نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نبسط النسبة بين ثلاثة أعداد ونستخدمها لحل المسائل. سنبدأ بتذكر ما نعنيه بكلمة «نسبة». تعبر النسبة عن العلاقة بين مقداري قيمتين أو أكثر. في هذا الفيديو، سنتناول أسئلة تحتوي على ثلاث قيم. يمكن التعبير عن النسب بطرق مختلفة؛ أولًا باستخدام نقطتين رأسيتين لفصل القيم، وثانيًا بكتابتها في صورة كسور لفصل قيمة واحدة عن إجمالي القيم. يمكن تحويل أي كسر إلى عدد عشري بقسمة البسط على المقام، وفي هذه الحالة نقسم قيمة واحدة على إجمالي القيم. وأخيرًا، يمكننا تحويل أي عدد عشري إلى نسبة مئوية بضرب العدد العشري في ١٠٠.
على سبيل المثال، دعونا نتخيل أن لدينا ولدًا واحدًا وثلاث بنات. يمكن كتابة ذلك في صورة النسبة واحد إلى ثلاثة؛ حيث يمثل العدد الأول عدد الأولاد، ويمثل العدد الثاني عدد البنات. عند كتابة النسبة، من المهم أن يكون الترتيب صحيحًا. فإذا أردنا الحصول على نسبة عدد البنات إلى عدد الأولاد، فستكون ثلاثة إلى واحد. وبما أن العدد الكلي للأطفال هو أربعة، ويوجد ولد واحد؛ فهذا يعني أن ربع عدد الأطفال أولاد، وثلاثة أرباعه بنات. يمكن تحويل هذين الكسرين إلى عددين عشريين بقسمة واحد على أربعة، وثلاثة على أربعة؛ وهو ما يعطينا ٠٫٢٥، و٠٫٧٥. هذا يعني أن ٢٥ بالمائة من الأطفال أولاد، و٧٥ بالمائة بنات. السؤال الأول الذي سنتناوله يتضمن تبسيط نسبة.
اكتب النسبة ٧٢ : ٥٤ : ٨١ في أبسط صورة.
لتبسيط أي نسبة، علينا قسمة كل الأعداد على القيمة نفسها. هذا يعني أننا سنبحث عن عامل مشترك بين الأعداد ٧٢، و٥٤، و٨١. ومع أنه سيكون من الأسرع اختيار العامل المشترك الأكبر، فإن أي عامل مشترك سيمكننا من بدء الإجابة عن السؤال. الأعداد ٧٢، و٥٤، و٨١ موجودة كلها في جدول ضرب العدد تسعة. لذا، فإن جميعها يقبل القسمة على تسعة. ٧٢ على تسعة يساوي ثمانية، و٥٤ على تسعة يساوي ستة، و٨١ على تسعة يساوي تسعة. هذا يعني أن النسبة تبسط إلى ثمانية إلى ستة إلى تسعة. هذه الأعداد الثلاثة ليس بينها عامل مشترك سوى واحد. هذا يعني أن هذه النسبة في أبسط صورها. وفي حين أن ثمانية وستة يقبلان القسمة على اثنين، فإن تسعة لا يقبل. وكذلك، ستة وتسعة يقبلان القسمة على ثلاثة، بينما ثمانية لا يقبل. إذن، النسبة ٧٢ : ٥٤ : ٨١ في أبسط صورة هي ثمانية : ستة : تسعة.
السؤال التالي يتضمن الدمج بين نسبتين لإيجاد النسبة بين ثلاثة أعداد.
أوجد النسبة بين الأعداد الثلاثة ﺃ، ﺏ، ﺟ، إذا كان ﺃ إلى ﺏ هو ١٠ إلى واحد، وﺏ إلى ﺟ هو اثنان إلى واحد.
يطلب منا السؤال إيجاد نسبة ﺃ إلى ﺏ إلى ﺟ. وأخبرنا السؤال بأن نسبة ﺃ إلى ﺏ هي ١٠ إلى واحد. وأخبرنا أيضًا بأن نسبة ﺏ إلى ﺟ هي اثنان إلى واحد. ونلاحظ هنا أن ﺏ موجود في كلا النسبتين. إذن، علينا استخدام نسبتين متكافئتين لضمان أن يكون ﺏ له القيمة نفسها. يمكننا إيجاد نسبة مكافئة بضرب القيمتين في العدد نفسه. هذا يعني أن النسبة ٢٠ إلى اثنين مكافئة للنسبة ١٠ إلى واحد؛ حيث ضربنا كلتا القيمتين في اثنين. إذن، النسبة ﺃ إلى ﺏ يمكن إعادة كتابتها لتصبح ٢٠ إلى اثنين. وبما أن قيمتي ﺏ متساويتان الآن، فإن النسبة ﺃ إلى ﺏ إلى ﺟ هي ٢٠: اثنين : واحد.
السؤالان التاليان يتناولان مسائل سياقية متعلقة بالنسب.
النسبة بين ارتفاع ثلاثة مبان أ وب وﺟ هي ١٠ : أربعة : ثلاثة. إذا كان ارتفاع المبنى أ ٦٠ مترًا، فأوجد ارتفاع المبنى ب والمبنى ﺟ.
يخبرنا السؤال بأن النسبة بين الارتفاعات هي ١٠ : أربعة : ثلاثة. ونعلم أيضًا أن ارتفاع المبنى أ ٦٠ مترًا. يمكننا إيجاد نسب مكافئة بضرب كل من هذه القيم في العدد نفسه. ١٠ في ستة يساوي ٦٠. هذا يعني أنه لإيجاد نسبة مكافئة، علينا أيضًا ضرب أربعة وثلاثة في ستة. أربعة في ستة يساوي ٢٤، وثلاثة في ستة يساوي ١٨. هذا يعني أن النسبة ١٠ : أربعة : ثلاثة تكافئ النسبة ٦٠ : ٢٤ : ١٨. وبذلك، يمكننا استنتاج أن ارتفاع المبنى ب ٢٤ مترًا، وارتفاع المبنى ﺟ ١٨ مترًا.
العدد الإجمالي للتلاميذ في الصفوف الأول والثاني والثالث بإحدى المدارس الابتدائية يساوي ٢٨٥ تلميذًا، ويمثل بالنسبة سبعة : أربعة : ثمانية. احسب عدد التلاميذ في كل صف.
يمكننا توزيع أي عدد إجمالي - في هذه الحالة ٢٨٥ تلميذًا - حسب نسبة معطاة، باتباع الخطوات الثلاث الآتية. علينا أولًا إيجاد مجموع النسب. سبعة زائد أربعة زائد ثمانية يساوي ١٩. الخطوة الثانية هي قسمة الإجمالي على هذا الناتج. ٢٨٥ على ١٩ يساوي ١٥. هذا يساوي جزءًا واحدًا، أو حصة واحدة من النسبة.
خطوتنا الأخيرة هي ضرب قيمة الجزء الواحد في كل جزء من أجزاء النسبة. ١٥ في سبعة يساوي ١٠٥. ١٥ في أربعة يساوي ٦٠. ١٥ في ثمانية يساوي ١٢٠. وبما أن العدد سبعة يناظر عدد تلاميذ الصف الأول، فهذا يعني أن هناك ١٠٥ تلاميذ في الصف الأول، و٦٠ تلميذًا في الصف الثاني، و١٢٠ تلميذًا في الصف الثالث. ويجدر بنا دائمًا أن نتحقق من إجابتنا بجمع القيم للتأكد من أن مجموعها يساوي العدد الإجمالي. ١٠٥ زائد ٦٠ زائد ١٢٠ يساوي ٢٨٥. هذه الطريقة تصلح لتوزيع أي عدد إجمالي بين أي عدد من أجزاء النسبة.
آخر سؤالين سنتناولهما هما مسألتان جبريتان أكثر تعقيدًا.
إذا كان ١٠𝑥 يساوي ١١ﺹ يساوي ١٢ﻉ، فأوجد ﺱ إلى ﺹ إلى ﻉ.
هناك عدة طرق لحل هذه المسألة. إحداها هي إيجاد القيم التي تحل الأجزاء المختلفة من المعادلة أولًا. لنبدأ بتناول ١٠ﺱ يساوي ١١ﺹ. التعويض بالقيمتين ﺱ يساوي ١١، وﺹ يساوي ١٠، سيحقق هذه المعادلة. نجد أن ١٠ في ١١، و١١ في ١٠ كلاهما يساوي ١١٠. هذا يعني أن نسبة ﺱ إلى ﺹ يمكن كتابتها في صورة: ١١ إلى ١٠. دعونا الآن نفكر في حقيقة أن ١٠ﺱ يساوي أيضًا ١٢ﻉ. في هذه المعادلة، أحد الحلول هو أن ﺱ يساوي ١٢، وﻉ يساوي ١٠. حيث إن ١٠ في ١٢، و١٢ في ١٠ كلاهما يساوي ١٢٠. هذا يعني أن النسبة ﺱ إلى ﻉ هي: ١٢ إلى ١٠.
لدينا الآن نسبتان؛ نسبة ﺱ إلى ﺹ، ونسبة ﺱ إلى ﻉ. لدمج هاتين النسبتين، علينا استخدام نسبتين مكافئتين للتأكد من أن ﺱ له القيمة نفسها. المضاعف المشترك الأصغر للعددين ١١ و١٢ هو ١٣٢. يمكننا بذلك ضرب النسبة بالأعلى في ١٢، والنسبة بالأسفل في ١١. وبهذا نجد أن النسبة ١١ إلى ١٠ مكافئة للنسبة ١٣٢ إلى ١٢٠. بالمثل، النسبة ﺱ إلى ﻉ التي تساوي ١٢ إلى ١٠ مكافئة للنسبة ١٣٢ إلى ١١٠. وبما أن قيمتي ﺱ متساويتان، يمكننا الآن دمج النسبتين. نسبة ﺱ إلى ﺹ إلى ﻉ هي ١٣٢ : ١٢٠ : ١١٠.
يمكننا تبسيط هذه النسبة؛ فجميع القيم أعداد زوجية ولذلك تقبل القسمة على اثنين. ١٣٢ على اثنين يساوي ٦٦. و١٢٠ على اثنين يساوي ٦٠. و١١٠ على اثنين يساوي ٥٥. إذن، النسبة ﺱ إلى ﺹ إلى ﻉ في أبسط صورة هي ٦٦:٦٠:٥٥؛ حيث إن هذه الأعداد الثلاثة ليس بينها عامل مشترك سوى الواحد.
إذا كان ﺱ إلى ﺹ إلى ﻉ يساوي ثلاثة : أربعة : ثمانية، فأوجد قيمة ﺱ تربيع زائد ﺹ تربيع زائد ﻉ تربيع مقسومًا على ﺹ مضروبًا في ﺱ زائد ﻉ.
يمكننا أن نلاحظ من النسبة المعطاة أن قيمة ﺱ تساوي ثلاثة، وقيمة ﺹ تساوي أربعة، وقيمة ﻉ تساوي ثمانية. يمكننا التعويض بهذه القيم مباشرة في هذا المقدار. ثلاثة تربيع يساوي تسعة، وأربعة تربيع يساوي ١٦، وثمانية تربيع يساوي ٦٤. وبذلك يصبح البسط بعد التبسيط تسعة زائد ١٦ زائد ٦٤. يمكننا تبسيط المقام باتباع ترتيب العمليات الحسابية. سنتعامل مع القوس أولًا، وهو ما يعطينا أربعة مضروبًا في ١١. تسعة زائد ١٦ زائد ٦٤ يساوي ٨٩. أربعة مضروبًا في ١١ يساوي ٤٤.
إذن، قيمة المقدار ﺱ تربيع زائد ﺹ تربيع زائد ﻉ تربيع مقسومًا على ﺹ مضروبًا في ﺱ زائد ﻉ يساوي ٨٩ على ٤٤. ولا يمكن تبسيط هذا الكسر لأن العددين ٨٩ و٤٤ ليس بينهما عامل مشترك سوى الواحد.
سنلخص الآن النقاط الأساسية التي تناولناها في هذا الفيديو. لقد استرجعنا في بداية الفيديو أن النسبة تعبر عن العلاقة بين مقداري قيمتين أو أكثر. في هذا الفيديو، تناولنا مسائل تتضمن ثلاث قيم؛ حيث كانت النسب مكتوبة في صورة: ﺱ إلى ﺹ إلى ﻉ. تضمنت الأسئلة التي أجبنا عنها تبسيط النسب، وتقسيم عدد إجمالي باستخدام نسبة، ومسائل جبرية. تناولنا موضوعات مهمة تساعدنا في حل مسائل تتعلق بالنسب؛ وتتضمن العوامل، والمضاعفات، والعمليات الحسابية الأساسية.
