نسخة الفيديو النصية
أوجد معادلة المماس للمنحنى ﺱ يساوي ﻥ تكعيب زائد واحد، ﺹ يساوي ﻥ أس أربعة زائد ﻥ عند النقطة المناظرة للقيمة ﻥ يساوي سالب واحد.
في هذا السؤال، لدينا معادلة بارامترية فيها الإحداثيان ﺱ وﺹ معطيان بدلالة ﻥ. يمكننا حل معادلة المماس باستخدام المعادلة ﺹ ناقص ﺹ واحد يساوي ﻡ مضروبًا في ﺱ ناقص ﺱ واحد، حيث ﺱ واحد، ﺹ واحد نقطة تقع على المنحنى وﻡ هو الميل أو الانحدار. ميل المماس ﻡ يساوي ﺩﺹ على ﺩﺱ. وعند التعامل مع المعادلات البارامترية، فإن هذا بدوره يساوي ﺩﺹ على ﺩﻥ مقسومًا على ﺩﺱ على ﺩﻥ. يمكننا أيضًا كتابة ذلك على صورة ﺩﺹ على ﺩﻥ مضروبًا في ﺩﻥ على ﺩﺱ باستخدام قاعدة السلسلة ومعرفتنا بمقلوبات الدوال.
بما أن ﺱ يساوي ﻥ تكعيب زائد واحد، يمكننا إيجاد تعبير لـ ﺩﺱ على ﺩﻥ باشتقاق ﻥ تكعيب زائد واحد بالنسبة إلى ﻥ. يمكننا إجراء هذا على حد تلو الآخر، فنحصل على ﺩﺱ على ﺩﻥ يساوي ثلاثة ﻥ تربيع؛ لأن اشتقاق أي ثابت يعطينا صفرًا. يمكننا تكرار هذه العملية لإيجاد تعبير لـ ﺩﺹ على ﺩﻥ. اشتقاق ﻥ أس أربعة يعطينا أربعة ﻥ تكعيب، واشتقاق ﻥ يعطينا واحدًا. وعليه، فإن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي أربعة ﻥ تكعيب زائد واحد مقسومًا على ثلاثة ﻥ تربيع.
علينا حساب قيمة ذلك عند ﻥ يساوي سالب واحد. علينا حساب أربعة مضروبًا في سالب واحد تكعيب زائد واحد مقسومًا على ثلاثة مضروبًا في سالب واحد تربيع. سالب واحد تكعيب يساوي سالب واحد. وضرب هذا في أربعة يعطينا سالب أربعة، وبإضافة واحد، نحصل على بسط يساوي سالب ثلاثة. وبما أن سالب واحد تربيع يساوي موجب واحد، فعندما نضرب ذلك في ثلاثة، يصبح المقام ثلاثة. وأخيرًا، سالب ثلاثة على ثلاثة يساوي سالب واحد. إذن، قيمة ﺩﺹ على ﺩﺱ عند ﻥ يساوي سالب واحد تساوي سالب واحد.
علينا أيضًا إيجاد قيمتي ﺱ وﺹ عند ﻥ يساوي سالب واحد. قيمة ﺱ لدينا تساوي صفرًا حيث إن سالب واحد تكعيب زائد واحد يساوي صفرًا. ﺹ أيضًا يساوي صفرًا؛ لأن سالب واحد أس أربعة يساوي واحدًا، وإضافة سالب واحد إلى هذا يعطينا صفرًا أيضًا. يمكننا الآن التعويض بقيم ﺱ وﺹ وﺩﺹ على ﺩﺱ في المعادلة ﺹ ناقص ﺹ واحد يساوي ﻡ مضروبًا في ﺱ ناقص ﺱ واحد. لدينا الميل ﻡ يساوي سالب واحد والإحداثي صفر، صفر. التعويض بهاتين القيمتين يعطينا ﺹ ناقص صفر يساوي سالب واحد مضروبًا في ﺱ ناقص صفر.
يبسط هذا إلى المعادلة ﺹ يساوي سالب ﺱ. هذه هي معادلة مماس المنحنى عند النقطة التي تناظر قيمة ﻥ يساوي سالب واحد.
