فيديو الدرس: تطابق المثلثات الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نثبت أن مثلثين متطابقان باستخدام مسلمة من بين أربع مسلمات مختلفة. هذه المسلمات هي مسلمة التطابق بثلاثة أضلاع، ومسلمة التطابق بضلعين والزاوية المحصورة بينهما، ومسلمة التطابق بزاويتين والضلع المحصور بينهما، ومسلمة التطابق بزاوية قائمة والوتر وأحد ضلعي القائمة. لكن دعونا أولًا نلخص ما نعنيه بالمثلثات المتطابقة.

نقول إن مثلثين متطابقان إذا كانت أضلاعهما المتناظرة متطابقة وزواياهما المتناظرة متطابقة. بعبارة أخرى، تكون الأضلاع المتناظرة متساوية في الطول، وتكون الزوايا المتناظرة متساوية في القياس. دعونا نتناول هذه المثلثات الثلاثة. لا يهم إذا كانت المثلثات مختلفة الاتجاهات أو مقلوبة. ما زال بإمكاننا المقارنة بين أطوال أضلاعها وقياسات زواياها. الزوايا والأضلاع المتناظرة محددة، كما هو موضح. عندما تكون الأضلاع الثلاثة متطابقة والزوايا الثلاثة متطابقة، تكون المثلثات نفسها متطابقة.

يمكننا قول إن المثلث ﺃﺏﺟ متطابق مع المثلث ﺩﻫﻭ ومتطابق مع المثلث ﻡﻥﺭ. لكن الترتيب الذي نكتب به علاقة التطابق هذه مهم جدًّا. يمكننا كتابته على هذا النحو الموضح أو على الصورة: المثلث ﺟﺃﺏ متطابق مع المثلث ﻭﺩﻫ ومتطابق مع المثلث ﺭﻡﻥ. لكننا لا نستطيع كتابة أن المثلث ﺃﺏﺟ متطابق مع المثلث ﻫﺩﻭ؛ لأن الرءوس غير متناظرة. عندما يتعلق الأمر بتحديد إذا ما كان مثلثان متطابقين، فهناك بعض الطرق الأقصر التي يمكننا استخدامها بدلًا من إثبات تطابق جميع الأضلاع المتناظرة وجميع الزوايا المتناظرة. تعرف هذه الطرق باسم «مسلمات التطابق»، ويمكننا تناول أول مسلمة منها.

المسلمة الأولى هي مسلمة التطابق بضلعين والزاوية المحصورة بينهما. تنص هذه المسلمة على أن أي مثلثين يكونان متطابقين إذا تطابق ضلعان والزاوية المحصورة بينهما في أحد المثلثين مع نظائرها في المثلث الآخر. في الشكل الموضح نلاحظ أن هناك ضلعين في أحد المثلثين يناظران ضلعين آخرين في المثلث الآخر ومحددين بأنهما متطابقان، والزاويتان الواقعتان بين هذه الأضلاع، أي الزاويتان المحصورتان، محددتان أيضًا بأنهما متطابقتان.

لتوضيح سبب وجود هذه المسلمة، دعونا نتناول هذا المثلث الذي يحتوي على ضلعين طول كل منهما ستة سنتيمترات وخمسة سنتيمترات، وقياس الزاوية المحصورة بينهما ٢٠ درجة. يمكننا محاولة رسم مثلث مختلف، لكن بنفس طولي الضلعين اللذين يساويان خمسة سنتيمترات وستة سنتيمترات، ونفس قياس الزاوية المحصورة بينهما. لكننا لن نحدد طول الضلع الثالث أو قياسي الزاويتين الأخريين. لكن عندما نبدأ رسم مثلث آخر، نلاحظ أنه ستكون هناك طريقة واحدة فقط لتكوين مثلث. هذا المثلث الكامل سيكون في الواقع متطابقًا مع المثلث الأصلي. إذن، بمعرفة أن هناك طولي ضلعين في مثلث متطابقين مع طولي الضلعين المناظرين في المثلث الآخر، وأن الزاوية المحصورة بين الضلعين في كل مثلث لها نفس القياس، فلا بد أن يكون المثلثان متطابقين.

دعونا نتناول مسلمة التطابق الثانية. إنها مسلمة التطابق بزاويتين والضلع المحصور بينهما. وتنص على أن أي مثلثين يكونان متطابقين إذا تطابقت زاويتان والضلع المرسوم بين رأسيهما في أحد المثلثين مع نظائرها في المثلث الآخر. في الشكل المرسوم لدينا زاويتان في مثلث مطابقتان لنظيرهما في المثلث الآخر. والضلع المحصور، أي الضلع الواقع بين رأسي كل زاويتين، موضح عليه علامة تطابق.

لقد تناولنا حتى الآن مسلمتين من مسلمات التطابق. دعونا نعرف إذن إذا ما كان يمكننا تطبيقهما في الأمثلة الآتية.

حدد هل المثلثان الموضحان في الشكل متطابقان أم لا، وإذا كانا متطابقين، فحدد مسلمة التطابق التي تثبت ذلك.

يمكننا أن نبدأ بتذكر أن التطابق يعني أن المثلثين سيكون لهما أضلاع متناظرة متطابقة وزوايا متناظرة متطابقة. يمكننا استخدام عدد من مسلمات التطابق المختلفة لمساعدتنا في إثبات أن مثلثين متطابقان. دعونا نلق نظرة على المعطيات التي لدينا في الشكل. حسنًا، نلاحظ أن لدينا ضلعين في مثلث مطابقين لنظيريهما في المثلث الآخر. بما أن طول كل من الضلعين ﺃﺟ وﺃ شرطة ﺟ شرطة يساوي ٢٫٥٣ وحدة طول، فإنهما متطابقان. وبما أن طول كل من الضلعين ﺏﺟ وﺏ شرطة ﺟ شرطة يساوي ٣٫٦٨ وحدة طول، فإنهما متطابقان.

الزاوية المحصورة بين الضلعين المعطيين في كلا المثلثين لها القياس نفسه. وقياس كل منهما يساوي ٦٠٫٣٤ درجة. نعلم أن مسلمة التطابق بضلعين والزاوية المحصورة بينهما تنص على أن أي مثلثين يكونان متطابقين إذا تطابق زوجان من الأضلاع والزاوية المحصورة بينهما في أحد المثلثين مع نظائرها في المثلث الآخر. وبما أن هذا ما أوضحناه هنا بالفعل، يمكننا قول إن المثلثين متطابقان حسب مسلمة التطابق بضلعين والزاوية المحصورة بينهما.

سنتناول الآن مثالًا آخر.

هل يمكنك استخدام مسلمة التطابق بضلعين والزاوية المحصورة بينهما لإثبات أن المثلثين في الشكل الآتي متطابقان؟ اذكر السبب.

يكون أي مثلثين متطابقين إذا كانت أضلاعهما المتناظرة متطابقة وزواياهما المتناظرة متطابقة. مطلوب منا هنا تحديد إذا ما كان بإمكاننا استخدام مسلمة التطابق بضلعين والزاوية المحصورة بينهما لإثبات ذلك. إذا نظرنا إلى القياسات المعطاة في هذا الشكل، يمكننا قول إن ﺃﺏ يساوي ﺃ شرطة ﺏ شرطة؛ لأن طول كل منهما ٢٫٣٦ وحدة طول. كذلك ﺃﺟ يساوي ﺃ شرطة ﺟ شرطة؛ لأن طول كل منهما ٥٫٥٢ وحدات طول. لدينا أيضًا زاويتان متناظرتان قياساهما متطابقان. قياس كل من الزاوية ﺃﺏﺟ والزاوية ﺃ شرطة ﺟ شرطة ﺏ شرطة يساوي ٢٥٫٢٢ درجة.

توضح لنا مسلمة التطابق بضلعين والزاوية المحصورة بينهما أن أي مثلثين يكونان متطابقين إذا تطابق ضلعان والزاوية المحصورة بينهما في مثلث مع نظائرها في مثلث آخر. لكن في هذا الشكل، الزاوية المعطاة في كل مثلث ليست الزاوية المحصورة بين الضلعين. بالنسبة إلى الزاوية المحصورة هنا، علينا معرفة قياس الزاوية ﺟﺃﺏ وقياس الزاوية ﺟ شرطة ﺃ شرطة ﺏ شرطة ومقارنتهما. عند الإجابة عن هذا السؤال، يجب أن تشير الإجابة الصحيحة إلى حقيقة أنه لا يمكننا قول إن المثلثين متطابقان؛ لأن الزاوية المعطاة لنا ليست الزاوية الصحيحة. لذلك يمكننا الإجابة عن السؤال «هل يمكننا استخدام مسلمة التطابق بضلعين والزاوية المحصورة بينهما لإثبات أن المثلثين متطابقان؟» بلى؛ لأن الزاوية يجب أن تكون محصورة بين الضلعين المتطابقين.

سنتناول الآن المسلمة الثالثة لتطابق المثلثات. تعرف هذه المسلمة باسم «مسلمة التطابق بثلاثة أضلاع». وتنص على أن المثلثين يكونان متطابقين إذا كان كل ضلع في أحد المثلثين مطابقًا للضلع المناظر له في المثلث الآخر. وهذا يرجع إلى حقيقة أنه إذا كان لدينا مثلث أطوال أضلاعه الثلاثة معلومة، فلن نتمكن من إنشاء مثلث غير متطابق له أطوال الأضلاع الثلاثة نفسها.

لا تنطبق مسلمة التطابق الرابعة التي سنتناولها إلا على المثلثات القائمة الزاوية. وتعرف باسم «مسلمة التطابق بزاوية قائمة والوتر وأحد ضلعي القائمة». نعلم أن وتر المثلث القائم الزاوية هو الضلع الأطول. تنص هذه القاعدة على أن أي مثلثين قائمي الزاوية يكونان متطابقين إذا تطابق الوتر وأحد أضلاع المثلث مع نظيريهما في المثلث الآخر. هذه المسلمة هي في الواقع تطبيق خاص لمسلمة التطابق بثلاثة أضلاع. وذلك لأننا إذا عرفنا طولي ضلعين في مثلث قائم الزاوية، يمكننا حساب طول الضلع الثالث في كل مثلث باستخدام نظرية فيثاغورس.

لاحظ أنه إذا لم يكن قياس هذه الزاوية ٩٠ درجة، لحاولنا تطبيق مسلمة التطابق بضلعين وزاوية غير محصورة بينهما، ولكن لا توجد مثل هذه المسلمة. دعونا نفكر في سبب عدم وجود مسلمة تطابق بضلعين وزاوية غير محصورة بينهما. لفهم ذلك سنتناول هذا المثلث. لدينا هنا ضلعان طولاهما ثمانية سنتيمترات وأربعة سنتيمترات، وزاوية غير محصورة بينهما قياسها ٣٠ درجة. إذا رسمنا بعد ذلك مثلثًا آخر بالقياسات نفسها، فسيكون لدينا في الواقع أكثر من مثلث واحد ممكن. لذا، فإن معرفة أن ضلعين والزاوية غير المحصورة بينهما في أحد المثلثين مطابقان لضلعين والزاوية غير المحصورة بينهما في مثلث آخر لا تكفي لإثبات أن مثلثين متطابقان.

والآن بعد أن تناولنا مسلمات التطابق الأربعة، دعونا نتناول مثالًا آخر.

ما مسلمة التطابق التي يمكن استخدامها لإثبات أن المثلثين في الشكل الآتي متطابقان؟

في هذا السؤال، علينا تحديد كيف يمكننا إثبات أن هذين المثلثين متطابقان، ما يعني أن أضلاعهما المتناظرة متطابقة وزواياهما المتناظرة متطابقة. دعونا نلق نظرة على القياسات المعطاة في الشكل. نلاحظ أن لدينا ضلعين طول كل منهما ٢٫٥٧ وحدة طول، ما يعني أن ﺃﺏ يجب أن يساوي ﺃ شرطة ﺏ شرطة. لدينا أيضًا زاويتان في المثلث الأول مطابقتان لنظيرتيهما في المثلث الآخر. قياس الزاوية ﺃﺏﺟ يساوي قياس الزاوية ﺃ شرطة ﺏ شرطة ﺟ شرطة؛ حيث قياس كل منهما ٦٥٫٠٣ درجة. وقياس الزاوية ﺃﺏﺟ يساوي قياس الزاوية ﺃ شرطة ﺟ شرطة ﺏ شرطة؛ حيث قياس كل منهما يساوي ٥٨٫٥٥ درجة.

بذلك، نكون قد وجدنا أنه تتطابق زاويتان وضلع في أحد المثلثين مع نظائرها في المثلث الآخر. إذن، يمكننا استخدام مسلمة التطابق بزاويتين والضلع المحصور بينهما التي تربط بين زاويتين وضلع. تنص هذه المسلمة على أن أي مثلثين يكونان متطابقين إذا تطابقت زاويتان والضلع المحصور بينهما في أحد المثلثين مع نظائرها في المثلث الآخر. لكن في هذين المثلثين، هذا الضلع ليس الضلع المحصور؛ لأنه لا يقع بين الزاويتين. هذا يعني أنه لا يمكننا تطبيق مسلمة التطابق بزاويتين والضلع المحصور بينهما مباشرة.

لكن بما أن لدينا قياسي زاويتين في المثلث، يمكننا حساب قياس الزاوية الثالثة في كل مثلث باستخدام حقيقة أن مجموع قياسات زوايا المثلث يساوي ١٨٠ درجة. في المثلث ﺃ شرطة ﺏ شرطة ﺟ شرطة، يمكننا إيجاد قياس الزاوية الثالثة بحساب ١٨٠ درجة ناقص ٥٨٫٥٥ درجة زائد ٦٥٫٠٣ درجة. هذا يعطينا قياس الزاوية ﺏ شرطة ﺃ شرطة ﺟ شرطة، ويساوي ٥٦٫٤٢ درجة. في المثلث ﺃﺏﺟ، قياس الزاوية الثالثة سيساوي أيضًا ١٨٠ درجة ناقص ٥٨٫٥٥ درجة زائد ٦٥٫٠٣ درجة. وبما أن هاتين القيمتين متساويتان، نعلم أن قياس الزاوية ﺏﺃﺟ سيكون ٥٦٫٤٢ درجة أيضًا.

إذا قارنا بين هذين المثلثين، فسنجد أن لدينا زاويتين قياس كل منهما ٥٦٫٤٢ درجة وزاويتين أخريين قياس كل منهما ٦٥٫٠٣ درجة. الضلع الذي طوله ٢٫٥٧ وحدة طول هو الضلع المحصور بين هاتين الزاويتين. يمكننا الآن تطبيق مسلمة التطابق بزاويتين والضلع المحصور بينهما لتوضيح أن هذين المثلثين متطابقان. إذن الإجابة هي مسلمة التطابق بزاويتين والضلع المحصور بينهما.

لكن لاحظ أننا إذا كنا نجيب عن سؤال كهذا في اختبار، فعلينا أن نبين بوضوح أننا حسبنا قياس الزاوية الثالثة في المثلث. وذلك لأنه دون معرفة قياس هذه الزاوية الثالثة، لم يكن بإمكاننا تطبيق مسلمة التطابق بزاويتين والضلع المحصور بينهما.

سنتناول الآن مثالًا أخيرًا.

في الشكل الموضح تقع النقطتان ﻡ، وﺭ على دائرة مركزها ﻝ. ما مسلمة التطابق التي يمكن استخدامها مباشرة لإثبات أن المثلثين ﻝﻡﻥ، وﻝﺭﻥ متطابقان؟

في هذه المسألة، علينا تحديد كيف يمكننا إثبات أن المثلثين ﻝﻡﻥ وﻝﺭﻥ متطابقان، ونعني بالتطابق أن تكون الأضلاع المتناظرة متطابقة والزوايا المتناظرة متطابقة. نلاحظ أن كلًّا من هذين المثلثين يحتوي على زاوية قائمة. وهناك مسلمة تطابق تنطبق على المثلثات القائمة الزاوية. إنها مسلمة التطابق بزاوية قائمة والوتر وأحد ضلعي القائمة، التي توضح أن أي مثلثين يكونان متطابقين إذا كان لكل منهما زاوية قائمة، وكان طولا الوتر وأحد ضلعي القائمة متساويين في كلا المثلثين.

دعونا نر إذا ما كان بإمكاننا تطبيق هذه المسلمة هنا. على الرغم من عدم وجود أي قياسات للأطوال لدينا، يمكننا استخدام معرفتنا بالهندسة لمساعدتنا. بما أننا نعلم أن النقطتين ﻡ وﺭ تقعان على الدائرة، والمركز هو ﻝ، فإن القطعتين المستقيمتين ﻝﻡ وﻝﺭ هما نصفا قطري الدائرة. وأهم من ذلك أن هذا يعني أن هاتين القطعتين المستقيمتين متطابقتان. لدينا أيضًا القطعة المستقيمة ﻝﻥ، وهي ضلع مشترك بين المثلثين. إذن، هذا الضلع سيكون له نفس الطول في كلا المثلثين. من المفيد جدًّا أن نلاحظ أيضًا أن القطعة المستقيمة ﻝﻥ هي الوتر في هذين المثلثين.

والآن، إذا نظرنا إلى مسلمة التطابق بزاوية قائمة والوتر وأحد ضلعي القائمة، فسنجد أن كلًّا من المثلثين يحتوي على زاوية قائمة. نعلم أيضًا أن الوتر متطابق؛ لأنه ضلع مشترك بين المثلثين. ولدينا ضلعان آخران متطابقان. إذن، بتطبيق مسلمة التطابق بزاوية قائمة والوتر وأحد ضلعي القائمة يمكننا إثبات أن المثلثين ﻝﻡﻥ وﻝﺭﻥ متطابقان.

دعونا الآن نلخص النقاط الرئيسية في هذا الفيديو. عرفنا أن أي مثلثين يكونان متطابقين إذا كانت أضلاعهما المتناظرة متطابقة وزواياهما المتناظرة متطابقة. عرفنا كذلك أن مسلمات التطابق تسمح لنا بإثبات أن مثلثين متطابقان بسهولة أكبر. تناولنا أربع مسلمات مختلفة للتطابق. وهي مسلمة التطابق بضلعين والزاوية المحصورة بينهما، ومسلمة التطابق بزاويتين والضلع المحصور بينهما، ومسلمة التطابق بثلاثة أضلاع، ومسلمة التطابق بزاوية قائمة والوتر وأحد ضلعي القائمة. وأخيرًا، لا توجد مسلمة تطابق بضلعين وزاوية غير محصورة؛ حيث يمكن تكوين مثلثات غير متطابقة بقياسات متكافئة.