نسخة الفيديو النصية
أوجد المعادلة العامة للمستوى الذي يمر بالنقطة خمسة، واحد، سالب واحد، ويوازي المتجهين تسعة، سبعة، سالب ثمانية وسالب اثنين، اثنين، سالب واحد.
في هذا السؤال، مطلوب منا إيجاد المعادلة العامة لمستوى. ولنفعل ذلك، نعرف من المعطيات أنه يمر بالنقطة التي إحداثياتها خمسة، واحد، سالب واحد. ولدينا في المعطيات أيضًا متجهين يوازيان هذا المستوى، وهما المتجه تسعة، سبعة، سالب ثمانية والمتجه سالب اثنين، اثنان، سالب واحد. إذن للإجابة عن هذا السؤال، دعونا نبدأ بتذكر ما نعنيه بالمعادلة العامة للمستوى. نعلم أن المعادلة العامة للمستوى تكون على الصورة: ﺃﺱ زائد ﺏﺹ زائد ﺟﻉ زائد ﺩ يساوي صفرًا، حيث ﺃ وﺏ وﺟ وﺩ ثوابت. وبوجه خاص، المتجه ﺃ، ﺏ، ﺟ، سيكون متجهًا عموديًّا على المستوى.
إذن، لإيجاد المعادلة العامة للمستوى، علينا إيجاد متجه عمودي على هذا المستوى. ويمكننا فعل ذلك عن طريق ملاحظة أن لدينا متجهين موازيين للمستوى. وبما أن هذين المتجهين ليس أحدهما مضاعفًا قياسيًّا للآخر، يمكننا إيجاد متجه عمودي على هذين المتجهين باستخدام الضرب الاتجاهي. وبالطبع، إذا كان هناك متجه ما عموديًّا على متجهين موازيين للمستوى، فإن هذا المتجه سيكون عموديًّا أيضًا على المستوى. إذن، سنجعل المتجه ﻥ يساوي حاصل الضرب الاتجاهي لهذين المتجهين. ونتذكر أننا نوجد حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين في ثلاثة أبعاد عن طريق إيجاد قيمة محدد مصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة.
في الصف الأول من هذه المصفوفة، كتبنا متجهات الوحدة ذات الاتجاهات المعروفة ﺱ وﺹ وﻉ. وفي الصف الثاني والثالث، كتبنا مركبات المتجهين اللذين سنوجد حاصل الضرب الاتجاهي لهما. علينا إيجاد قيمة محدد المصفوفة ﺱ، ﺹ، ﻉ، تسعة، سبعة، سالب ثمانية، سالب اثنين، اثنين، سالب واحد. يمكننا بعد ذلك إيجاد قيمة هذا المحدد عن طريق الفك باستخدام الصف الأول. فنحصل على ﺱ في محدد المصفوفة سبعة، سالب ثمانية، اثنين، سالب واحد ناقص ﺹ في محدد المصفوفة تسعة، سالب ثمانية، سالب اثنين، سالب واحد زائد ﻉ في محدد المصفوفة تسعة، سبعة، سالب اثنين، اثنين.
كل ما علينا فعله الآن هو إيجاد قيمة محدد كل مصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين. ونتذكر أننا نفعل ذلك عن طريق إيجاد الفرق بين حاصل ضرب القطرين. عند إيجاد قيمة هذه المحددات، نحصل على ﺱ في سالب سبعة زائد ١٦ ناقص ﺹ مضروبًا في سالب تسعة ناقص ١٦ زائد ﻉ في ١٨ زائد ١٤. يمكننا بعد ذلك إيجاد قيمة هذا المقدار وتبسيطه. لنحصل على تسعة ﺱ زائد ٢٥ﺹ زائد ٣٢ﻉ. وأي مضاعف لا يساوي الصفر لهذا المتجه يمثل متجهًا عموديًّا على المستوى. وبذلك، نكون قد أوجدنا قيم ﺃ وﺏ وﺟ.
لكن ما زال علينا إيجاد قيمة ﺩ. يمكننا فعل ذلك باستخدام حقيقة أن النقطة التي إحداثياتها خمسة، واحد، سالب واحد تقع على المستوى. بناء عليه، علينا أولًا التعويض بقيم ﺃ وﺏ وﺟ في المعادلة العامة للمستوى. لنحصل على تسعة ﺱ زائد ٢٥ﺹ زائد ٣٢ﻉ زائد ﺩ يساوي صفرًا. إذا كانت النقطة خمسة، واحد، سالب واحد تقع على المستوى، فلا بد أن تحقق معادلة المستوى. إذن، يمكننا التعويض بإحداثياتها في هذه المعادلة. وهذا يعطينا تسعة في خمسة زائد ٢٥ مضروبًا في واحد زائد ٣٢ في سالب واحد زائد ﺩ يساوي صفرًا.
يمكننا بعد ذلك إيجاد قيمة هذا وحل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﺩ. لنحصل على ٤٥ زائد ٢٥ ناقص ٣٢ زائد ﺩ يساوي صفرًا، وهو ما يمكن تبسيطه ليصبح لدينا ٣٨ زائد ﺩ يساوي صفرًا. نطرح ٣٨ من كلا طرفي المعادلة لنحصل على ﺩ يساوي سالب ٣٨. ونعوض الآن بقيم ﺃ وﺏ وﺟ وﺩ في المعادلة العامة للمستوى. هذا يعطينا الإجابة النهائية. إذن، المعادلة العامة للمستوى الذي يمر بالنقطة خمسة، واحد، سالب واحد، ويوازي المتجهين تسعة، سبعة، سالب ثمانية؛ وسالب اثنين، اثنين، سالب واحد هي المعادلة: تسعة ﺱ زائد ٢٥ﺹ زائد ٣٢ﻉ ناقص ٣٨ يساوي صفرًا.
