فيديو السؤال: إيجاد عزم ازدواج يكافئ نظامًا مكونًا من خمس قوى تؤثر على شكل سداسي منتظم الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

إذا كان ﺃﺏﺟﺩﻫﻭ شكلًا سداسيًّا منتظمًا طول ضلعه ستة سنتيمترات، وتؤثر قوى مقاديرها ٢٠ نيوتن و٢٠ نيوتن و١٣ نيوتن و١٣ نيوتن و٢٠ جذر ثلاثة نيوتن في اتجاه ﺃﺏ وﺏﺟ وﺟﻭ وﻫﺩ وﺟﺃ، على الترتيب، وكان النظام يكافئ ازدواجًا، فأوجد معيار عزمه.

حسنًا، دعونا نفترض أن هذا شكل سداسي منتظم ورءوسه هي ﺃ وﺏ وﺟ وﺩ وﻫ وﻭ. وبالنسبة إلى القوى المؤثرة على هذا الشكل السداسي، علمنا أن هناك قوة تؤثر في اتجاه الخط الممتد من ﺃ إلى ﺏ. وهي قوة مقدارها ٢٠ نيوتن. وفي اتجاه الخط الممتد من ﺏ إلى ﺟ، تؤثر قوة أخرى مقدارها ٢٠ نيوتن. وفي الاتجاه من ﺟ إلى ﻭ، على هذا الخط المتقطع، تؤثر قوة مقدارها ١٣ نيوتن. وفي الاتجاه من ﻫ إلى ﺩ، تؤثر قوة أخرى مقدارها ١٣ نيوتن. وأيضًا في الاتجاه من ﺟ إلى ﺃ، على هذا الخط المتقطع، تؤثر قوة مقدارها ٢٠ جذر ثلاثة نيوتن.

باعتبار هذه القوى نظامًا، نريد إيجاد معيار العزم؛ أي القيمة المطلقة للعزم الذي تنتجه هذه القوى حول مركز الشكل السداسي. هذا المركز يقع عند نقطة موجودة هنا تقريبًا. وأهم من ذلك أن الخط الممتد من ﺟ إلى ﻭ يمتد فوق نقطة المركز هذه. هذه معلومة مهمة لأنه عندما نبدأ في حساب قيمة العزم الناتج عن قوة ما، نجد أنه يساوي هذه القوة مضروبة في البعد العمودي لموضع تأثير القوة عن محور الدوران. وبالنسبة إلى القوة التي مقدارها ١٣ نيوتن، التي تؤثر في الاتجاه من ﺟ إلى ﻭ، فإن البعد العمودي ﻑ يساوي صفرًا. ويمر خط عمل هذه القوة بمحور الدوران. وعليه، فإنه لا يساهم بأي شكل في العزم حول نقطة المركز. وبالنسبة إلى القوى الأخرى، فإنها تشترك معًا في تكوين هذا العزم لأنه ليس لأي منها خط عمل يمر بالمركز.

لحساب العزم الكلي، هناك مسافتان علينا إيجادهما في الشكل. سمينا إحدى المسافتين ﻑ واحد هنا، والأخرى ﻑ اثنين هنا. إحدى هاتين المسافتين تمثل البعد العمودي لأحد أضلاع الشكل السداسي عن نقطة المركز، وهي ﻑ واحد، والمسافة الأخرى تمثل البعد العمودي لهذا الخط الممتد من ﺟ إلى ﺃ عن نقطة المركز؛ وهي ﻑ اثنان. ‏ﻑ واحد وﻑ اثنان هما القيمتان اللتان سنعوض بهما عن ﻑ في هذه المعادلة لحساب العزم الكلي. لذا سنوجد قيمتيهما، وسنبدأ بـ ﻑ واحد.

إذا بدأنا من الخط المتقطع الذي يمثل المسافة ﻑ واحد وتحركنا دورة كاملة حول نقطة المركز حتى نصل إلى هذا الخط مرة أخرى، فسنحصل على إزاحة زاوية مقدارها ٣٦٠ درجة. إذا قسمنا هذه الزاوية إلى ستة أجزاء متساوية، فسيغطي أحد هذه الأجزاء ضلعًا كاملًا من الشكل. وعليه، فإن قياس هذه الزاوية هو ٣٦٠ على ستة درجة. وإذا قسمنا هذه الزاوية إلى نصفين لتصبح ٣٦٠ على ١٢ درجة، فسيكون لدينا مثلث قائم الزاوية ارتفاعه هو المسافة التي نريد إيجادها لمعرفة قيمة ﻑ واحد. وفي هذا المثلث، نعلم قياس هذه الزاوية هنا، وهو ٣٦٠ درجة على ١٢ أو ٣٠ درجة.

ليس هذا فحسب، يمكننا أيضًا إيجاد طول هذا الضلع. تذكر أننا نعلم من المعطيات أن طول كل ضلع من أضلاع الشكل السداسي يساوي ستة سنتيمترات. وعليه، فإن طول هذا الضلع من المثلث القائم الزاوية لدينا يساوي نصف ذلك الطول؛ أي ثلاثة سنتيمترات. بمعرفة كل ذلك، يمكننا الآن كتابة العلاقة التي تربط بين هذه الزاوية المعلومة وطول هذا الضلع المعلوم وطول الضلع المجهول ﻑ واحد. ‏ظا ٣٠ درجة يساوي ثلاثة على ﻑ واحد أو، بشكل مكافئ، ﻑ واحد يساوي ثلاثة على ظا ٣٠ درجة. وبما أن ظا ٣٠ يساوي الجذر التربيعي لثلاثة على ثلاثة، يمكننا تبسيط مقدار حساب قيمة ﻑ واحد وإيضاح أنه يساوي ثلاثة في الجذر التربيعي لثلاثة.

بمعلومية ذلك، يمكننا الآن الانتقال إلى حساب المسافة الأخرى ﻑ اثنين. مرة أخرى، يمكننا رسم مثلث قائم الزاوية بحيث يكون ﻑ اثنان هو ارتفاع المثلث. سنعود الآن إلى الشكل الأصلي، لاحظ أننا إذا مددنا هذا الضلع في المثلث القائم الزاوية، فسنجد أنه يصل إلى الرأس ﺏ بالشكل السداسي. هذا يعني أن هذه الزاوية أو هذه الزاوية هنا في الشكل الأكبر الذي رسمناه تساوي ٣٦٠ درجة على ستة أو ٦٠ درجة. لإيجاد قيمة ﻑ اثنين، علينا معرفة طول ضلع آخر في هذا المثلث القائم الزاوية. يمكننا إيجاد طول الوتر باستخدام حقيقة أن طول الوتر هنا في المثلث الذي نتناوله الآن يساوي طول الوتر في المثلث السابق الذي استخدمناه لإيجاد قيمة ﻑ واحد.

إذا فكرنا في ذلك المثلث مرة أخرى، حيث إننا لم نرسم المثلثين وفقًا لمقياس رسم دقيق، يمكننا استخدام حقيقة أن طول هذا الضلع يساوي ثلاثة وطول الضلع ﻑ واحد هذا يساوي ثلاثة جذر ثلاثة، وكذلك استخدام نظرية فيثاغورس لنقول إن طول هذا الوتر يساوي الجذر التربيعي لثلاثة تربيع زائد ثلاثة جذر ثلاثة تربيع. وهذا يساوي الجذر التربيعي لـ ٣٦؛ أي ستة. وكما ذكرنا، طول هذا الوتر يساوي طول هذا الضلع. إذن في المثلث الذي ارتفاعه ﻑ اثنان، طول الوتر يساوي ستة.

يمكننا الآن استخدام الزاوية التي قياسها ٦٠ درجة وطول الوتر لإيجاد قيمة ﻑ اثنين. جيب تمام هذه الزاوية التي قياسها ٦٠ درجة يساوي ﻑ اثنين على ستة. وبتذكر أن جيب تمام الزاوية التي قياسها ٦٠ درجة يساوي نصفًا، يمكننا القول إن هذه المعادلة تشير إلى أن ﻑ اثنين يساوي ستة في نصف؛ أي ثلاثة. الآن وبعد أن عرفنا قيمتي ﻑ واحد وﻑ اثنين، أصبحنا مستعدين لتطبيق هذه المعادلة على جميع القوى. وبينما نفعل ذلك، دعونا نضع مبدأ يوضح أن أي عزم اتجاهه في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة يكون موجبًا. ومن ثم، يكون العزم في اتجاه دوران عقارب الساعة سالبًا. بالنظر إلى القوى الأربعة التي سنحسب عزومها، نلاحظ أن العزمين الناتجين عن القوتين اللتين مقدار كل منهما ٢٠ نيوتن سيكونان موجبين، بينما سيكون العزمان الناتجين عن القوتين اللتين مقداراهما ١٣ نيوتن و٢٠ جذر ثلاثة نيوتن سالبين.

وعليه، يمكننا كتابة التالي. العزم الكلي حول مركز الشكل السداسي يساوي ٢٠ في ﻑ واحد زائد ٢٠ في ﻑ واحد ناقص ١٣ في ﻑ واحد ناقص ٢٠ جذر ثلاثة في ﻑ اثنين. إذا عوضنا بعد ذلك عن قيمتي ﻑ واحد وﻑ اثنين في هذا التعبير، فسنجد أنه يمكننا أخذ ثلاثة جذر ثلاثة عاملًا مشتركًا من هذه الحدود كلها. وبحساب ما بداخل القوسين، نلاحظ أن موجب ٢٠ يلغي سالب ٢٠. وبذلك يصبح لدينا ثلاثة جذر ثلاثة في سبعة، أو ٢١ في الجذر التربيعي لثلاثة. هذه قيمة موجبة، ونحن نعرف أنها بوحدة النيوتن في السنتيمتر. إذن، معيار عزم هذه القوى هو ٢١ في الجذر التربيعي لثلاثة نيوتن سنتيمتر.