نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سنتعلم كيف نستخدم التكامل بالتجزيء لإيجاد تكامل حاصل ضرب الدوال. تمكننا النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل من حساب تكامل دالة إذا عرفنا مشتقتها العكسية. وفي هذه المرحلة، يجب أن تكون واثقًا في قدرتك على إيجاد تكامل الدوال الكثيرة الحدود والدوال المثلثية والدوال الأسية. ليس بالضرورة أن تكون واثقًا في قدرتك على تطبيق التكامل بالتعويض عند مشاهدتك لهذا الفيديو. ولكن سيفيدك ذلك.
كل قاعدة اشتقاق لها قاعدة تكامل تناظرها. على سبيل المثال، التكامل بالتعويض هو القاعدة التي تناظر قاعدة السلسلة للاشتقاق. فلنلق نظرة الآن على التكامل بالتجزيء. قاعدة التكامل هذه تناظر قاعدة حاصل الضرب للاشتقاق. تنص قاعدة حاصل الضرب على أنه لأي دالتين قابلتين للاشتقاق ﺩ وﺭ، فإن مشتقة حاصل ضربهما تساوي ﺩ في ﺭ شرطة زائد ﺭ في ﺩ شرطة. هذا يساوي ﺩ في مشتقة ﺭ زائد ﺭ في مشتقة ﺩ. بمكاملة طرفي هذه المعادلة، نحصل على ﺩ في ﺭ يساوي تكامل ﺩ في ﺭ شرطة زائد ﺩ شرطة في ﺭ محسوبًا بالنسبة إلى ﺱ.
نعلم أن تكامل مجموع دالتين يساوي مجموع تكاملي الدالتين. ويمكننا إعادة كتابة ﺩ في ﺭ كما هو موضح. نعيد الترتيب. ونحصل على صيغة التكامل بالتجزيء. نلاحظ أن التكامل غير المحدد لـ ﺩ في ﺭ شرطة يساوي ﺩ في ﺭ ناقص التكامل غير المحدد لـ ﺩ شرطة في ﺭ محسوبًا بالنسبة إلى ﺱ. يكتب هذا أحيانًا بطريقة أخرى باستخدام الدالتين ﻉ وﻕ ورمز ليبنتز. بحيث يكون تكامل ﻉ في ﺩﻕ على ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي ﻉﻕ ناقص تكامل ﻕ في ﺩﻉ على ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ. سنبدأ بتناول مثال مباشر على تطبيق هذه الصيغة.
استخدم التكامل بالتجزيء لإيجاد تكامل ﺱ في جا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ.
الدالة التي نريد حساب تكاملها عبارة عن حاصل ضرب دالتين. وهما ﺱ وجا ﺱ. يشير ذلك إلى أننا قد نحتاج إلى استخدام التكامل بالتجزيء لحساب التكامل. تذكر أن الصيغة تنص على أن تكامل ﻉ في ﺩﻕ على ﺩﺱ يساوي ﻉﻕ ناقص تكامل ﻕ في ﺩﻉ على ﺩﺱ. إذا قارنا هذه الصيغة بما سنكامله، نلاحظ أن علينا تحديد أي الدالتين هي الدالة ﻉ. وأي الدالتين هي ﺩﻕ على ﺩﺱ. إذن كيف يمكننا تحديد ذلك؟ هدفنا هو التأكد من أن التكامل الثاني الذي لدينا هنا أبسط بعض الشيء. نريد إذن أن تكون ﻉ دالة أبسط عند اشتقاقها أو أن تساعدنا في تبسيط ما سنكامله عند ضربه في الدالة ﻕ. ولا بد أنه من الواضح تمامًا، من خلال ﺱ وجا ﺱ، أن الدالة التي تصبح أبسط عند اشتقاقها هي ﺱ. لذا، نجعل ﻉ يساوي ﺱ، وﺩﻕ على ﺩﺱ يساوي جا ﺱ. مشتقة ﻉ بالنسبة إلى ﺱ هي واحد. ولكن ماذا نفعل مع ﺩﻕ على ﺩﺱ؟ حسنًا، علينا إيجاد ﻕ. لذا سنوجد المشتقة العكسية لـ جا ﺱ، وهي بالتأكيد سالب جتا ﺱ.
لنعوض بما لدينا في الصيغة. نجد أن التكامل يساوي ﺱ في سالب جتا ﺱ ناقص تكامل سالب جتا ﺱ في واحد ﺩﺱ. يبسط ذلك إلى سالب ﺱ جتا ﺱ. بعد ذلك نخرج العامل سالب واحد خارج التكامل. ونجد أننا نضيف تكامل جتا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. المشتقة العكسية لـ جتا ﺱ هي جا ﺱ. وبالطبع، نظرًا لأن هذا تكامل غير محدد، يجب أن نضيف ثابت التكامل ﺙ. وسنجد أن الحل هو سالب ﺱ جتا ﺱ زائد جا ﺱ زائد ﺙ. من المفيد الآن أن نتذكر أنه بإمكاننا التحقق من الإجابة من خلال الاشتقاق. إذا فعلنا ذلك، نحصل بالفعل على ﺱ في جا ﺱ كما هو مطلوب.
نلقي الآن نظرة على مثال شائع. وهو تكامل اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ.
أوجد تكامل اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ ﺩﺱ بالتجزيء باستخدام ﻉ يساوي اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ وﺩﻕ يساوي ﺩﺱ.
حسنًا، هذا جيد. تطلب منا المسألة استخدام التكامل بالتجزيء. كما تطلب منا جعل ﻉ يساوي اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ وﺩﻕ يساوي ﺩﺱ. فلنتذكر صيغة التكامل بالتجزيء. تكامل ﻉ في ﺩﻕ على ﺩﺱ يساوي ﻉﻕ ناقص تكامل ﻕ في ﺩﻉ على ﺩﺱ. يمكننا إعادة كتابة ﺩﻕ يساوي ﺩﺱ بشكل مختلف قليلًا. ويمكننا القول: إنه إذا كان ﺩﻕ يساوي ﺩﺱ، فإن ﺩﻕ على ﺩﺱ يجب أن يساوي واحدًا. مهمتنا هي إيجاد الأجزاء الناقصة في الصيغة. إيجاد ﺩﻉ على ﺩﺱ عملية سهلة ومباشرة. مشتقة اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ تساوي واحدًا على ﺱ. وإذا كاملنا طرفي المعادلة ﺩﻕ يساوي ﺩﺱ، نحصل على ﻕ يساوي ﺱ. بالتعويض بكل ما نعرفه في الصيغة، نحصل على ﺱ في اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ ناقص تكامل ﺱ في واحد على ﺱ ﺩﺱ.
يبسط هذا التكامل بسهولة جدًا. إذ نحسب تكامل واحد بالنسبة إلى ﺱ. تكامل واحد يساوي ﺱ بالطبع. وبما أن هذا التكامل غير محدد، يجب أن نتذكر إضافة ثابت التكامل ﺙ. إذن، نحصل على تكامل اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ ﺩﺱ، وهو ﺱ في اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ ناقص ﺱ زائد ﺙ. التكامل بالتجزيء طريقة فعالة بالفعل لإيجاد تكامل اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ. هذا لأن مشتقة اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ أبسط بكثير من الدالة الأصلية، أي اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ.
في المثال التالي، سنرى كيفية استخدام التكامل بالتجزيء لإيجاد تكامل خارج قسمة دالتين.
أوجد التكامل غير المحدد لاثنين ﻫ أس ﺱ في ﺱ على ثلاثة في ﺱ زائد واحد الكل تربيع بالنسبة إلى ﺱ.
قد لا يتضح في الحال كيف سنوجد ذلك. إذ ليس هناك تعويض واضح يمكننا إجراؤه. وهذه بالتأكيد ليست عملية يمكننا حسابها ذهنيًا. إذن، نستنتج من ذلك أنه علينا استخدام التكامل بالتجزيء. تذكر أنه ينص على أن تكامل ﻉ في ﺩﻕ على ﺩﺱ يساوي ﻉﻕ ناقص تكامل ﻕ في ﺩﻉ على ﺩﺱ. إذا قارنا هذه الصيغة بما سنكامله، نجد أنه علينا تحديد أي الدالتين هي الدالة ﻉ. وأي الدالتين هي ﺩﻕ على ﺩﺱ. فكيف يمكننا تحديد ذلك؟ هدفنا هو التأكد من أن التكامل الثاني الذي سنوجده أبسط بعض الشيء. نريد أن تكون ﻉ دالة أبسط عند اشتقاقها أو أن تساعدنا في تبسيط ما سنكامله عند ضربه في الدالة ﻕ. لا يتضح إلى حد كبير أي الدالتين يجب أن تكون ﻉ. لذا فقد يحتاج الأمر إلى استخدام التجربة والخطأ.
دعونا نعيد كتابة ما سنكامله بالصورة ثلثين ﺱ في ﻫ أس ﺱ في واحد على ﺱ زائد واحد تربيع. دعونا نخرج العامل الثابت ثلثين خارج التكامل. لنجرب ﻉ يساوي ﺱ في ﻫ أس ﺱ وﺩﻕ على ﺩﺱ يساوي واحدًا على ﺱ زائد واحد الكل تربيع، وهو ما كتبته بالصورة: ﺱ زائد واحد أس سالب اثنين. لإيجاد قيمة ﺩﻉ على ﺩﺱ، علينا استخدام قاعدة حاصل الضرب. إذا فعلنا ذلك، نجد أن ﺩﻉ على ﺩﺱ يساوي ﺱ في مشتقة ﻫ أس ﺱ زائد ﻫ أس ﺱ في مشتقة ﺱ. مشتقة ﻫ أس ﺱ تساوي ﻫ أس ﺱ. ومشتقة ﺱ تساوي واحدًا. بذلك نكون حصلنا على ﺩﻉ على ﺩﺱ يساوي ﺱﻫ أس ﺱ زائد ﻫ أس ﺱ. يمكننا استخدام عكس قاعدة السلسلة لإيجاد المشتقة العكسية لـ ﺱ زائد واحد أس سالب اثنين. إنها سالب ﺱ زائد واحد أس سالب واحد. نعيد كتابة ﺱ زائد واحد أس سالب واحد بالصورة واحد على ﺱ زائد واحد. ويمكننا التعويض بكل ما نعرفه في صيغة التكامل بالتجزيء.
الخطوة التالية هنا مهمة. نأخذ ﻫ أس ﺱ عاملًا مشتركًا. ثم نلاحظ أنه يمكننا قسمة الكل على ﺱ زائد واحد. ومن ثم يصبح المكامل الثاني سالب ﻫ أس ﺱ. نخرج العامل سالب واحد خارج التكامل. ونعلم أن تكامل ﻫ أس ﺱ يساوي ببساطة ﻫ أس ﺱ. بذلك يكون لدينا ثلثان في ﺱ في ﻫ أس ﺱ على سالب ﺱ زائد واحد زائد ﻫ أس ﺱ زائد ﺙ. نعيد كتابة الكسر الأول بشكل مختلف قليلًا ثم نضرب بسط ﻫ أس ﺱ ومقامه في ﺱ زائد واحد. وذلك لنتمكن من جمع هذين الكسرين. ونجد أن مجموعهما يساوي سالب ﺱ في ﻫ أس ﺱ زائد ﺱ في ﻫ أس ﺱ، وهو ما يساوي صفرًا، زائد ﻫ أس ﺱ على ﺱ زائد واحد.
الخطوة الأخيرة هي فك الأقواس بالتوزيع. ونحصل على اثنين ﻫ أس ﺱ على ثلاثة في ﺱ زائد واحد. وقد غيرت ثابت التكامل إلى ﺙ واحد. وذلك لأننا ضربنا ثابت التكامل الأصلي في ثلثين.
في هذا المثال، كان من الصعب نوعًا ما تحديد أي الدالتين يجب أن تكون ﻉ. لكن يمكننا الاستعانة بطريقة لمساعدتنا في تحديد كيفية اختيار الدالة ﻉ. وهي طريقة بسيطة للغاية. حيث نجعل ﻉ أول دالة نقع عليها من قائمة الدوال الآتية على الترتيب. في البداية لدينا الدوال اللوغاريتمية. لدينا بعد ذلك الدوال المثلثية العكسية. لدينا بعد ذلك أيضًا، الدوال الجبرية. لدينا بعد ذلك ثالثًا، الدوال المثلثية. لدينا بعد ذلك أخيرًا، الدوال الأسية. للا يغطي هذا جميع الحالات بالتأكيد. ولا توجد طريقة تغطي جميع الحالات على أي حال. ولكنها فعالة للغاية ويمكن أن تكون نقطة انطلاق جيدة. في المثال التالي، سنرى أننا قد نحتاج في بعض الأحيان إلى إجراء التكامل بالتجزيء مرتين.
أوجد قيمة التكامل المحدد بين الحدين صفر وواحد لـ ﺱ تربيع في ﻫ أس ﺱ في ﺩﺱ.
في هذا المثال، لدينا حاصل ضرب دالتين. هذا يشير إلى أننا قد نحتاج إلى استخدام التكامل بالتجزيء. وينص على أن تكامل ﻉ في ﺩﻕ على ﺩﺱ يساوي ﻉﻕ ناقص تكامل ﻕ في ﺩﻉ على ﺩﺱ. فكيف نحدد أي الدالتين ستكون ﻉ؟ تذكر أننا نريد التأكد من أن التكامل الثاني أبسط بعض الشيء. إذن، نريد أن تكون ﻉ دالة أبسط عند الاشتقاق أو أن تساعدنا في تبسيط ما سنكامله عند ضربه في ﻕ. من غير المنطقي أن نجعل ﻉ يساوي ﻫ أس ﺱ. لأن مشتقة ﻫ أس ﺱ هي ببساطة ﻫ أس ﺱ. وعليه، فبدلًا من ذلك، سنجعل ﻉ يساوي ﺱ تربيع. إذن، ﺩﻕ على ﺩﺱ يساوي ﻫ أس ﺱ. إذن ﺩﻉ على ﺩﺱ يساوي اثنين ﺱ. والمشتقة العكسية لـ ﻫ أس ﺱ تساوي ﻫ أس ﺱ. إذن، ﻕ يساوي ﻫ أس ﺱ. بذلك نحصل على تكامل يساوي ﺱ تربيع ﻫ أس ﺱ ناقص تكامل اثنين ﺱﻫ أس ﺱ.
لاحظ أنني استخدمت هذا القوس المربع الغريب. وهذه مجرد طريقة تذكرنا بأننا نتعامل مع تكامل محدد. وأن علينا إيجاد قيمة جزأي التكامل بين الحدين صفر وواحد. ولكن كيف يمكننا حساب قيمة تكامل اثنين ﺱ في ﻫ أس ﺱ؟ حسنًا، علينا استخدام التكامل بالتجزيء مرة أخرى. وللسبب نفسه، نجعل ﺩﻕ على ﺩﺱ يساوي ﻫ أس ﺱ مجددًا. ومن ثم يصبح ﻉ مساويًا لاثنين ﺱ. حسنًا، نجد أن ﺩﻉ على ﺩﺱ يساوي اثنين. وﻕ يساوي ﻫ أس ﺱ.
إذن، دعونا نحسب تكامل اثنين ﺱﻫ أس ﺱ سريعًا. إنه اثنان ﺱﻫ أس ﺱ ناقص تكامل اثنين في ﻫ أس ﺱ. تكامل اثنين ﻫ أس ﺱ يساوي اثنين ﻫ أس ﺱ. وقد كتبت زائد ﺙ بين قوسين لأن التكامل الذي أجريناه للتو تكامل غير محدد. ولكن التكامل الذي سنجريه بين الحدين صفر وواحد. بدلًا من تكامل اثنين ﺱﻫ أس ﺱ، نضع اثنين ﺱﻫ أس ﺱ ناقص اثنين ﻫ أس ﺱ. ونحصل على تكامل ﺱ تربيع ﻫ أس ﺱ يساوي ﺱ تربيع ﻫ أس ﺱ ناقص اثنين ﺱﻫ أس ﺱ زائد اثنين ﻫ أس ﺱ.
علينا الآن إيجاد قيمة ذلك بين الحدين صفر وواحد. نعوض بصفر وواحد ونوجد الفرق بينهما. فيصبح لدينا ﻫ أس واحد ناقص اثنين ﻫ أس واحد زائد اثنين ﻫ أس واحد. نحذف هذين، ونكتب ناقص اثنين. وها قد انتهينا. التكامل بين صفر وواحد لـ ﺱ تربيع في ﻫ أس ﺱ يساوي ﻫ ناقص اثنين.
في المثال الأخير، سنتناول كيف يمكن أن يساعدنا التكامل بالتجزيء في حساب تكامل دالة مثلثية عكسية.
احسب التكامل المحدد بين صفر وواحد للدالة العكسية لظل ﺱ بالنسبة إلى ﺱ.
عند حساب تكامل الدوال المثلثية العكسية، نستخدم التكامل بالتجزيء دون تردد. وصيغته هي كما يلي. سنفعل شيئًا غريبًا نوعًا ما. سنعيد كتابة ما سنكامله ليصبح واحدًا في الدالة المثلثية العكسية. أي واحدًا في الدالة العكسية لظل ﺱ. ثم نجعل ﻉ يساوي الدالة العكسية لظل ﺱ. تذكر أننا نعلم كيفية إيجاد مشتقة ذلك. ونجعل ﺩﻕ على ﺩﺱ يساوي واحدًا. مشتقة الدالة العكسية للظل تساوي واحدًا على واحد زائد ﺱ تربيع. هذا هو ﺩﻉ على ﺩﺱ. والمشتقة العكسية لواحد هي ببساطة ﺱ. إذن ﻕ يساوي ﺱ. عظيم! نعوض بكل ما لدينا في صيغة التكامل بالتجزيء. وسنجد أن تكامل الدالة العكسية لظل ﺱ يساوي ﺱ في الدالة العكسية لظل ﺱ ناقص تكامل ﺱ على واحد زائد ﺱ تربيع.
علينا استخدام التكامل بالتعويض هنا لحساب تكامل ﺱ على واحد زائد ﺱ تربيع. عند إجراء التكامل بالتعويض، عادة ما نفترض متغيرًا جديدًا وهو ﻉ. لكن ﻉ مستخدم بالفعل في هذا المثال. لذا نفترض أن ﻥ يساوي واحدًا زائد ﺱ تربيع، ما يعني أن ﺩﻥ على ﺩﺱ يساوي اثنين ﺱ. بالطبع، ﺩﻥ على ﺩﺱ ليس كسرًا. ولكننا نعامله على أنه كذلك عند إجراء التكامل بالتعويض. ونجد أنه يمكننا القول: إن نصف ﺩﻥ يساوي ﺱ ﺩﺱ. لذا سنعمل على إيجاد تكامل واحد على اثنين ﻥ، أو نخرج العامل الثابت نصفًا خارج التكامل. لكي نتمكن من مكاملة واحد على ﻥ فقط. ولكن علينا فعل شيء مع هذين الحدين. سنعوض بهما في ﻥ يساوي واحدًا زائد ﺱ تربيع. الحد الأول الذي نريده هو واحد. لذا نعوض بـ ﺱ يساوي واحدًا. ونحصل على واحد زائد واحد تربيع، وهو ما يساوي اثنين.
وفي الأسفل هنا، نعوض بـ ﺱ يساوي صفرًا. هذا يعطينا واحدًا زائد صفر تربيع، ما يساوي واحدًا. إذن، سنوجد قيمة تكامل واحد على ﻥ بين الحدين واحد واثنين. تكامل واحد على ﻥ هو ببساطة اللوغاريتم الطبيعي لـ ﻥ. إذن، يمكننا إيجاد قيمة اللوغاريتم الطبيعي لـ ﻥ بين الحدين واحد واثنين، بالتعويض بهما وإيجاد الفرق بينهما. هذا يساوي اللوغاريتم الطبيعي لاثنين ناقص اللوغاريتم الطبيعي لواحد. وبما أن اللوغاريتم الطبيعي لواحد هو صفر، نجد أن قيمة هذا التكامل تساوي نصفًا في اللوغاريتم الطبيعي لاثنين. يمكننا العودة للتعويض بذلك في التكامل الأصلي. ونجد أنه علينا إيجاد قيمة ﺱ مضروبة في الدالة العكسية لظل ﺱ بين الحدين صفر وواحد. وهذا يساوي واحدًا في الدالة العكسية لظل واحد ناقص صفر، وهو ما يساوي 𝜋 على أربعة. وها قد انتهينا. تكامل الدالة العكسية لظل ﺱ بين الحدين صفر وواحد يساوي 𝜋 على أربعة ناقص اللوغاريتم الطبيعي لاثنين على اثنين.
في هذا الفيديو، عرفنا أن التكامل بالتجزيء هو قاعدة التكامل المناظرة لقاعدة حاصل الضرب للاشتقاق. وعرفنا أنه باستخدام رمز ليبنتز، تكون الصيغة هي تكامل ﻉ في ﺩﻕ على ﺩﺱ يساوي ﻉﻕ ناقص تكامل ﻕ في ﺩﻉ على ﺩﺱ. كذلك علمنا أننا بصفة عامة نختار الدالة ﻉ مع مراعاة التأكد من أن التكامل الثاني الذي لدينا أبسط قليلًا. وعرفنا أيضًا طريقة يمكننا الاستعانة بها لتحديد أي الدوال ستكون ﻉ. وأخيرًا، عرفنا أنه يمكننا استخدام ذلك لإيجاد تكاملات حاصل ضرب الدوال، ودوال خارج القسمة، ودوال المقلوب. وفي بعض الأحيان، قد نجري التكامل بالتجزيء أكثر من مرة.
