نسخة الفيديو النصية
افترض أن ﺱ يرمز إلى المتغير العشوائي المتقطع الذي يأخذ القيم صفر، اثنين، أربعة، وستة. إذا كان احتمال أن يكون ﺱ يساوي صفرًا هو سبع، واحتمال أن يكون ﺱ يساوي اثنين هو سبعان، واحتمال أن يكون ﺱ يساوي أربعة هو سبعان، فأوجد الانحراف المعياري للمتغير ﺱ، لأقرب منزلتين عشريتين.
نعرف من المعطيات أن هذا المتغير العشوائي المتقطع يأخذ القيم: صفرًا، اثنين، أربعة، ستة. لكن لدينا في المعطيات احتمالات ثلاث قيم منها فقط. قبل أن نبدأ في حساب الانحراف المعياري، علينا إيجاد احتمال أن يساوي ﺱ القيمة الرابعة، وهي ستة. يمكننا إيجاد ذلك؛ لأن مجموع جميع القيم في التوزيع الاحتمالي ﺩ ﺱ يجب أن يساوي واحدًا. إذن سبع زائد سبعين زائد سبعين زائد احتمال ﺱ يساوي ستة يساوي واحدًا. يمكننا تبسيط ذلك إلى خمسة أسباع زائد احتمال ﺱ يساوي ستة يساوي واحدًا. ثم يمكننا طرح خمسة أسباع من كلا الطرفين لنجد أن احتمال ﺱ يساوي ستة هو سبعان.
ربما يكون من المفيد الآن أن نمثل هذا التوزيع الاحتمالي في صورة جدول، بحيث تكون القيم الموجودة في مدى المتغير العشوائي المتقطع في الصف العلوي وقيم الاحتمالات المناظرة لها في الصف الثاني. إذن يمكن تمثيل التوزيع الاحتمالي للمتغير ﺱ كما هو موضح. المطلوب منا هو إيجاد الانحراف المعياري لـ ﺱ، وهو مقياس لمدى تشتت توزيعه الاحتمالي. نستخدم الحرف اليوناني 𝜎، أو أحيانًا 𝜎ﺱ، للإشارة إلى الانحراف المعياري. وهو يساوي الجذر التربيعي للتباين.
يمكن حساب تباين متغير عشوائي متقطع ما ﺱ باستخدام الصيغة الموضحة. وهو يساوي القيمة المتوقعة لـ ﺱ تربيع ناقص القيمة المتوقعة لـ ﺱ الكل تربيع. الفرق في الترميز مهم جدًّا هنا. ففي الحد الثاني، نوجد القيمة المتوقعة أو المتوسطة لـ ﺱ ثم نقوم بتربيعها، في حين أننا في الحد الأول نقوم بتربيع قيم ﺱ أولًا ثم نوجد قيمتها المتوقعة أو المتوسطة. لدينا الكثير من العمل هنا، لذا سنقسمه إلى خطوات. سنبدأ بحساب القيمة المتوقعة لـ ﺱ. وهي مجموع كل قيمة لـ ﺱ في التوزيع الاحتمالي مضروبة في قيمة الاحتمال المناظر لها. ويمكننا إضافة صف إلى الجدول لدينا لإيجاد هذه القيم.
أولًا، لدينا صفر مضروبًا في سبع، وهو ما يساوي صفرًا؛ ثم اثنان مضروبًا في سبعين، وهو ما يساوي أربعة أسباع؛ وأربعة مضروبًا في سبعين، وهو ما يساوي ثمانية أسباع؛ وأخيرًا ستة مضروبًا في سبعين، وهو ما يساوي ١٢ على سبعة. والقيمة المتوقعة لـ ﺱ هي مجموع هذه القيم الأربع، وهي ٢٤ على سبعة. بعد ذلك، علينا حساب القيمة المتوقعة لـ ﺱ تربيع. وصيغة حساب ذلك هي مجموع كل قيمة لـ ﺱ تربيع مضروبة في قيمة الاحتمال المناظر لها. وقيم احتمالات ﺱ تربيع هي نفسها التوزيع الاحتمالي لـ ﺱ.
يمكننا إضافة صف آخر إلى الجدول للقيم ﺱ تربيع، وهي: صفر، أربعة، ١٦، ٣٦. ثم سنضيف صفًّا آخر نضرب فيه هذه القيم في الاحتمالات المناظرة لها. صفر مضروبًا في سبع يساوي صفرًا. وأربعة مضروبًا في سبعين يساوي ثمانية أسباع. و١٦ مضروبًا في سبعين يساوي ٣٢ على سبعة. وأخيرًا، ٣٦ مضروبًا في سبعين يساوي ٧٢ على سبعة. توقع ﺱ تربيع هو مجموع هذه القيم الأربع، وهو ١١٢ على سبعة.
الآن وبعد أن حسبنا كلًّا من توقع ﺱ وتوقع ﺱ تربيع، أصبح بإمكاننا حساب تباين ﺱ. إنه يساوي ١١٢ على سبعة، أي توقع ﺱ تربيع، ناقص ٢٤ على سبعة تربيع، أي توقع ﺱ الكل تربيع. وهذا يساوي ٢٠٨ على ٤٩. الخطوة الأخيرة في حساب الانحراف المعياري هي أخذ الجذر التربيعي لهذه القيمة. إذن 𝜎 يساوي الجذر التربيعي لـ ٢٠٨ على ٤٩، الذي يساوي في صورة جذر أصم مبسطة أربعة في الجذر التربيعي لـ ١٣ على سبعة. يمكننا الآن إيجاد قيمة ذلك في صورة عدد عشري، وهو ما يساوي ٢٫٠٦٠٣ وهكذا مع توالي الأرقام.
ينص السؤال على أنه يتعين علينا تقريب الإجابة لأقرب منزلتين عشريتين. إذن، سنقرب لأسفل إلى ٢٫٠٦. ومن ثم، فالانحراف المعياري لـ ﺱ لأقرب منزلتين عشريتين هو ٢٫٠٦، ما يعني أنه في المتوسط، تبعد قيم هذا المتغير العشوائي المتقطع ﺱ عن متوسطها ٢٫٠٦ وحدة.
