نسخة الفيديو النصية
ﺩﺱ تساوي سالب ستة في الجذر التربيعي لـ ﺱ ناقص ستة. باستخدام تعريف المشتقة، أوجد ﺩ شرطة ﺱ.
ﺩ شرطة ﺱ، والتي تسمى هكذا بسبب الشرطة التي توضع في الأعلى بجوار ﺩ، هي مشتقة ﺩﺱ. وفي هذا السؤال، علينا استخدام تعريف المشتقة. دعونا نكتب هذا التعريف إذن.
حسب التعريف، مشتقة ﺩﺱ، أي ﺩ شرطة ﺱ، تساوي النهاية عندما يقترب ﻫ من صفر لـ ﺩﺱ زائد ﻫ ناقص ﺩﺱ الكل على ﻫ. دعونا نحاول تطبيق هذا التعريف على الدالة التي لدينا. ما قيمة ﺩﺱ زائد ﻫ؟ حسنًا، ﺩﺱ تساوي سالب ستة في الجذر التربيعي لـ ﺱ ناقص ستة.
إذن بالتعويض عن ﺱ بـ ﺱ زائد ﻫ، نجد أن ﺩﺱ زائد ﻫ تساوي سالب ستة في الجذر التربيعي لـ ﺱ زائد ﻫ ناقص ستة. نطرح ﺩﺱ من هذا الحد. وأخيرًا، نقسم على ﻫ.
دعونا نر إذا ما كان بإمكاننا ترتيب البسط. يمكننا التخلص من هذين القوسين؛ إذ ليس لهما دور مهم. ويمكننا توزيع إشارة السالب خارج المجموعة الثانية من الأقواس على الحدين اللذين بداخلها. ناقص سالب ستة في الجذر التربيعي لـ ﺱ يصبح زائد ستة في الجذر التربيعي لـ ﺱ. ثم ناقص سالب ستة يساوي موجب ستة.
يمكننا بعد ذلك حذف حدين. ونلاحظ أيضًا عاملًا مشتركًا بين الحدين المتبقيين ويمكننا التحليل بإخراجه من الحدين. نقوم كذلك بتبديل الحدين في البسط. وأخيرًا، يمكننا نقل الثابت، أي العدد ستة، خارج النهاية. ويمكن تبرير هذه الخطوة باستخدام أحد قوانين النهايات.
بإجراء كل هذه العمليات الجبرية، نكون قد تمكنا من تبسيط النهاية التي علينا إيجادها. دعونا نفرغ بعض المساحة ونتابع الحل. حسنًا، بعد أن قمنا بالتبسيط قدر الإمكان، كيف نوجد قيمة هذه النهاية؟ أول ما نلاحظه هو أن التعويض المباشر بـ ﻫ يساوي صفرًا يعطينا الصيغة غير المعينة صفر على صفر.
نريد أن يصبح ﻫ عاملًا مشتركًا في البسط والمقام ويتم حذفه كي نتجنب حدوث ذلك عند التعويض. وطريقة فعل ذلك هي ضرب كل من البسط والمقام في مرافق البسط.
ونحصل على مرافق أي مقدار ذي حدين عن طريق عكس إشارة الحد الثاني. على سبيل المثال، مرافق ﺃ زائد ﺏ هو ﺃ ناقص ﺏ. ومرافق ﺃ ناقص ﺏ هو ﺃ زائد ﺏ. ومن ثم، نضرب المقدار في الجذر التربيعي ﺱ زائد الجذر التربيعي ﺱ زائد ﻫ.
يمكننا تبسيط بسط الكسر باستخدام خاصية التوزيع، أو طريقة ضرب حدي القوس الأول في حدي القوس الثاني. وعندما نفعل ذلك، نلاحظ أن الحدين الأوسطين يحذفان، ويمكننا تبسيط الحدين الآخرين. الجذر التربيعي لـ ﺱ تربيع يساوي ﺱ. والجذر التربيعي لـ ﺱ زائد ﻫ تربيع هو ﺱ زائد ﻫ. لا يمكن تبسيط المقام. لذا، نتركه كما هو.
دعونا نرتب البسط ونلاحظ ما سيصبح لدينا. البسط هو ﺱ ناقص ﺱ زائد ﻫ. وبتوزيع إشارة السالب على القوسين، نحصل على ﺱ ناقص ﺱ ناقص ﻫ. سوف نحذف الحدين ﺱ. يصبح البسط إذن سالب ﻫ.
لقد نجحنا في تحويل ﻫ إلى عامل مشترك في البسط والمقام، ويمكننا حذفه الآن. عند حذف هذا العامل المشترك ﻫ، نجد أنه يمكننا الآن التعويض مباشرة بـ ﻫ يساوي صفرًا. بفعل ذلك، مع الانتباه إلى أن البسط الآن يساوي سالب واحد، نحصل على المقدار الآتي.
الجذر التربيعي لـ ﺱ زائد صفر يساوي الجذر التربيعي لـ ﺱ. ويمكننا دمج هذا مع الجذر التربيعي الآخر لـ ﺱ لنحصل على اثنين في الجذر التربيعي لـ ﺱ. وبتبسيط ذلك بدمج الثابتين، نحصل على سالب ثلاثة على الجذر التربيعي ﺱ.
تذكر أن هذه هي ﺩ شرطة ﺱ، وهي مشتقة الدالة في السؤال. ومن ثم إذا عوضنا بقيمة ﺱ في هذه الدالة المشتقة، ﺩ شرطة ﺱ، فسنحصل على ميل المماس لمنحنى الدالة الأصلية ﺩﺱ، عند قيمة ﺱ هذه.
