فيديو الدرس: الجذور النونية: الأعداد الصحيحة الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو الذي سنتحدث فيه عن الجذور النونية، سوف نتعلم كيف نوجد الجذر النوني لعدد ما حيث ﻥ عدد صحيح موجب. على سبيل المثال، سوف نتعلم كيف نوجد الجذر السادس للعدد ٦٤ أو الجذر الرابع للعدد ٨١. إن إيجاد الجذر النوني لعدد ما هو العملية العكسية لإيجاد القوة النونية. لذا، أول ما سنفعله هو مراجعة بعض القوى والأسس الشائعة.

لنبدأ برفع عدد ما إلى القوة واحد. على سبيل المثال، اثنان أس واحد يساوي اثنين. واثنان تربيع يعني أن العدد اثنان مضروب في نفسه مرة واحدة. أي اثنين في اثنين، وهو ما يساوي أربعة. اثنان أس ثلاثة يعني أن العدد اثنين مضروب نفسه ثلاث مرات. علينا أن ننتبه هنا لأن من الأخطاء الشائعة قول إن اثنين أس ثلاثة يساوي ستة؛ فهذا ناتج جمع العدد اثنين ثلاث مرات. بدلًا من ذلك، يمكننا حساب هذا بضرب أول مثلين من العدد اثنين، وهذا يعطينا أربعة، وبضرب ذلك في العدد اثنين المتبقي نحصل على ثمانية. اثنان أس أربعة يكتب على صورة العدد اثنين مضروبًا نفسه أربع مرات. ونحن نعلم أن اثنين تكعيب يساوي ثمانية. وعليه، فبضرب ثمانية في العدد اثنين المتبقي نحصل على ١٦.

كيف يمكننا إذن أن نستفيد من ذلك عند إيجاد جذور الأعداد؟ دعونا نفكر في العملية العكسية للتربيع، وهي إيجاد الجذر التربيعي. لدينا هنا الجذر التربيعي للعدد أربعة. إننا نتذكر أنه عند كتابة جذر تربيعي لا نحتاج إلى كتابة اثنين بخط صغير هنا إذا كان المقصود هو الجذر التربيعي فقط. الجذر التربيعي للعدد أربعة يعني العدد الذي نضربه في نفسه لنحصل على القيمة أربعة. الإجابة هي اثنان بالطبع؛ لأن اثنين في اثنين يعطينا أربعة.

بعد ذلك، لدينا الجذر التكعيبي لثمانية، والذي يعني العدد الذي نضربه نفسه ثلاث مرات لنحصل على العدد ثمانية. وهذا يساوي اثنين؛ لأن اثنين في اثنين في اثنين يساوي ثمانية. وأخيرًا، الجذر الرابع للعدد ١٦ سيكون اثنين أيضًا؛ لأن اثنين في اثنين في اثنين في اثنين يساوي ١٦.

يمكننا تطبيق المبادئ نفسها عند التعامل مع قوى أو أسس العدد ثلاثة. ثلاثة تربيع يساوي ثلاثة في ثلاثة، وهو ما يساوي تسعة. ثلاثة أس ثلاثة يساوي ثلاثة في ثلاثة في ثلاثة؛ أي ٢٧. وثلاثة أس أربعة يساوي ٨١. يمكننا إذن استنتاج أن الجذور المختلفة للأعداد تسعة، و ٢٧، و٨١ هي ثلاثة.

بشكل عام، يمكننا أن نفكر في الجذر النوني، ﺭ، للعدد ﺱ بأنه القيمة التي نضربها نفسها عدد ﻥ من المرات لنحصل على ﺱ. يمكننا أن نرى مثالًا على ذلك في الجذر الرابع للعدد ٨١ والذي يساوي ثلاثة؛ لأن ثلاثة أس أربعة يساوي ٨١.

قبل أن ننتقل إلى بعض الأسئلة، إليك نصيحة مفيدة. من الجيد أن تكون على دراية ببعض القوى الأولى للأعداد اثنين وثلاثة وأربعة، والعدد خمسة أيضًا. بهذه الطريقة ستتمكن سريعًا من تذكر الجذور المختلفة، خاصة عند إجابة أسئلة الامتحان. دعونا نتناول الآن السؤال الأول.

أوجد قيمة الجذر التربيعي للعدد أربعة.

يمكننا البدء بتذكر أنه عندما يكون لدينا رمز الجذر بدون رقم مكتوب بخط صغير، فهذا يعني أننا سنحسب الجذر التربيعي لقيمة ما. وبينما نوجد الجذر التربيعي للعدد أربعة، سنسأل أنفسنا ما العدد الذي يضرب في نفسه ليعطينا أربعة؟ يمكننا التفكير في هذا الأمر باستخدام أي حرف. وقد استخدمت هنا الحرف ﺹ. إذن، ﺹ في ﺹ يساوي أربعة. لا بد أن ﺹ يساوي اثنين؛ لأن اثنين في اثنين يعطينا أربعة. وعليه، فإن إجابتنا هي أن الجذر التربيعي لأربعة يساوي اثنين.

سننتقل إلى السؤال التالي.

أوجد قيمة الجذر الرابع للعدد ٨١.

قبل أن نبدأ الإجابة عن هذا السؤال، من المهم أن نلاحظ ما إذا كان العدد أربعة مكتوبًا بخط صغير أم كبير عند علامة الجذر هذه. ما لدينا في هذا السؤال هو الجذر الرابع للعدد ٨١. لكن القيمة الثانية هذه تشير إلى أن العدد أربعة مضروبًا في الجذر التربيعي للعدد ٨١. علينا أن نتذكر هذا إذا كنا نكتب بخط اليد، فعند كتابة الجذر الرابع أو أي شيء مشابه له، علينا التأكد من جعل القيمة في الجذر بخط صغير. أربعة مضروبًا في الجذر التربيعي للعدد ٨١ ليس ما نريد حسابه هنا.

لكي نحسب الجذر الرابع للعدد ٨١، علينا أن نسأل أنفسنا على سبيل المثال، ما قيمة ﺹ التي ترفع للقوة أربعة لنحصل على القيمة ٨١؟ عندما نحاول إيجاد عدد أس أربعة، فهذا يعني أن هذا العدد مضروب نفسه أربع مرات. يمكننا حل هذا النوع من المسائل عادة من خلال إجراء سلسلة من أساليب التجربة والتحسين. إذا افترضنا أن قيمة ﺹ تساوي واحدًا، فإننا نعلم أن واحدًا في واحد في واحد في واحد يساوي واحدًا وليس ٨١. لذا، دعونا نجرب القيمة اثنين. اثنان في اثنين يساوي أربعة. أربعة في اثنين يساوي ثمانية. وثمانية في اثنين يساوي ١٦. لكن ١٦ ليست القيمة التي نبحث عنها.

حسنًا، يمكننا تجربة القيمة ثلاثة. لإيجاد قيمة ثلاثة في ثلاثة في ثلاثة في ثلاثة، يمكننا حساب ذلك بعدة طرق مختلفة. يمكننا إيجاد حاصل ضرب أول ثلاثة في ثلاثة، وهو ما يساوي تسعة؛ ومن ثم نضربه في ثلاثة ثم في ثلاثة أخرى. أو يمكننا ملاحظة أن لدينا ثلاثة في ثلاثة مرة أخرى، وهو ما يعطينا تسعة. وتسعة في تسعة يعطينا القيمة ٨١. هذا يعني أننا أوجدنا القيمة التي نبحث عنها. وبما أننا أصبحنا نعلم أن ثلاثة أس أربعة يساوي ٨١، فهذا يعني أن الجذر الرابع للعدد ٨١ يساوي ثلاثة. إذن، ثلاثة هي الإجابة.

لنتناول سؤالًا آخر.

أكمل الآتي: الجذر التكعيبي للعدد ٢٧ يساوي الجذر التربيعي للعدد (فراغ).

لنبدأ الإجابة عن هذا السؤال بالتفكير فيما إذا كان بإمكاننا تبسيط الطرف الأيمن؛ أي الجذر التكعيبي للعدد ٢٧. لعلنا نتذكر أنه إذا كنا بصدد إيجاد قيمة الجذر التكعيبي للعدد ٢٧، فإننا نسأل أنفسنا ما القيمة، لنفترض أنها ﺹ مثلًا، التي تعطينا ٢٧ عند رفعها للقوة ثلاثة؟ عندما نرفع عددًا للقوة ثلاثة، فهذا يعني أنه مضروب نفسه ثلاث مرات. يمكننا الإجابة عن أسئلة كهذه باستخدام أسلوب التجربة والتحسين.

لقد كتبنا واحدًا في واحد في واحد هنا، لكننا في الحقيقة لا نحتاج أبدًا إلى اختيار العدد واحد باعتباره احتمالًا؛ لأننا نعلم أن الإجابة ستكون دائمًا واحدًا. إذن، ماذا عن اثنين في اثنين في اثنين؟ حسنًا، بحساب ذلك نحصل على ثمانية، ولكن تذكر أن أي عدد زوجي مضروب في عدد زوجي يعطينا دائمًا عددًا زوجيًّا. ونحن نبحث في هذا السؤال عن عدد فردي؛ وهو ٢٧. لذا، إذا فكرنا في هذا الأمر، فلن نحتاج حتى إلى حساب قيمة اثنين أس ثلاثة.

ماذا إذن عن ثلاثة في ثلاثة في ثلاثة؟ حسنًا، ثلاثة في ثلاثة يساوي تسعة، وتسعة في العدد ثلاثة المتبقي يساوي ٢٧. تلك هي القيمة التي نبحث عنها. أصبحنا نعلم الآن أن ثلاثة في ثلاثة في ثلاثة يساوي ٢٧، وبناء عليه أصبحنا نعلم أن ثلاثة أس ثلاثة يساوي ٢٧. وعليه، فإن العملية العكسية؛ أي الجذر التكعيبي للعدد ٢٧، تعطينا ثلاثة.

والآن بعد أن عرفنا أن القيمة هي ثلاثة، هل هذا يعني أن القيمة الناقصة هي ثلاثة؟ حسنًا، هذا ليس صحيحًا. القيمة التي نبحث عنها هي العدد الذي جذره التربيعي يساوي ثلاثة. لإيجاد القيمة التي جذرها التربيعي يساوي ثلاثة، سيكون علينا إجراء العملية العكسية لإيجاد الجذر التربيعي. وهي التربيع. هذا يعني أن القيمة التي نبحث عنها لا بد أن تساوي ثلاثة تربيع. ثلاثة تربيع يساوي ثلاثة في ثلاثة. أي تسعة. إذن، الإجابة هي القيمة تسعة. يمكننا التأكد بحساب قيمتي طرفي المعادلة. الجذر التكعيبي الذي أوجدناه للعدد ٢٧ يساوي القيمة ثلاثة، والجذر التربيعي لتسعة هو أيضًا القيمة ثلاثة.

في المثال التالي، سنتناول سؤالًا أكثر تعقيدًا يتضمن عملية حسابية بها جذور مختلفة.

إذا كان ﺱ يساوي الجذر الخامس للعدد ٣٢ ناقص الجذر الرابع للعدد ٦٢٥ زائد الجذر التربيعي للعدد ٦٤، فأوجد ﺱ‏

في هذا السؤال، لنتمكن من إيجاد قيمة ﺱ، علينا إيجاد قيم تلك الحدود المختلفة الموجودة في الطرف الأيسر من المعادلة. لنأخذ كلًّا من هذه الحدود على حدة، ونر ما إذا كان بإمكاننا حساب قيمتها.

لإيجاد الجذر الخامس للعدد ٣٢، سيكون ما نحاول إيجاده هو قيمة ﺃ التي تضرب نفسها خمس مرات لتعطينا القيمة ٣٢. يمكننا القول إن قيمة ﺃ لن تكون واحدًا؛ لأن واحدًا مضروبًا في واحد، بغض النظر عن عدد المرات، يعطينا القيمة واحدًا. إذا جربنا القيمة اثنين، فسنجد أن اثنين مضروبًا في اثنين يعطينا أربعة، واثنين أخرى في اثنين يساوي أربعة، وأربعة في أربعة يساوي ١٦، و١٦ في اثنين يساوي ٣٢. هذا يعني أن اثنين أس خمسة يساوي ٣٢. ومن ثم، الجذر الخامس للعدد ٣٢ يساوي اثنين.

والآن، لنلق نظرة على الجذر الرابع للعدد ٦٢٥. هذه المرة نبحث عن قيمة، لنسمها ﺏ، تضرب نفسها أربع مرات لتعطينا ٦٢٥. نحن نعلم أن ﺏ لن يساوي واحدًا. وقد ندرك أيضًا أن ﺏ لا يمكن أن يساوي اثنين لأن ٦٢٥ عدد فردي. اثنان مضروبًا في اثنين، بغض النظر عن عدد المرات يعطينا دائمًا عددًا زوجيًّا. إذن، ماذا عن القيمة ثلاثة؟ حسنًا، ثلاثة في ثلاثة يساوي تسعة. ولدينا ثلاثة في ثلاثة مرة أخرى، وهو ما يساوي تسعة. وتسعة في تسعة يعطينا القيمة ٨١. أصبحنا نعرف إذن أن القيمة التي نريد إيجادها ليست ثلاثة.

يمكننا اختيار القيمة أربعة بعد ذلك، لكننا مرة أخرى نعلم أن أربعة عدد زوجي والقيمة ٦٢٥ التي نبحث عنها هي عدد فردي. إذا جربنا القيمة خمسة، فسنجد أن خمسة في خمسة يساوي ٢٥. بالضرب في خمسة مرة أخرى، يصبح لدينا ١٢٥. وبالضرب مرة أخرى في العدد خمسة المتبقي، نحصل على القيمة ٦٢٥. هذه هي القيمة التي نبحث عنها. إذن، أصبحنا الآن نعرف أن الجذر الرابع للعدد ٦٢٥ هو خمسة.

وأخيرًا، سنتناول الجذر التربيعي للعدد ٦٤. علينا أن نتذكر أنه إذا كنا بصدد إيجاد الجذر التربيعي للعدد ٦٤، فعلينا أن نسأل أنفسنا ما القيمة التي نضربها في نفسها لتعطينا ٦٤؟ هذه القيمة هي ثمانية؛ لأن ثمانية مضروبًا في ثمانية يساوي ٦٤. والآن بعد أن أوجدنا قيم جميع حدود الطرف الأيسر في صورة مبسطة، يمكننا إيجاد قيمة ﺱ.

لفعل ذلك، سنحسب الجذر الخامس للعدد ٣٢، وهو اثنان، ناقص الجذر الرابع للعدد ٦٢٥، وهو خمسة، زائد الجذر التربيعي للعدد ٦٤، وهو ثمانية. علينا تطبيق ترتيب إجراء العمليات الحسابية في هذه الخطوة، والذي يشير إلى أنه في حالة وجود عمليات جمع وطرح، علينا إجراء العمليات الحسابية بالترتيب من اليمين إلى اليسار. اثنان ناقص خمسة يعطينا ثلاثة. وبالجمع مع ثمانية بعد ذلك، نحصل على القيمة خمسة. إذن، إجابة السؤال هي ﺱ يساوي خمسة.

سنتناول سؤالًا أخيرًا.

إذا كان ﺱ يساوي الجذر السادس للعدد ٦٤ زائد الجذر التربيعي للعدد ٨١ زائد الجذر الثالث لسالب ٢٧ ناقص الجذر الرابع للعدد ١٦، فأوجد قيمة ﺱ.

لإيجاد قيمة ﺱ، علينا تبسيط جميع الحدود الموجودة في الطرف الأيسر. لدينا هنا حد لا بد وأننا على دراية به، وهو الجذر التربيعي للعدد ٨١. عندما نوجد الجذر التربيعي لعدد ما، فإننا نتساءل: ما العدد الذي نضربه في نفسه ليعطينا هذه القيمة؟ حسنًا، نحن نعرف أن تسعة تربيع يساوي ٨١. إذن، الجذر التربيعي للعدد ٨١ يساوي تسعة.

دعونا نفكر ما إذا كان بإمكاننا حساب الجذر السادس للعدد ٦٤. لإيجاد الحل هنا، يمكننا التفكير في الأمر بطريقة عكسية. فنقول: ما قيمة ﺃ التي ترفع للقوة ستة لنحصل على ٦٤؟ ‏ﺃ أس ستة هو ﺃ مضروبًا نفسه ست مرات. لنجرب قيمة صغيرة. على سبيل المثال، يمكننا أن نفترض أن قيمة ﺃ تساوي اثنين. إننا نعلم أن اثنين في اثنين يساوي أربعة. ومن ثم، ندرك أن لدينا أربعة في أربعة في أربعة. أربعة في أربعة يساوي ١٦. و ١٦ في أربعة يساوي ٦٤. تلك هي القيمة التي نبحث عنها. أصبحنا الآن نعلم أن القيمة المرفوعة للقوة ستة هي اثنان. اثنان أس ستة يساوي ٦٤. لذا، يمكننا القول إن الجذر السادس للعدد ٦٤ يساوي اثنين.

بعد ذلك، دعونا نلق نظرة على الحد الثالث في الطرف الأيسر؛ وهو الجذر التكعيبي لسالب ٢٧. من السهل أن يختلط علينا الأمر هنا قليلًا. ربما تكون لدينا معلومة أنه لا يمكننا إيجاد الجذر التربيعي لعدد سالب، لكن الأمر يختلف قليلًا عند إيجاد الجذر التكعيبي. في هذه الحالة نسأل: ما قيمة ﺏ تكعيب، أو القيمة التي ترفع للقوة ثلاثة لنحصل على سالب ٢٧؟ حسنًا، نحن نعلم أن ﺏ لا بد أن يساوي عددًا سالبًا، لأننا إذا ضربنا قيمة سالبة في قيمة سالبة، نحصل على قيمة موجبة، وإذا ضربنا قيمة موجبة في قيمة سالبة، نحصل على قيمة سالبة.

لذا، إذا أردنا، يمكننا أن نفترض أن قيمة ﺏ تساوي سالب اثنين. وعليه، سنحسب حاصل ضرب سالب اثنين في سالب اثنين في سالب اثنين. حاصل ضرب أول مثلين من سالب اثنين هو أربعة. وأربعة في سالب اثنين يساوي سالب ثمانية. لكننا نبحث عن القيمة سالب ٢٧. ومن ثم، لا يمكن أن تكون قيمة ﺏ سالب اثنين.

يمكننا تجربة القيمة سالب ثلاثة. نحن نعلم أن سالب ثلاثة مضروبًا في سالب ثلاثة يعطينا تسعة، وإذا ضربنا ذلك في سالب ثلاثة، فسنحصل على سالب ٢٧. هذه هي القيمة التي نبحث عنها. هذا يعني أن قيمة ﺏ، المكعبة، لا بد أن تساوي سالب ثلاثة. إذن، الجذر التكعيبي لسالب ٢٧ يساوي سالب ثلاثة.

يتبقى لدينا حد أخير علينا التفكير فيه، وهو الجذر الرابع للعدد ١٦. هذه المرة سنسأل: ما قيمة ﺟ التي ترفع للقوة أربعة لنحصل على ١٦؟ لنبدأ بتجربة القيمة اثنين. اثنان في اثنين يساوي أربعة، وأربعة في اثنين يساوي ثمانية، وثمانية في اثنين يساوي ١٦. وبذلك، نكون قد أوجدنا قيمة ﺟ. بما أن اثنين أس أربعة يساوي ١٦، فإن الجذر الرابع للعدد ١٦ يساوي اثنين.

لنكتب إذن كل هذه الحدود المبسطة لإيجاد قيمة ﺱ. حسنًا، لدينا ﺱ يساوي الجذر السادس للعدد ٦٤، الذي وجدنا أنه يساوي اثنين، زائد الجذر التربيعي للعدد ٨١ وهو تسعة، زائد الجذر التكعيبي لسالب ٢٧، والذي يساوي سالب ثلاثة، ناقص الجذر الرابع للعدد ١٦ وهو اثنان. عند جمع قيمة مثل سالب ثلاثة، يكون ذلك مكافئًا لطرح العدد ثلاثة. علينا أن نتذكر تطبيق ترتيب إجراء العمليات الحسابية عند الجمع والطرح. هذا يعني أنه علينا العمل من اليمين إلى اليسار. اثنان زائد تسعة يساوي ١١، ناقص ثلاثة يساوي ثمانية، ناقص اثنين يساوي ستة. إذن، الإجابة هي ﺱ يساوي ستة.

يمكننا الآن تلخيص ما تعلمناه في هذا الفيديو. الجذر النوني، ﺭ، لعدد ما، ﺱ، هو القيمة التي تضرب نفسها عدد ﻥ من المرات لتعطينا ﺱ. على سبيل المثال، الجذر الرابع للعدد ٨١ هو ثلاثة؛ لأن ثلاثة يضرب نفسه أربع مرات ليعطينا ٨١. علينا التمييز بين ثلاثة مضروبًا في أربعة والذي يساوي ١٢، وبين ثلاثة مضروبًا نفسه أربع مرات، وهو ما يعطينا ٨١.

من الممكن أن تكون لدينا جذور نونية حقيقية لأعداد سالبة، إذا كانت قيمة ﻥ فردية. وكما رأينا في أحد الأسئلة، عرفنا أن الجذر التكعيبي لسالب ٢٧ يساوي سالب ثلاثة. وأخيرًا، علينا معرفة عدد من القوى الأولى للأعداد اثنين وثلاثة وأربعة. وبهذه الطريقة، سيكون من السهل جدًّا إيجاد الجذور النونية لهذه القيم المختلفة.