تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

فيديو: إيجاد حاصلَي الضرب القياسي والاتجاهي للمتجهات

أحمد لطفي

إذا كان المتّجه ﺃ = (−٣، ٠، −٢)، المتّجه ﺏ = (−١، −٣، ٣)، المتّجه ﺟ = (٢، −٢، −١)، فأوجد (المتّجه ﺃ + المتّجه ﺟ) ⋅ [(المتّجه ﺃ × المتّجه ﺏ) × (المتّجه ﺏ × المتّجه ﺟ)].

٠٨:٦٠

‏نسخة الفيديو النصية

إذا كان المتّجه أ بيساوي سالب تلاتة وصفر وسالب اتنين، والمتّجه ب بيساوي سالب واحد وسالب تلاتة وتلاتة، والمتّجه ﺟ بيساوي اتنين وسالب اتنين وسالب واحد. فأوجد الضرب القياسي بين مجموع المتّجهين المتّجه أ والمتّجه ب، وناتج الضرب الاتجاهي بين … الضرب الاتجاهى بين المتّجه أ والمتّجه ب، والضرب الاتجاهي للمتّجه ب والمتّجه ﺟ.

هنلاحظ إننا نقدر نعتبر المقدار اللي محتاجين نوجد قيمته هو ضرب ثلاثي قياسي. يعني مثلًا لو كان عندنا المتّجه م والمتّجه ن والمتّجه ل بالشكل ده، المتّجه م بيساوي م س وَ م ص وَ م ع، والمتّجه ن بيساوي ن س وَ ن ص وَ ن ع، والمتّجه ل بيساوي ل س وَ ل ص وَ ل ع. فالضرب الثلاثي القياسي للمتّجهات م وَ ن وَ ل، ممكن نكتبه في صورة الضرب القياسي للمتّجهين: المتّجه م، وناتج الضرب الاتجاهي للمتّجهين المتّجه ن والمتّجه ل. وهيساوي المحدد: الصف الأول م س وَ م ص وَ م ع، والصف التاني ن س وَ ن ص وَ ن ع، والصف التالت ل س وَ ل ص وَ ل ع.

وبالتالي ممكن نقول إن حاصل جمع المتّجهين المتّجه أ والمتّجه ﺟ، ممكن نعتبرهم المتّجه م. وإن الضرب الاتجاهي بين المتّجهين المتّجه أ والمتّجه ب، ممكن نعتبرهم المتّجه ن. وإن الضرب الاتجاهي بين المتّجهين المتّجه ب والمتّجه ﺟ، ممكن نعتبرهم المتّجه ل. وبالتالي هنكون محتاجين نوجد الضرب الثلاثي القياسي للمقدار.

في البداية محتاجين نوجد قيمة حاصل جمع المتّجهين: المتّجه أ، والمتّجه ﺟ. أول حاجة هنكتب المتّجه أ اللي هو سالب تلاتة وصفر وسالب اتنين، زائد … هنكتب المتّجه ب، اللي هو اتنين وسالب اتنين وسالب واحد. يعني هيساوي … هنجمع الإحداثي السيني، وهنجمع الإحداثي الصادي، وهنجمع الإحداثي العيني. فهيكون عندنا سالب تلاتة زائد اتنين، وصفر زائد سالب اتنين، وسالب اتنين زائد سالب واحد. يعني هيساوي سالب واحد وسالب اتنين وسالب تلاتة. يبقى كده قدرنا نوجد مجموع المتّجهين: المتّجه أ والمتّجه ﺟ.

تاني حاجة لو عايزين نوجد حاصل الضرب الاتجاهي بين المتّجهين: المتّجه أ، والمتّجه ب. وعشان نقدر نوجد قيمة حاصل الضرب الاتجاهي بين أي متّجهين، فبيساوي المحدد؛ بنكتب في الصف الأول متّجه الوحدة س، ومتّجه الوحدة ص، ومتّجه الوحدة ع. وفي الصف التاني بنكتب إحداثيات أول متّجه اللي هو المتّجه أ، اللي همّ هيبقوا سالب تلاتة وصفر وسالب اتنين. وفي الصف التالت بنكتب إحداثيات تاني متّجه، اللي هو المتّجه ب، اللي هيكون سالب واحد وسالب تلاتة وتلاتة.

يعني هيساوي … هنفك المحدد من خلال الصف الأول، فأول عنصر في الصف الأول هو متّجه الوحدة س، هيكون مضروب في … هنحذف الصف الأول والعمود الأول، فهيكون عندنا صفر في تلاتة، ناقص سالب اتنين في سالب تلاتة.

وتاني عنصر في الصف الأول هو متّجه الوحدة ص، وهنكتبه بإشارة سالبة. وهيكون عندنا متّجه الوحدة ص مضروب في … هنحذف الصف الأول والعمود التاني، فهيكون عندنا سالب تلاتة مضروب في تلاتة، ناقص سالب اتنين مضروبة في سالب واحد.

زائد … تالت عنصر في الصف الأول هو متّجه الوحدة ع. هيكون عندنا متّجه الوحدة ع مضروب في … هنحذف الصف الأول والعمود التالت، فهيكون عندنا سالب تلاتة في سالب تلاتة، ناقص صفر في سالب واحد. يعني هيساوي سالب ستة في متّجه الوحدة س، زائد حداشر في متّجه الوحدة ص، زائد تسعة في متّجه الوحدة ع. يبقى كده قدرنا نوجد ناتج الضرب الاتجاهي بين المتّجهين: المتّجه أ، والمتّجه ب.

آخر حاجة لو عايزين نوجد ناتج الضرب الاتجاهي بين المتّجهين: المتّجه ب، والمتّجه ﺟ؛ فهيساوي المحدد؛ الصف الأول: متّجه الوحدة س، ومتّجه الوحدة ص، ومتّجه الوحدة ع. والصف التاني: إحداثيات المتّجه الأول اللي هو المتّجه ب، اللي هو هيكون سالب واحد وسالب تلاتة وتلاتة. والصف التالت، إحداثيات تاني متّجه اللي هو المتّجه ﺟ، وهيكون اتنين وسالب اتنين وسالب واحد.

يعني هيساوي … هنفك من خلال الصف الأول، عندنا أول حاجة متّجه الوحدة س، مضروب في … هنحذف الصف الأول والعمود الأول، فهيكون عندنا سالب تلاتة في سالب واحد، ناقص تلاتة في سالب اتنين.

تاني عنصر في الصف الأول هو متّجه الوحدة ص، وهناخده بإشارة سالبة، فهيكون عندنا متّجه الوحدة ص مضروب في … هنحذف الصف الأول والعمود التاني، فهيكون عندنا سالب واحد مضروب في سالب واحد، ناقص تلاتة مضروبة في اتنين.

تالت عنصر في الصف الأول هو متّجه الوحدة ع، فهيكون عندنا متّجه الوحدة ع مضروب في … هنحذف الصف الأول والعمود التالت، فهيكون عندنا سالب واحد في سالب اتنين، ناقص سالب تلاتة في اتنين.

يعني هيساوي تسعة في متّجه الوحدة س، زائد خمسة في متّجه الوحدة ص، زائد تمنية في متّجه الوحدة ع. يبقى كده قدرنا نوجد ناتج الضرب الاتجاهي بين المتّجهين المتّجه ب والمتّجه ﺟ.

وعشان نقدر نوجد قيمة مقدار الضرب الثلاثي القياسي، فالمقدار هيساوي المحدد: الصف الأول هنكتب فيه إحداثيات ناتج جمع المتّجهين المتّجه أ والمتّجه ﺟ؛ يعني هنكتب سالب واحد وسالب اتنين وسالب تلاتة. والصف التاني هنكتب فيه إحداثيات ناتج الضرب الاتجاهي بين المتّجهين المتّجه أ والمتّجه ب؛ يعني هنكتب سالب ستة وحداشر وتسعة. والصف التالت هنكتب فيه ناتج الضرب الاتجاهي بين المتّجهين المتّجه ب والمتّجه ﺟ؛ يعني هنكتب تسعة وخمسة وتمنية.

يعني المقدار هيساوي … هنفك من خلال الصف الأول، فعندنا أول عنصر في الصف الأول هو سالب واحد. فعندنا سالب واحد مضروبة في … هنحذف الصف الأول والعمود الأول، فهيكون عندنا حداشر مضروبة في تمنية ناقص، تسعة مضروبة في خمسة.

وتاني عنصر في الصف الأول هو سالب اتنين، فهناخده بإشارة سالبة، فهيكون عندنا ناقص سالب اتنين مضروبة في … هنحذف الصف الأول والعمود التاني، فهيكون عندنا سالب ستة مضروبة في تمنية، ناقص تسعة مضروبة في تسعة.

وآخر عنصر في الصف الأول هو سالب تلاتة، فهيكون عندنا سالب تلاتة مضروبة في … هنحذف الصف الأول والعمود التالت، فهيكون عندنا سالب ستة مضروبة في خمسة ناقص، حداشر مضروبة في تسعة.

هنلاحظ إن عندنا حداشر في تمنية، يعني هتساوي تمنية وتمانين، ناقص تسعة في خمسة، يعني هتساوي خمسة وأربعين. تمنية وتمانين ناقص خمسة وأربعين، هيساوي تلاتة وأربعين؛ مضروبة في سالب واحد، يعني هيكون عندنا سالب تلاتة وأربعين. وعندنا سالب ستة مضروبة في تمنية بسالب تمنية وأربعين، وتسعة مضروبة في تسعة بواحد وتمانين.

بالتالي سالب تمنية وأربعين ناقص واحد وتمانين، هيساوي سالب مية تسعة وعشرين. هنضربها في سالب اتنين، هيساوي ميتين تمنية وخمسين. وفيه عندنا إشارة ناقص بره، فهيكون عندنا ناقص ميتين تمنية وخمسين. وهنلاحظ عندنا سالب ستة في خمسة بسالب تلاتين. وعندنا حداشر في تسعة بتسعة وتسعين. بالتالي سالب تلاتين ناقص تسعة وتسعين، هيساوي سالب مية تسعة وعشرين. هنضربها في سالب تلاتة، هيساوي تلتمية سبعة وتمانين.

يعني المقدار هيساوي سالب تلاتة وأربعين ناقص ميتين تمنية وخمسين زائد تلتمية سبعة وتمانين. يعني المقدار هيساوي ستة وتمانين. بالتالي قدرنا نوجد قيمة المقدار وكان بيساوي ستة وتمانين.