نسخة الفيديو النصية
افترض أن ﺱ يعبر عن المتغير العشوائي المتقطع الذي يمكن أن يأخذ القيم سالب اثنين، وسالب واحد، وﻡ، واثنان. إذا كان ﺱ له دالة التوزيع الاحتمالي ﺩ ﺱ تساوي ﺱ زائد أربعة على ١٦، فأوجد تباين ﺱ.
تباين المتغير العشوائي المتقطع هو قياس مدى تشتت قيم هذا المتغير العشوائي المتقطع عن قيمته المتوقعة. ويحسب باستخدام الصيغة: تباين ﺱ يساوي توقع ﺱ تربيع ناقص القيمة المتوقعة لـ ﺱ الكل تربيع. يمكننا التفكير في ذلك على صورة التوقع لمتغير ما تربيع ناقص مربع التوقع.
يمكن إيجاد توقع ﺱ بضرب كل قيمة ﺱ في مدى المتغير العشوائي المتغير في احتماله، ويرمز له بـ ﺩ ﺱ، ثم إيجاد مجموع هذه القيم، في حين يمكن إيجاد توقع ﺱ تربيع من خلال تربيع كل قيمة ﺱ، وضرب ذلك في الاحتمال، ثم إيجاد مجموع هذه القيم.
لدينا في المعطيات دالة التوزيع الاحتمالي ﺩ ﺱ. إنها تساوي ﺱ زائد أربعة على ١٦. وتوجد أربع قيم في مدى هذا المتغير العشوائي المتقطع: سالب اثنين، وسالب واحد، وقيمة مجهولة ﻡ، واثنان. قبل حساب توقع ﺱ وتوقع ﺱ تربيع، علينا إيجاد قيمة هذا المجهول ﻡ. يمكننا فعل ذلك بتذكر أن مجموع جميع الاحتمالات في دالة التوزيع الاحتمالي لا بد أن يساوي واحدًا. ومن ثم، يمكننا إيجاد احتمال أن ﺱ يساوي سالب اثنين، واحتمال أن ﺱ يساوي سالب واحد، واحتمال أن ﺱ يساوي اثنين، واحتمال أن ﺱ يساوي ﻡ، ثم تكوين معادلة.
بالتعويض بـ ﺱ يساوي سالب اثنين في دالة التوزيع الاحتمالي أولًا، نحصل على ﺩ لسالب اثنين يساوي سالب اثنين زائد أربعة على ١٦، وهو ما يساوي اثنين على ١٦. ﺩ لسالب واحد يساوي سالب واحد زائد أربعة على ١٦، وهو ما يساوي ثلاثة على ١٦. ﺩ ﻡ يساوي ﻡ زائد أربعة على ١٦. وأخيرًا، ﺩ لاثنين يساوي اثنين زائد أربعة على ١٦، وهو ما يساوي ستة على ١٦. بجمع هذه القيم أو التعبيرات الأربعة، نحصل على المعادلة اثنين على ١٦ زائد ثلاثة على ١٦ زائد ﻡ زائد أربعة على ١٦ زائد ستة على ١٦ يساوي واحدًا. بجمع الحدود في الطرف الأيمن، نحصل على ﻡ زائد ١٥ على ١٦ يساوي واحدًا. يمكننا بعد ذلك ضرب كلا طرفي هذه المعادلة في ١٦ لنحصل على ﻡ زائد ١٥ يساوي ١٦. ثم بطرح ١٥ من كلا الطرفين، نجد أن ﻡ يساوي واحدًا. إذن، قيمة الاحتمال ﺩ ﻡ أو ﺩ لواحد تساوي خمسة على ١٦.
هكذا نكون قد أوجدنا قيمة هذا المجهول ﻡ. قد نجد أنه من المفيد الآن كتابة التوزيع الاحتمالي لـ ﺱ في جدول. نكتب القيم التي يمكن أن يأخذها ﺱ في الصف العلوي ثم الاحتمالات، التي وجدنا أنها اثنين على ١٦، وثلاثة على ١٦، وخمسة على ١٦، وستة على ١٦، في الصف الثاني. لحساب توقع ﺱ، علينا ضرب كل قيمة ﺱ في قيمة ﺩ ﺱ الخاصة بها. لذا، نضيف صفًّا إضافيًّا إلى الجدول لفعل ذلك. هذا يعطينا القيم سالب أربعة على ١٦، وسالب ثلاثة على ١٦، وخمسة على ١٦، و١٢ على ١٦. وسنحتفظ بكل قيمة من هذه القيم بالمقام المشترك ١٦. ومن ثم، فإن توقع ﺱ يساوي مجموع هذه القيم الأربعة، وهو ١٠ على ١٦. وسنبسط ذلك إلى خمسة على ثمانية.
بعد ذلك، علينا حساب القيمة المتوقعة لـ ﺱ تربيع. لذا، نضيف صفًّا إلى الجدول لإيجاد القيم ﺱ تربيع، وهي أربعة، وواحد، وواحد، وأربعة. والآن، بما أن لدينا قيمًا متكررة للقيم ﺱ تربيع، يمكننا إذن إيجاد توزيع احتمالي جديد للمتغير ﺱ تربيع عن طريق دمج احتمالات القيم ﺱ التي تقود إلى كل قيمة متكررة من قيم ﺱ تربيع. لكن إذا أردنا استخدام الجدول نفسه الذي نتعامل معه بالفعل، فلسنا بحاجة إلى فعل ذلك. يمكننا إنشاء صف جديد في هذا الجدول، حيث نضرب القيم ﺱ تربيع في ﺩ ﺱ، لنحصل على ثمانية على ١٦، وثلاثة على ١٦، وخمسة على ١٦، و٢٤ على ١٦. توقع ﺱ تربيع يساوي مجموع هذه القيم الأربعة، وهو ٤٠ على ١٦. ويمكن تبسيط ذلك إلى خمسة على اثنين.
وأخيرًا، لحساب تباين ﺱ، نأخذ توقع ﺱ تربيع، ونطرح منه مربع توقع ﺱ. إذن، لدينا خمسة على اثنين ناقص خمسة على ثمانية تربيع. أي خمسة على اثنين ناقص ٢٥ على ٦٤. بضرب كل من بسط ومقام الكسر خمسة على اثنين في ٣٢، يمكننا التعبير عن ذلك على صورة الكسر المكافئ ١٦٠ على ٦٤. ثم بطرح ٢٥ على ٦٤ من هذه القيمة، نحصل على ١٣٥ على ٦٤.
إذن، من خلال إيجاد قيمة هذا المجهول ﻡ أولًا، ثم بتذكر أن مجموع كل الاحتمالات في دالة التوزيع الاحتمالي يجب أن يساوي واحدًا، وجدنا أن تباين هذا المتغير العشوائي المتقطع ﺱ يساوي ١٣٥ على ٦٤.
