نسخة الفيديو النصية
أوجد مجموعة القيم التي تحقق المعادلة ٩٧ جا 𝜃 زائد ٦٠ جتا 𝜃 يساوي صفرًا، حيث 𝜃 أكبر من صفر وأقل من ٣٦٠ درجة. قرب إجابتك لأقرب ثانية.
لدينا هنا معادلة مثلثية. لكن توجد مشكلة صغيرة. يصعب حل المعادلات المثلثية عندما تكون لدينا دوال مثلثية مختلفة. بدلًا من ذلك، نلاحظ أن لدينا تعبيرًا يتضمن كلًّا من جا 𝜃 وجتا 𝜃. ونعرف أن هناك متطابقة تربط بينهما. وهي ظا 𝜃 يساوي جا 𝜃 على جتا 𝜃. حسنًا، سنعيد ترتيب المعادلة لإيجاد التعبير جا 𝜃 على جتا 𝜃.
دعونا نبدأ بطرح ٦٠ جتا 𝜃 من الطرفين. عندما نفعل ذلك، نحصل على ٩٧ جا 𝜃 يساوي سالب ٦٠ جتا 𝜃. بعد ذلك، نلاحظ أنه إذا قسمنا الطرفين على جتا 𝜃، فسنقسم في الطرف الأيسر بعض مضاعفات جا 𝜃 على جتا 𝜃. وهذه هي الصيغة التي نريدها. وبقسمة الطرفين على جتا 𝜃، نحصل على ٩٧ جا 𝜃 على جتا 𝜃 يساوي سالب ٦٠. ما نريده الآن هو جا 𝜃 على جتا 𝜃 وليس مضاعفاته. إذن، نقسم الطرفين على ٩٧. وهذا يعطينا جا 𝜃 على جتا 𝜃 يساوي سالب ٦٠ على ٩٧ أو ظا 𝜃 يساوي سالب ٦٠ على ٩٧ باستخدام المتطابقة.
إذن، كيف نحل هذه المعادلة؟ حسنًا، علينا إجراء عملية عكسية. بعبارة أخرى، سنوجد الدالة العكسية لـ ظا سالب ٦٠ على ٩٧. وعندما نفعل ذلك، نجد أن أحد الحلول هو 𝜃 تساوي سالب ٣١٫٧٣٩ درجة مع توالي الأرقام. المشكلة التي لدينا هنا هي أن قيمة 𝜃 تقع خارج الفترة 𝜃 أكبر من صفر وأقل من ٣٦٠. ومن ثم، لدينا خياران هنا. دعونا نبدأ بالنظر إلى شكل التمثيل البياني الذي يعبر عن الدالة ﺹ يساوي ظاﺱ. يبدو التمثيل البياني بهذا الشكل. لدينا خطوط التقارب الرأسية هذه عند ٩٠ درجة، وعند كل ١٨٠ درجة على أي من الجانبين.
هيا نضف الخط المستقيم ﺹ يساوي سالب ٦٠ على ٩٧، بما أننا نحل المعادلة ظا 𝜃 يساوي هذه القيمة. الحل الأول لدينا هو سالب ٣١٫٧. وهو الحل الموجود هنا. لكن إذا نظرنا جيدًا، فإننا نلاحظ وجود حلول أخرى على طول المنحنى. يوجد حل في موضع ما بين ٩٠ و١٨٠، وحل آخر بين ٢٧٠ و٣٦٠. وبما أن دالة الظل دورية، أي أنها متكررة، وتتكرر كل ١٨٠ درجة، فإننا نحصل على الحلول كل ١٨٠ درجة. وفي الواقع، يمكننا القول إنه لأي قيمة لـ 𝜃، فإن ظا 𝜃 يساوي ظا 𝜃 زائد ١٨٠ درجة. وبذلك، فإن قيمة 𝜃 التي تقع داخل الفترة التي نريد إيجادها ستكون سالب ٣١٫٧ زائد ١٨٠، ما يساوي ١٤٨٫٢٦ درجة.
لم نقرب الناتج. وهذا لأنه مطلوب منا تقريب الإجابة لأقرب ثانية. يمكننا استخدام زر الآلة الحاسبة الذي يمثل الدرجات والدقائق والثواني. وبدلًا من ذلك، يمكننا ضرب الجزء العشري في ٦٠. وهذا يعطينا ١٥٫٦٥ مع توالي الأرقام. هذا يشير إلى عدد الدقائق. فلدينا ١٥ دقيقة. وإذا ضربنا الجزء العشري مرة أخرى في ٦٠، فسنحصل على عدد الثواني. ٠٫٦٥ في ٦٠ يساوي ٣٩٫٠٩ مع توالي الأرقام. وهذا عدد الثواني. وبالتقريب لأقرب ثانية، نجد أن أحد حلول 𝜃 هو ١٤٨ درجة و١٥ دقيقة و٣٩ ثانية.
ماذا عن الحل الآخر؟ حسنًا، سنضيف ١٨٠ مرة أخرى. هذا يعطينا الحل الثاني في الفترة، وهو 𝜃 تساوي ٣٢٨٫٢٦ أو ٣٢٨ درجة و١٥ دقيقة و٣٩ ثانية. وإذا أضفنا ١٨٠ درجة مرة أخرى، فسنحصل على قيمة 𝜃 التي تقع خارج الفترة. بذلك نكون قد انتهينا من الحل. يمكننا استخدام هذين القوسين المعقوفين لتمثيل المجموعة. وهذه هي مجموعة القيم التي تحقق المعادلة في الفترة المعطاة.
