فيديو السؤال: إيجاد حاصل الضرب القياسي والاتجاهي بين المتجهات الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

إذا كان ﺃ متجهًا بمركبات سالب ثلاثة، صفر، سالب اثنين؛ وﺏ متجهًا بمركبات سالب واحد، سالب ثلاثة، ثلاثة؛ وﺟ متجهًا بمركبات اثنين، سالب اثنين، سالب واحد، فأوجد ﺃ زائد ﺟ ضرب قياسي ﺃ ضرب اتجاهي ﺏ ضرب اتجاهي ﺏ ضرب اتجاهي ﺟ.

لا توجد خدعة في هذا السؤال. علينا فقط حساب ذلك. سنستخدم ترتيب العمليات لتقسيم هذه المسألة الكبيرة إلى مسائل أصغر. على سبيل المثال، إيجاد ﺃ زائد ﺟ، وﺃ ضرب اتجاهي ﺏ، وﺏ ضرب اتجاهي ﺟ قبل دمجهم معًا. لنبدأ بإيجاد ﺃ زائد ﺟ. نقوم ببساطة بجمع مركبات ﺃ وﺟ لنحصل على سالب واحد، سالب اثنين، سالب ثلاثة. والآن ننتقل لإيجاد حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين ﺃ وﺏ. نمثل حاصل الضرب الاتجاهي هذا كمحدد حيث تكون المدخلات في الصف الأول هي متجهات الوحدة ﺱ وﺹ وﻉ، التي تشير إلى اتجاهات ﺱ وﺹ وﻉ على التوالي. في الصف الثاني، نضع مركبات ﺃ. وهي سالب ثلاثة، صفر، سالب اثنين. وفي الصف الثالث، نضع مركبات ﺏ. وهي سالب واحد، سالب ثلاثة، ثلاثة.

الآن علينا فقط إيجاد قيمة هذا المحدد بالطريقة العادية. نفك باستخدام الصف الأول لنحصل على حد لكل من المدخلات ﺱ وﺹ وﻉ. علينا الآن إيجاد قيمة كل محدد رتبته اثنان في اثنين. ويمكننا كتابة ذلك بالصورة الإحداثية هكذا. هيا نمسح بعض الخطوات لنوفر مساحة. نحاول الآن إيجاد ﺏ ضرب اتجاهي ﺟ. إنها العملية نفسها. نضع في المحدد الذي رتبته ثلاثة في ثلاثة متجهات الوحدة ﺱ وﺹ وﻉ ومركبات ﺏ وﺟ، ثم نفك باستخدام الصف الأول؛ ثم نوجد قيمة المحددات التي رتبتها اثنان في اثنين قبل كتابة هذا بالصورة الإحداثية. لدينا الآن جميع المركبات جاهزة.

بما أن لدينا الآن قيم ﺃ ضرب اتجاهي ﺏ وﺏ ضرب اتجاهي ﺟ، يمكننا إيجاد قيمة حاصل الضرب الاتجاهي لحواصل الضرب الاتجاهي، ﺃ ضرب اتجاهي ﺏ ضرب اتجاهي ﺏ ضرب اتجاهي ﺟ. نكتب حاصل الضرب الاتجاهي في صورة محدد رتبته ثلاثة في ثلاثة، ونفك باستخدام الصف الأول، ونوجد قيمة المحددات التي رتبتها اثنان في اثنين قبل كتابة المتجه في الصورة الإحداثية. الآن يمكننا حساب ناتج الضرب القياسي. لدينا مركبات المتجه ﺃ زائد ﺟ ومركبات حاصل الضرب الاتجاهي لحواصل الضرب الاتجاهي. نضرب المركبات المتناظرة ونجمع حواصل الضرب.

وبإيجاد قيمة ذلك، نجد أن إجابتنا هي ٨٦.

قلت في بداية الفيديو أنه لا يوجد خدعة في هذا السؤال. كان علينا فقط اتباع ترتيب العمليات بحرص وإجراء العمليات الحسابية. سنتناول في المتبقي من الفيديو مفاهيم أعلى كان يمكننا استخدامها لتوفر لنا القليل من العمليات الحسابية، لكن ليس كثيرًا. لكن قبل أن نتطرق إلى ذلك، أود أن أشير إلى شيء ما كان سيتطلب عمليات حسابية أقل لكن، لسوء الحظ، سيؤدي إلى إجابة خاطئة. في نهاية المطاف، كان الأمر يستحق ما بذلناه من جهد.

ربما كانت لديك الرغبة في إعادة تجميع العوامل في الضرب الاتجاهي لحواصل الضرب الاتجاهي. تظل العوامل بالترتيب نفسه. لكن سنحرك بعض الأقواس. السبب في رغبتك لفعل ذلك هو أن الضرب الاتجاهي لمتجه في نفسه يساوي متجهًا صفريًا. إذن ﺏ ضرب اتجاهي ﺏ يساوي بالتأكيد المتجه الصفري. وأي متجه يضرب ضربًا اتجاهيًا في متجه صفري يساوي أيضًا متجهًا صفريًا. إذن ﺃ ضرب اتجاهي ﺏ ضرب اتجاهي ﺏ يساوي أيضًا متجهًا صفريًا. ومرة أخرى، المتجه الصفري الذي يضرب ضربًا اتجاهيًا في أي متجه يساوي متجهًا صفريًا. إذن الأمر كله بالتأكيد عبارة عن متجه صفري. وعندما تضرب ﺃ زائد ﺟ ضربًا قياسيًا في هذا المتجه الصفري، بالطبع ستحصل على صفر. ولسوء الحظ، كما اكتشفنا، أن الإجابة الصحيحة هي ٨٦ وليست صفرًا. وقد أوضحنا أثناء حل المسألة أن حاصل الضرب الاتجاهي لحواصل الضرب الاتجاهي ليس صفرًا.

إذن أين الخطأ؟ صحيح أن ﺃ ضرب اتجاهي ﺏ ضرب اتجاهي ﺏ، أو ضربها ضربًا اتجاهيًا في ﺟ، يساوي المتجه الصفري. لقد كانت الخطوة الأولى التي قمنا بها عندما أعدنا ترتيب الأقواس هي الخطوة الخاطئة. على عكس حواصل الضرب الحقيقية التي تتضمن ضرب أعداد حقيقية وحتى حواصل ضرب المصفوفة التي تتضمن ضرب المصفوفات، فإن حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهات ليس تجميعيًا. هذا معناه أننا لا يمكننا تحريك الأقواس ببساطة كما نريد لكي نعيد تجميع الحدود. ينتهي بنا الأمر بتغيير القيمة كما رأينا.

في حين أن حاصل الضرب الاتجاهي لحواصل الضرب الاتجاهي ليس صفرًا، ربما تكون قد لاحظت أنه من مضاعفات المتجه ﺏ. إذا فكرنا في ذلك، فسنجده ليس مثيرًا للدهشة. حاصل الضرب الاتجاهي يعطي متجهًا عموديًا على كلا المدخلين. نعرف، على سبيل المثال، أن ﺃ ضرب اتجاهي ﺏ عمودي على كل من ﺃ وﺏ. وﺏ ضرب اتجاهي ﺟ عمودي على كل من ﺏ وﺟ. إذن ﺏ وجميع مضاعفاتها عمودية على كل من ﺃ ضرب اتجاهي ﺏ وﺏ ضرب اتجاهي ﺟ. وحاصل الضرب الاتجاهي لحواصل الضرب الاتجاهي عمودي أيضًا على كل من ﺃ ضرب اتجاهي ﺏ وﺏ ضرب اتجاهي ﺟ. وبالتالي ليس من المفاجئ أن يكون من مضاعفات ﺏ. السؤال هو، أي من مضاعفات ﺏ؟ اتضح أنك يمكنك إثبات أنه، بالنسبة لأي متجهات ﺃ وﺏ وﺟ، حاصل الضرب الاتجاهي لحواصل الضرب الاتجاهي سيكون ﺃ ضرب اتجاهي ﺏ ضرب قياسي ﺟ في ﺏ. ويمكنك التحقق من ذلك في المثال الذي لدينا، ﺃ ضرب اتجاهي ﺏ ضرب قياسي ﺟ يساوي سالب ٤٣.

يتطلب إثبات هذه المتطابقة بعض العمل. وحتى تطبيقها يتطلب بعض الحسابات، لكن ليس بقدر الحسابات التي ستحتاجها لو لم تطبقها. الخلاصة، بالنسبة لهذه المسألة ربما من الأفضل أن تجري العمليات الحسابية بعناية. لكن إذا كنت مستمرًا بالمشاهدة، أتمنى أن تكون قد استمتعت بهذا العرض لمستوى أعلى من المتجهات.