝑡𝑓.
لإيجاد هذه القيم الثلاث، أي مدى المقذوف، وأقصى ارتفاع يصل إليه، وزمن تحليقه، يمكننا استخدام معادلات الحركة. لكن لفعل ذلك، سنحتاج إلى معرفة شيء ما عن الحالة الأولية للمقذوف الذي أطلق. لنفترض أننا سنلقي نظرة عن كثب على قاذفة البطاطس في لحظة إطلاقها للبطاطس. خلال هذه الفترة الزمنية القصيرة للغاية، سيكون مسار البطاطس خطًّا مستقيمًا خارجًا من القاذفة. ويمكن أن نعلم من المعطيات أن البطاطس تتحرك في البداية بسرعة سنسميها 𝑣𝑖، وأنها أطلقت بزاوية سنسميها 𝜃 أعلى الأفقي. وإذا عرفنا هاتين القيمتين، وهما السرعة الابتدائية والزاوية الابتدائية للمقذوف، فباستخدام معادلات الحركة سيكون لدينا كل ما نحتاج إليه لإيجاد مدى المقذوف، وأقصى ارتفاع يصل إليه، وزمن تحليقه.
لمعرفة ذلك، دعونا نبدأ الحل لإيجاد قيمة 𝑡𝑓. وفقًا لمعادلة الحركة الأولى، السرعة النهائية للجسم، وهو في هذه الحالة حبة البطاطس، تساوي السرعة الابتدائية زائد العجلة مضروبة في الزمن. إذا فصلنا حركة المقذوف إلى مركبة أفقية ومركبة رأسية، فيمكننا تطبيق معادلة الحركة هذه على أي من البعدين، الرأسي أو الأفقي. لنفترض أننا نركز هنا على المركبة الرأسية لحركة الجسم، وسنعرف بعد قليل السبب وراء هذا الاختيار. في هذه الحالة، ستصبح معادلة الحركة هي السرعة النهائية في اتجاه المحور 𝑦 تساوي السرعة الابتدائية للجسم في اتجاه المحور 𝑦 زائد العجلة في اتجاه المحور 𝑦 مضروبًا في 𝑡𝑓.
باستخدام هذا الزمن 𝑡𝑓، نقول إن السرعة النهائية للمقذوف هي نفس سرعته لحظة وصوله إلى الأرض مرة أخرى. وعندما ننظر إلى سرعته الابتدائية في الاتجاه 𝑦، أي سرعته لحظة انطلاقه من قاذفة بطاطس، يمكننا الإشارة إلى ذلك باستخدام المتغيرات في الشكل التوضيحي. وإذا افترضنا أن المسار الابتدائي للبطاطس هو وتر مثلث قائم الزاوية، فالمركبة الرأسية للسرعة الابتدائية أو السرعة الرأسية في الاتجاه 𝑦 ستمثل بهذا الارتفاع هنا الذي يساوي 𝑣𝑖 في sin الزاوية 𝜃.
وهكذا، فإن 𝑣𝑖𝑦 يساوي 𝑣𝑖 في sin 𝜃، وهذه النتيجة يمكن أن تساعدنا في إيجاد قيمة 𝑣𝑓𝑦 أيضًا. إليكم الطريقة. بينما تحلق حبة البطاطس في الهواء، إذا أخذنا في الاعتبار حركتها في الاتجاه الرأسي فقط، فسنجد أنها تتحرك إلى أعلى ثم تعود إلى أسفل. وخلال تحليقها، تخضع لعجلة الجاذبية 𝑔. وبما أن هذه هي القوة الوحيدة المؤثرة على حركة المقذوف، يوضح لنا ذلك أن سرعة المقذوف عند انطلاقه من القاذفة تساوي نفس سرعته قبل هبوطه مباشرة على الأرض مرة أخرى. فمثلما ينتقل في أثناء الصعود من سرعته الرأسية الابتدائية ويتباطأ إلى صفر، يتسارع في أثناء هبوطه حتى يصل إلى سرعته الابتدائية الرأسية قبل الهبوط. هذا يعني أنه عندما نأخذ السرعة المتجهة للجسم في الاعتبار، وهي متجه، يمكننا القول إن مقدار 𝑣𝑓𝑦 هو نفسه مقدار 𝑣𝑖𝑦. لكن الإشارة معكوسة. بعبارة أخرى، 𝑣𝑓𝑦 تساوي سالب 𝑖𝑣 مضروبة في sin 𝜃.
والآن لم يتبق شيء لكتابته في هذه المعادلة إلا قيمة عجلة المقذوف في الاتجاه 𝑦. لكننا نعلم بالفعل أن هذه القيمة هي 𝑔، أي عجلة الجاذبية. إليك أمر مهم علينا وضعه في اعتبارنا هنا. نظرًا لأننا عرفنا الاتجاه الرأسي لأعلى بأنه الاتجاه 𝑦 الموجب، فهذا يعني أن العجلة في الاتجاه 𝑦 يجب أن تكون سالبة لأن اتجاهها لأسفل. ومن ثم إذا كانت 𝑔 تساوي 9.8 أمتار لكل ثانية تربيع، فلا بد أن تكون 𝑎𝑦 سالب 𝑔.
لاحظ أننا وصلنا الآن إلى مرحلة إذا عرفنا فيها قيمة كل من 𝑣𝑖 و𝜃، يمكننا إعادة ترتيب هذه المعادلة لإيجاد قيمة 𝑡𝑓. إذا طرحنا أولًا 𝑣𝑖 في sin 𝜃 من كلا الطرفين، فسنحصل على سالب اثنين 𝑣𝑖 في sin 𝜃 يساوي سالب 𝑔 في 𝑡𝑓. وبقسمة الطرفين على سالب 𝑔، نحذف هذين المعاملين على الطرف الأيمن، ونحذف إشارتي السالب من الطرف الأيسر. وبذلك نجد أن اثنين في 𝑣𝑖 في sin 𝜃 الكل مقسومًا على 𝑔 يساوي 𝑡𝑓، وهو زمن تحليق المقذوف.
دعونا نسجل هذه النتيجة على اليمين. والآن دعونا نوجد قيمة أقصى ارتفاع يمكن أن يصل إليه المقذوف. مرة أخرى، يتعلق ذلك بالمركبة الرأسية، وليس المركبة الأفقية، لحركة الجسم. معادلة الحركة التي سنختار العمل بها هنا هي المعادلة الثانية. وقد اخترنا هذه المعادلة لأن بها المتغير الذي نريد إيجاد قيمته، وتذكر أن 𝑠 هنا تمثل الإزاحة، بينما نعلم قيم المتغيرات الأخرى المعنية، وهي في هذه الحالة العجلة الرأسية والسرعة الرأسية الابتدائية والسرعة الرأسية النهائية.
فيما يتعلق بالسرعة الرأسية النهائية للجسم، التي أطلقنا عليها 𝑣𝑓𝑦، نعلم أنه عندما تكون البطاطس عند أقصى ارتفاع لها، فإن موضعها سيكون هنا، وأنه في تلك اللحظة من الزمن، ستكون سرعتها الرأسية صفرًا. فعندما تكون البطاطس في أعلى نقطة لها، فإن سرعتها في الاتجاه 𝑦 تساوي صفرًا. إذن، يصبح الطرف الأيسر من هذه المعادلة صفرًا. مثلما رأينا سابقًا، السرعة الابتدائية للبطاطس في الاتجاه 𝑦 تساوي 𝑣𝑖 في sin 𝜃، وعجلتها في الاتجاه 𝑦 تساوي سالب 𝑔. وهذا يعطينا هذه المعادلة. وتذكر أننا نريد إيجاد ℎmax.
ما سنفعله بعد ذلك هو طرح 𝑣𝑖 sin 𝜃 الكل تربيع من كلا الطرفين. ومن ثم، نقسم طرفي المعادلة على سالب اثنين مضروبًا في 𝑔. يؤدي ذلك إلى حذف هذا العامل في الطرف الأيمن، وحذف الإشارتين السالبتين على اليسار. إذن، بدلالة السرعة الابتدائية واتجاه المقذوف، أقصى ارتفاع سيصل إليه يساوي 𝑣𝑖 في sin 𝜃 الكل تربيع مقسومًا على اثنين في 𝑔. ولاحظ أن هناك طريقة أخرى لكتابة ذلك، وهي 𝑣𝑖 تربيع في sin تربيع 𝜃 مقسومًا على اثنين 𝑔.
حسنًا، لقد تناولنا زمن التحليق وأقصى ارتفاع يمكن أن يصل إليه المقذوف. والآن لنلق نظرة على كيفية حساب مدى المقذوف. سنفعل ذلك بطريقة مختلفة قليلًا عن ذي قبل؛ لأن السرعة الأفقية للمقذوف أصبحت مهمة الآن. بالنظر إلى الشكل التوضيحي الذي رسمناه في السابق، نعلم أن السرعة الابتدائية الأفقية للمقذوف تساوي 𝑣𝑖 في cos 𝜃. وعلى الرغم من أننا أطلقنا على هذه السرعة السرعة الابتدائية الأفقية، فإنها لا تتغير مع الزمن. فبما أنه لا توجد عجلة تؤثر على المقذوف في الاتجاه الأفقي، تكون سرعته الأفقية ثابتة. ولهذا السبب اخترنا في وقت سابق استخدام البعد الرأسي عند التعامل مع معادلة الحركة هذه بدلًا من الأفقي.
ففي المستوى الأفقي، تكون العجلة صفرًا. إذن، لدينا معادلة تنص على أن 𝑣𝑖 في cos 𝜃 يساوي 𝑣𝑖 فيcos 𝜃. وهذا ليس مفيدًا. ولهذا السبب، لم نختر هذا البعد. لكن الآن علينا استخدام السرعة في هذا الاتجاه لأننا نلاحظ أنه سيكون لها تأثير على المدى الذي يقطعه المقذوف. للبدء في اكتشاف ذلك، دعونا نختر معادلة حركة تتناسب مع ما نحتاج إليه.
أولًا، نريد استخدام معادلة حركة تتضمن المتغير 𝑠؛ يشمل ذلك ثلاثة من هذه المعادلات الأربعة. ثانيًا، من الجيد الاستفادة من حقيقة أن 𝑎 تساوي صفرًا في الاتجاه الأفقي؛ بعبارة أخرى، أي حد يحتوي على 𝑎 ستكون قيمته صفرًا. وبهذا تتبقى لدينا معادلة الحركة هذه وهذه. لكن بالنظر عن كثب، يمكننا ملاحظة أن معادلة الحركة هذه ليست خيارًا صحيحًا. وذلك لأنه إذا كانت 𝑎 تساوي صفرًا، فسيحذف هذا الحد الذي يتضمن المعامل الذي نريد إيجاده، وهو 𝑠. وهذا يحسم الأمر؛ سنستخدم معادلة الحركة هذه لإيجاد المدى.
المعادلة التي يمكننا كتابتها هي أن مدى المقذوف يساوي سرعته الابتدائية في الاتجاه 𝑥 مضروبة في زمن التحليق الكلي 𝑡𝑓 زائد نصف عجلته في الاتجاه 𝑥 مضروبًا في زمن التحليق تربيع. كما ذكرنا، 𝑎𝑥 تساوي صفرًا لعدم وجود عجلة في الاتجاه الأفقي. كما عرفنا أن 𝑣𝑖 في الاتجاه 𝑥 تساوي 𝑣𝑖 في cos 𝜃. وبالنسبة إلى 𝑡𝑓، يمكننا الرجوع إلى المعادلة التي توصلنا إليها سابقًا. 𝑡𝑓 يساوي اثنين في 𝑣𝑖 في sin 𝜃 الكل على 𝑔. إذن، مدى المقذوف يساوي حاصل ضرب هذا، وهو ما يساوي اثنين في 𝑣𝑖 تربيع في cos 𝜃 في sin 𝜃 الكل على 𝑔.
صار لدينا الآن معادلات لإيجاد المدى وأقصى ارتفاع وزمن التحليق لمقذوف معين بمعلومية سرعته المتجهة الابتدائية، أي سرعته الابتدائية واتجاهه. بمعرفة كل ذلك، دعونا نتدرب من خلال مثال.
مقذوف سرعته الابتدائية 25 مترًا في الثانية أطلق بزاوية قياسها 48 درجة أعلى الأفقي. ما الزمن المستغرق بين مغادرة المقذوف الأرض وعودته إليها على نفس الارتفاع الذي أطلق منه؟
حسنًا، لنفترض أن هذا هو المسار الذي يتبعه المقذوف. نعلم من السؤال أنه عند إطلاق المقذوف في البداية، كانت سرعته 25 مترًا في الثانية، وأنه أطلق من زاوية سنطلق عليها 𝜃 قياسها 48 درجة. بمعلومية ذلك، نريد إيجاد الزمن الذي يستغرقه هذا المقذوف للعودة إلى سطح الأرض. بعبارة أخرى، ما المدة التي يستغرقها مساره بالكامل؟ سنطلق على هذا الزمن 𝑡𝑓. وبما أننا نتعامل مع مقذوف، فهذا يعني أنه يمكننا استخدام المعادلة الخاصة بهذا الزمن.
إذا كان لدينا جسم متحرك يتأثر بقوة الجاذبية فقط وأطلق هذا الجسم من الأرض بسرعة ابتدائية 𝑣𝑖 وبزاوية 𝜃، فإن الزمن الكلي للتحليق يمكن حسابه باستخدام هذا التعبير. وبما أننا نعرف السرعة الابتدائية للجسم وزاوية إطلاقه، ونعرف أيضًا أن 𝑔 تساوي 9.8 أمتار لكل ثانية تربيع، يمكننا التعويض بهذه القيم في المعادلة لإيجاد قيمة 𝑡𝑓. عندما نكتب هذا المقدار على الآلة الحاسبة، نجد أن الناتج لأقرب رقمين معنويين هو 3.8 ثوان. هذا هو الزمن الكلي لتحليق المقذوف.
لنلق نظرة على مثال تدريبي آخر.
أطلق مقذوف بزاوية 32 درجة فوق الأفقي بسرعة ابتدائية 44 مترًا في الثانية. ما أقصى إزاحة رأسية لأعلى للمقذوف من موضع إطلاقه؟
حسنًا، لنفترض أن هذا هو مستوى الأرض، وهذا الخط البرتقالي يوضح لنا مسار هذا المقذوف. أطلق المقذوف بسرعة ابتدائية سنسميها 𝑣𝑖، وبزاوية سنسميها 𝜃. نريد إيجاد أقصى قيمة للإزاحة الرأسية لأعلى يصل إليها المقذوف، وهي هذه الإزاحة هنا. سنسميها ℎmax.
بما أننا نتعامل مع مقذوف ونعرف سرعته الابتدائية واتجاهه، يمكننا تذكر معادلة لحساب أقصى ارتفاع يصل إليه المقذوف بدلالة سرعته الابتدائية واتجاهه. ونظرًا لأنه معطى لنا 𝑣𝑖 و𝜃 ونعرف أيضًا أن عجلة الجاذبية تساوي 9.8 أمتار لكل ثانية تربيع، يمكننا التعويض بهذه القيم في معادلة حساب ℎmax. عندما نكتب هذا المقدار على الآلة الحاسبة، نجد أن الناتج لأقرب رقمين معنويين هو 28 مترًا. هذه هي أقصى إزاحة رأسية لأعلى للمقذوف.
لنتناول الآن مثالًا تدريبيًّا أخيرًا.
أطلق مقذوف بزاوية أعلى الأفقي قياسها 66 درجة. الزمن المستغرق بين مغادرة المقذوف الأرض وعودته إليها على نفس الارتفاع الذي أطلق منه يساوي 2.9 ثانية. ما السرعة الابتدائية للمقذوف؟
حسنًا، لنفترض أن هذا هو المسار الذي يتبعه المقذوف. سنسمي زاوية إطلاق هذا المقذوف 𝜃، وقياسها 66 درجة. وسنسمي الزمن الذي استغرقه المقذوف لقطع هذا المسار كاملًا 𝑡𝑓، ويساوي 2.9 ثانية. بمعلومية ذلك، نريد حساب السرعة الابتدائية للمقذوف. وسنطلق عليها 𝑣𝑖. بما أننا نتعامل مع مقذوف، وهو جسم يتحرك تحت تأثير قوة الجاذبية فقط، يمكننا تذكر أن الزمن الكلي المستغرق في مسار يبدأ وينتهي عند الارتفاع نفسه يساوي اثنين في السرعة الابتدائية للمقذوف في sin زاوية الإطلاق الكل مقسومًا على 𝑔.
في هذه الحالة، ليس 𝑡𝑓 هو ما نريد إيجاده وإنما 𝑣𝑖. للبدء في ذلك، يمكننا ضرب كلا طرفي هذه المعادلة في 𝑔 على اثنين في sin 𝜃. في الطرف الأيمن، تحذف العوامل اثنين، و𝑔، وsin 𝜃، ليتبقى لدينا 𝑣𝑖. وبذلك نجد أن 𝑣𝑖 تساوي 𝑔 في 𝑡𝑓 على اثنين في sin 𝜃.
بالنظر إلى معطيات المسألة، نعرف 𝜃 و𝑡𝑓، ويمكننا أيضًا تذكر أن 𝑔 تساوي 9.8 أمتار لكل ثانية تربيع. إذا عوضنا بعد ذلك بهذه القيم في معادلة حساب 𝑣𝑖، فسيكون الناتج لأقرب رقمين معنويين 16 مترًا لكل ثانية. هذه هي السرعة الابتدائية التي يحتاج إليها المقذوف عند زاوية الإطلاق المعطاة بحيث يظل 2.9 ثانية في الهواء.
لنلخص الآن ما تعلمناه في هذا الدرس في بعض النقاط الأساسية. رأينا هنا أنه فيما يخص مقذوفًا يصل إلى نفس الارتفاع الذي أطلق منه، إذا عرفنا سرعة إطلاقه الابتدائية 𝑣𝑖 وزاوية إطلاقه الابتدائية 𝜃، فإن الزمن الكلي لتحليقه 𝑡𝑓 يساوي اثنين في سرعته الابتدائية في sin 𝜃 الكل مقسومًا على 𝑔. بالمثل، أقصى ارتفاع يصل إليه المقذوف أعلى مستوى سطح الأرض، وهو ℎmax، يساوي سرعته الابتدائية تربيع في sin هذه الزاوية 𝜃 تربيع الكل مقسومًا على اثنين في 𝑔. وأخيرًا، مدى المقذوف، أي المسافة الأفقية الكلية المقطوعة، يساوي اثنين في 𝑣𝑖 تربيع في sin 𝜃 في cos 𝜃 الكل على 𝑔.
