نسخة الفيديو النصية
تتحرك مركبتان متطابقتان على طريقين مختلفين تحت نفس الظروف. واجه سائقا المركبتين عائقًا، وضغطا على الفرامل فجأة، ثم توقفا تمامًا. كانت السرعة الابتدائية للسائق الأول تساوي ضعف السرعة الابتدائية للسائق الثاني. كيف تكون مسافتا الفرملة للمركبتين، إن وجدتا، مختلفتين؟ (أ) مسافة الفرملة للسائق الأول تساوي ضعف مسافة الفرملة للسائق الثاني؛ لأن مسافة الفرملة تتناسب طرديًّا مع السرعة الابتدائية. (ب) مسافة الفرملة للسائق الأول تساوي أربعة أمثال مسافة الفرملة للسائق الثاني؛ لأن مسافة الفرملة تتناسب طرديًّا مع مربع السرعة الابتدائية. (ج) مسافة الفرملة للسائق الأول تساوي نصف مسافة الفرملة للسائق الثاني؛ لأن مسافة الفرملة تتناسب عكسيًّا مع السرعة الابتدائية. (د) تكونان متساويتين؛ لأن مسافة الفرملة لا تعتمد على السرعة الابتدائية.
في هذه الحالة، لدينا مركبتان متطابقتان تسيران على طريقين مختلفين. والطريقان لهما نفس الظروف. علمنا من السؤال أن السرعة الابتدائية للسائق الأول، التي سنسميها 𝑣 واحد، تساوي ضعف السرعة الابتدائية للسائق الثاني، التي سنسميها 𝑣 اثنين. كما نعلم أنه تحت هذه الظروف، يواجه كلا السائقين عائقًا في الطريق. لنفترض أن هذا العائق يتمثل في هذه الشجرة الساقطة. بمجرد أن يرى كلا السائقين هذا العائق، يضغطان بقوة على الفرامل لإيقاف مركبتيهما.
تصف خيارات الإجابة الأربعة ما يسمى بمسافة الفرملة لهذين السائقين. دعونا نفهم المقصود بمسافة الفرملة. لنفترض أنه عند هذه اللحظة الموضحة هنا، يصل الضوء القادم من العائق الموجود على الطريق إلى أعين السائقين. سيحتاج كلا السائقين إلى معالجة هذه المعلومات ثم إرسال إشارة إلى قدميهما للضغط على دواسة الفرامل. يستغرق هذا وقتًا، وخلال ذلك الوقت تستمر المركبتان في التحرك.
لنفترض أنه بحلول الوقت الذي يبدأ فيه السائق الأول بالضغط على دواسة الفرامل، تكون المركبة الأولى هنا. وبحلول الوقت الذي يبدأ فيه السائق الثاني بالضغط على دواسة الفرامل، تكون المركبة الثانية هنا. في هذه اللحظة، لا تتغير سرعة كلا المركبتين. حيث تظل سرعة المركبة الأولى 𝑣 واحد، وسرعة المركبة الثانية 𝑣 اثنين. لكن، عندما يبدأ السائقان في الضغط على الفرامل، تبدأ كل من المركبتين في التباطؤ. ونظرًا لأن هاتين المركبتين متطابقتان، يمكننا القول إنه بمجرد الضغط على الفرامل، سيتحرك كل منهما بعجلة 𝑎 ناحية اليسار، كما رسمنا هنا. تظل هذه العجلة ثابتة أثناء انخفاض سرعة المركبتين حتى تتوقفا.
بينما تتحرك هاتان المركبتان بعجلة حتى تصلا إلى السكون، تقطعان مسافة تسمى مسافة الفرملة. ونريد أن نقارن بين مسافة الفرملة التي قطعها السائق الأول ومسافة الفرملة التي قطعها السائق الثاني. بما أن هاتين المركبتين تتحركان بعجلة ثابتة، يمكننا التفكير في هذا السؤال من حيث معادلات الحركة. لعلنا نتذكر أن هذه المعادلات تستخدم عندما تكون العجلة التي يتحرك بها جسم ما ثابتة.
تنص إحدى معادلات الحركة الأربع على أن مربع السرعة النهائية لجسم ما يساوي مربع السرعة الابتدائية لهذا الجسم زائد اثنين في عجلة الجسم في إزاحته 𝑠. في هذه الحالة، تكون الإزاحة 𝑠 هي مسافة الفرملة لمركبة معينة. فهي المسافة التي تقطعها المركبة أثناء تسارعها أو تباطؤها بعجلة حتى تتوقف تمامًا.
نلاحظ أيضًا أنه نظرًا لتوقف كلتا المركبتين، فإن السرعة النهائية لكل منهما تساوي صفرًا. إذن، لأي من المركبتين، يمكننا كتابة معادلة الحركة السابقة على الصورة صفر يساوي مربع السرعة الابتدائية للمركبة زائد اثنين في العجلة التي تتحرك بها المركبة بعد الضغط على الفرامل مضروبة في مسافة الفرملة 𝑠. يمكننا إعادة ترتيب هذه المعادلة بحيث تكون مسافة الفرملة في طرف بمفردها كما يلي. أولًا، نطرح 𝑣i تربيع من كلا الطرفين. وهذا يلغي 𝑣i تربيع من الطرف الأيمن. ثم، نقسم طرفي المعادلة على اثنين في 𝑎. وهذا يلغي أيضًا كلًّا من العدد اثنين و𝑎 من الطرف الأيمن. ومن ثم، نجد أن مسافة الفرملة التي قطعتها أي المركبتين تساوي سالب واحد في السرعة الابتدائية 𝑣i تربيع على اثنين في 𝑎. كما ذكرنا، 𝑎 هي العجلة التي تتحرك بها كل مركبة بعد الضغط على الفرامل، ولها القيمة نفسها بالنسبة إلى المركبتين.
يمكننا كتابة الطرف الأيمن من هذه المعادلة بطريقة أخرى وهي سالب واحد على اثنين في 𝑎 الكل مضروبًا في 𝑣i تربيع. إذا كتبناها بهذه الطريقة، يمكننا أن نلاحظ أن مسافة الفرملة 𝑠 تتناسب طرديًّا مع مربع السرعة الابتدائية للمركبة. رياضيًّا، يمكننا كتابة ذلك على النحو الآتي. 𝑠 تتناسب طرديًّا مع 𝑣i تربيع.
دعونا الآن نتناول كيف يؤثر هذا التناسب على مسافتي الفرملة لكلتا المركبتين. مسافة الفرملة للمركبة الأولى، التي سنسميها 𝑠 واحد، تساوي سالب واحد على اثنين في 𝑎 الكل مضروبًا في 𝑣 واحد تربيع. يمكننا أن نتذكر أن 𝑣 واحد هي السرعة الابتدائية للمركبة الأولى. ثمة ملاحظة جانبية، وهي أن الإشارة السالبة الموجودة في البسط لن تمثل مشكلة أثناء الحل. فمن الناحية الفيزيائية، هذه الإشارة تعني فقط أن اتجاه السرعة الابتدائية، أي 𝑣 واحد في هذه الحالة، عكس اتجاه العجلة 𝑎.
عند مقارنة مسافتي الفرملة لهاتين المركبتين، ما يهمنا حقًّا هو مقدار مربع السرعة الابتدائية. بكتابة معادلة مماثلة لمسافة الفرملة للمركبة الثانية، التي سنسميها 𝑠 اثنين، نلاحظ أنها تساوي سالب واحد على اثنين في 𝑎 الكل مضروبًا في 𝑣 اثنين تربيع. يمكننا أن نتذكر هنا حقيقة مهمة. السرعة الابتدائية للمركبة الأولى تساوي ضعف السرعة الابتدائية للمركبة الثانية. وهذا يعني أنه في معادلة 𝑠 واحد، يمكننا التعويض عن 𝑣 واحد باثنين في 𝑣 اثنين. مربع اثنين في 𝑣 اثنين يساوي أربعة في 𝑣 اثنين تربيع.
الآن، أصبحت معادلتا 𝑠 واحد و𝑠 اثنين مكتوبتين بدلالة المتغيرات نفسها. إذا قسمنا 𝑠 واحد على 𝑠 اثنين، فسنحصل على الناتج أربعة. بعبارة أخرى، مسافة الفرملة للمركبة الأولى تساوي أربعة أمثال مسافة الفرملة للمركبة الثانية. وهذه النتيجة تتوافق مع الخيار (ب). ينص هذا الخيار على أن مسافة الفرملة للسائق الأول تساوي أربعة أمثال مسافة الفرملة للسائق الثاني؛ لأن مسافة الفرملة تتناسب طرديًّا مع مربع السرعة الابتدائية.
لننظر الآن إلى الجزء الثاني من السؤال.
كيف تكون مسافتا الاستجابة للمركبتين، إن وجدتا، مختلفتين؟ (أ) تكونان متساويتين؛ لأن مسافة الاستجابة لا تعتمد على السرعة الابتدائية. (ب) مسافة الاستجابة للسائق الأول تساوي نصف مسافة الاستجابة للسائق الثاني؛ لأن مسافة الاستجابة تتناسب عكسيًّا مع السرعة الابتدائية. (ج) مسافة الاستجابة للسائق الأول تساوي أربعة أمثال مسافة الاستجابة للسائق الثاني؛ لأن مسافة الاستجابة تتناسب طرديًّا مع مربع السرعة الابتدائية. (د) مسافة الاستجابة للسائق الأول تساوي ضعف مسافة الاستجابة للسائق الثاني؛ لأن مسافة الاستجابة تتناسب طرديًّا مع السرعة الابتدائية.
تناولنا منذ قليل مسافتي الفرملة لهاتين المركبتين. والآن، سنتناول مسافتي الاستجابة. مسافة الاستجابة هي المسافة التي تقطعها المركبتان خلال الزمن الذي يستغرقه السائقان للاستجابة. يمكننا تعريف زمن الاستجابة لكل سائق على أنه الفرق في الزمن بدءًا من وصول الضوء الصادر من العائق الموجود في الطريق إلى عين السائق حتى اللحظة التي يبدأ فيها السائق الضغط على دواسة الفرامل. خلال زمن الاستجابة هذا، تقطع المركبة ما يسمى بمسافة الاستجابة.
لنفترض أن كلا السائقين، مثل كلتا المركبتين، متطابقان من حيث أن زمن الاستجابة لكل منهما متساوي. هذا يعني أن مقدار الزمن الذي يستغرقه السائق الأول للضغط على دواسة الفرامل بعد تلقي الضوء من العائق الموجود على الطريق هو مقدار الزمن نفسه الذي يستغرقه السائق الثاني. ووفقًا لهذا الافتراض، تتساوى مسافتا الاستجابة لكلتا المركبتين إذا كانتا تتحركان بنفس السرعة الابتدائية. يمكننا ملاحظة ذلك من خلال تذكر العلاقة التي تنص على أن السرعة تساوي المسافة مقسومة على الزمن. بإعادة ترتيب هذه المعادلة، نلاحظ أن المسافة تساوي السرعة مضروبة في الزمن.
إذا اعتبرنا أن 𝑑 في هذه المعادلة هي مسافة الاستجابة لمركبة معينة، فإن تلك المسافة تساوي السرعة الابتدائية لهذه المركبة 𝑣 مضروبة في زمن استجابة السائق في هذه المركبة 𝑡. وقد افترضنا سابقًا أن 𝑡 هو نفسه بالنسبة لكلا السائقين. لأن زمن استجابة كل منهما متساو. ومن ثم، إذا كانت السرعة الابتدائية لكل مركبة متساوية، فإن 𝑑 ستكون متساوية في كلتا الحالتين.
لكننا نعلم أن السرعة الابتدائية للمركبة الأولى تساوي ضعف السرعة الابتدائية للمركبة الثانية. إذا رمزنا لمسافة الاستجابة للمركبة الثانية بالرمز 𝑑 اثنين، فإن 𝑑 اثنين سيساوي السرعة الابتدائية للمركبة الثانية، أي 𝑣 اثنين، مضروبة في زمن استجابة سائق هذه المركبة. سنرمز لزمن الاستجابة بالرمز 𝑡r. نريد أن نقارن هذه المسافة بمسافة الاستجابة للمركبة الأولى. وسنرمز لها بالرمز 𝑑 واحد. ومن ثم، فإن 𝑑 واحد يساوي 𝑣 واحد مضروبًا في زمن الاستجابة نفسه 𝑡r. لكن، بما أن 𝑣 واحد يساوي اثنين في 𝑣 اثنين، فإن 𝑑 واحد يساوي اثنين 𝑣 اثنين في 𝑡r. ومن ثم، نجد أن 𝑑 واحد، أي مسافة الاستجابة للمركبة الأولى، تساوي ضعف مسافة الاستجابة للمركبة الثانية.
بمراجعة خيارات الإجابة في ضوء هذه النتيجة، نجد أن الخيار (د) هو الخيار الذي ينص على أن مسافة الاستجابة للسائق الأول تساوي ضعف مسافة الاستجابة للسائق الثاني. وهذا يتفق مع ما توصلنا إليه. لكن نلاحظ أن هناك جزءًا ثانيًا في خيار الإجابة (د). فهو ينص على أن مسافة الاستجابة للسائق الأول تساوي ضعف مسافة الاستجابة للسائق الثاني؛ لأن مسافة الاستجابة تتناسب طرديًّا مع السرعة الابتدائية. يمكننا أن نلاحظ أن هذا الجزء الثاني من خيار الإجابة (د) صحيح بناء على معادلة المسافة 𝑑 اثنين ومعادلة المسافة 𝑑 واحد. فكل منهما يساوي قيمة ما مضروبة في سرعة المركبة أس واحد.
لنتذكر أننا استنتجنا هاتين المعادلتين من المعادلة العامة وهي 𝑑 تساوي 𝑣 في 𝑡. من هذه المعادلة العامة، يمكننا القول إن المسافة تتناسب طرديًّا مع السرعة. وهذا يؤكد أن مسافة الاستجابة تتناسب بالفعل مع السرعة الابتدائية. إذن، الخيار الصحيح هو الخيار (د). مسافة الاستجابة للسائق الأول تساوي ضعف مسافة الاستجابة للسائق الثاني؛ لأن مسافة الاستجابة تتناسب طرديًّا مع السرعة الابتدائية.
