فيديو: بحث وجود نهاية دالة متعددة التعريف عند نقطة

ابحث وجود ‪lim_(𝑥 → −15) 𝑓(𝑥)‬‏؛ حيث الدالة: ‪𝑓(𝑥) = −15𝑥 − 15‬‏ لكل ‪𝑥 < −15‬‏، ‪𝑓(𝑥) = 𝑥² − 15‬‏ لكل ‪𝑥 ≥ −15‬‏. [أ] النهاية غير موجودة؛ لأن ‪lim_(𝑥 → −15⁺) 𝑓(𝑥)‬‏ موجودة، ولكن ‪lim_(𝑥 → −15⁻) 𝑓(𝑥)‬‏ غير موجودة [ب] النهاية غير موجودة؛ لأن ‪lim_(𝑥 → −15⁻) 𝑓(𝑥)‬‏ موجودة، ولكن ‪lim_(𝑥 → −15⁺) 𝑓(𝑥)‬‏ غير موجودة [ج] النهاية غير موجودة؛ لأن كلًا من ‪lim_(𝑥 → −15⁻) 𝑓(𝑥)‬‏، ‪lim_(𝑥 → −15⁺) 𝑓(𝑥)‬‏ موجودتان، ولكنهما غير متساويتين [د] النهاية موجودة وتساوي ‪210‬‏ [هـ] النهاية موجودة وتساوي ‪−15‬‏

٠٧:٢٤

‏نسخة الفيديو النصية

ابحث وجود نهاية الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 عندما تقترب 𝑥 من سالب 15؛ حيث الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 تساوي سالب 15𝑥 ناقص 15 لكل 𝑥 أقل من سالب 15، وتساوي 𝑥 تربيع ناقص 15 لكل 𝑥 أكبر من أو تساوي سالب 15.

لدينا خمسة خيارات (أ) و(ب) و(ج) و(د) و(هـ) لنختار واحدًا من بينها. يقول الخيار (أ) إن الدالة ليس لها نهاية؛ وذلك لأن نهاية الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 عندما تقترب 𝑥 من سالب 15 من الطرف الأيمن موجودة، ولكن نهاية الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 عندما تقترب 𝑥 من سالب 15 من الطرف الأيسر ليست موجودة. أما الخيار (ب)، فيقول إن نهاية الدالة غير موجودة؛ وذلك لأن نهاية الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 عندما تقترب 𝑥 من سالب 15 من الطرف الأيسر موجودة، ولكن نهاية الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 عندما تقترب 𝑥 من سالب 15 من الطرف الأيمن ليست موجودة. أما الخيار (ج)، فيقول إن نهاية الدالة غير موجودة؛ وذلك لأن كلًا من نهاية الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 عندما تقترب 𝑥 من سالب 15 من الطرف الأيسر موجودة، ونهاية الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 عندما تقترب 𝑥 من سالب 15 من الطرف الأيمن موجودة، ولكنهما غير متساويتين. أما الخيار (د)، فيقول إن النهاية موجودة وتساوي 210. وأخيرًا، يقول الخيار (هـ) إن النهاية موجودة وتساوي سالب 15.

حسنًا، لقد ذكرنا معلومات كثيرة هنا. ولكن المسألة تطلب في الأساس إيجاد قيمة نهاية دالة متعددة التعريف عندما تقترب 𝑥 من القيمة التي تتغير عندها القاعدة التي تعرف الدالة. وطلب منا بحث وجود نهاية للدالة، وجاءت الخيارات المعطاة لتوضح لنا معنى ذلك. فإذا كانت النهاية موجودة، فلا بد أن نبين هذا وأن نحدد قيمتها. وإذا كانت النهاية غير موجودة، فلا بد أن نوضح السبب في ذلك — ونحدد المعيار الذي لم ينطبق.

بوضع هذا في الاعتبار، يمكننا مسح الخيارات من الشاشة ليكون لدينا مساحة لحل المسألة. إذن ما المطلوب لكي تكون هذه النهاية موجودة؟ حسنًا، بالنسبة إلى أي دالة 𝑓، توجد نهاية الدالة 𝑓 للمتغير 𝑥 عندما تقترب 𝑥 من 𝑎 في حال وجود نهاية كل من الطرف الأيمن والطرف الأيسر وتساويهما. إذن، ثمة ثلاثة عناصر لا بد من توافرها: لا بد من وجود نهاية الدالة 𝑓 للمتغير 𝑥 عندما تقترب 𝑥 من 𝑎 من جهة اليسار، ولا بد من وجود نهاية الدالة 𝑓 للمتغير 𝑥 عندما تقترب 𝑥 من 𝑎 من جهة اليمين، ولا بد أن تكون هاتان النهايتان متساويتين.

وبالتفكير في الخيارات التي ذكرناها سابقًا، تقول ثلاثة منها إن النهايات غير موجودة. والسبب في ذلك هو عدم توافر أحد هذه العناصر الثلاثة — ويختلف العنصر غير المتوفر في كل خيار. ولحل المسألة، سنطبق هذا التعريف على الدالة الموجودة لدينا وفقًا لتعريفها المذكور آنفًا بحيث تساوي قيمة النهاية 𝑎 سالب 15. وسنرى ما إذا كانت نهايتا الطرف الأيمن والطرف الأيسر موجودتان أم لا. وإذا كانتا موجودتين، فهل هما متساويتين أم لا. والطريقة التي سنتبعها هي إيجاد قيمة هذه النهايات.

وسنبدأ بنهاية الطرف الأيسر، الذي عرفت فيه الدالة 𝑓 للمتغير 𝑥 على النحو الوارد آنفًا. وتخبرنا علامة الناقص الفوقية هذه أن هذه هي نهاية الطرف الأيسر. إذن فإن هذه هي نهاية الدالة 𝑓 للمتغير 𝑥 عندما تقترب 𝑥 من سالب 15 من الطرف الأيسر حيث تكون قيمة 𝑥 أقل من سالب 15، ولكنها تقترب أكثر فأكثر من سالب 15. وعندما تكون 𝑥 أقل من سالب 15، فإن الدالة 𝑓 للمتغير 𝑥 تساوي سالب 15𝑥 ناقص 15. وبالتالي يمكننا استبدال الدالة 𝑓 للمتغير 𝑥 داخل النهاية بسالب 15𝑥 ناقص 15. ويمكننا إيجاد قيمة هذه النهاية، وهي نهاية دالة خطية ظهرت من التعويض المباشر.

وعند التعويض عن 𝑥 بسالب 15، فإننا نحصل على سالب 15 في سالب 15 ناقص 15 وهو ما يساوي 210. وسنقوم بخطوات مشابهة لإيجاد نهاية الدالة 𝑓 للمتغير 𝑥 عندما تقترب 𝑥 من سالب 15 من الطرف الأيمن. ولنتذكر أن علامة الموجب الفوقية هذه تخبرنا أن 𝑥 أكبر من سالب 15 عندما تقترب من سالب 15. ويمكننا أن نرى من تعريف الدالة 𝑓، عندما تكون 𝑥 أكبر من أو تساوي سالب 15، وبالتأكيد عندما تكون 𝑓 أكبر من سالب 15 فحسب، أن الدالة 𝑓 للمتغير 𝑥 تساوي 𝑥 تربيع ناقص 15.

لذلك، داخل هذه النهاية نجد أن الدالة 𝑓 للمتغير 𝑥 تساوي 𝑥 تربيع ناقص 15. وبما أن هذه نهاية دالة كثيرة الحدود، يمكننا إيجاد قيمتها بالتعويض المباشر. وعند التعويض عن 𝑥 بسالب 15 ثم إيجاد قيمة هذا المقدار، فإننا نحصل على 210، وهكذا نكون قد أوضحنا بإيجاد قيمة النهايتين أن كلًا من نهاية الطرف الأيمن ونهاية الطرف الأيسر موجودتان. ويمكننا أيضًا أن نرى أنهما متساويتان. فكلتاهما تساوي 210. وعليه فإن نهاية الطرف الأيسر موجودة، ونهاية الطرف الأيمن موجودة، وقيمة هذين العنصرين متساوية. إذن، فإن نهاية الدالة 𝑓 للمتغير 𝑥 عندما تقترب 𝑥 من سالب 15 موجودة.

وعندما تكون النهاية موجودة، تكون قيمتها هي قيمة نهايتي الطرف الأيمن والأيسر، وهما كما رأينا متساويتان. وبالتالي، فإن نهاية الدالة 𝑓 للمتغير 𝑥 المعرفة أعلاه عندما تقترب 𝑥 من سالب 15 موجودة وتساوي 210. وهذا هو الخيار (د) الذي ظهر ضمن الخيارات المطروحة في رأس المسألة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.