نسخة الفيديو النصية
أي من الآتي يمثل الصورة البارامترية لمعادلة المستوى الذي يحتوي على الخطين المستقيمين ﺱ ناقص واحد على سالب اثنين يساوي ﺹ زائد واحد على سالب واحد يساوي ﻉ ناقص واحد على ثلاثة، وﺱ على سالب أربعة يساوي ﺹ ناقص اثنين على سالب اثنين يساوي ﻉ زائد واحد على ستة؟ الخيار (أ) ﺱ يساوي واحدًا ناقص اثنين ﻥ واحد زائد ﻥ اثنين، وﺹ يساوي سالب واحد ناقص ﻥ واحد زائد ثلاثة ﻥ اثنين، وﻉ يساوي واحدًا زائد ثلاثة ﻥ واحد زائد اثنين ﻥ اثنين؟ أم الخيار (ب) ﺱ يساوي واحدًا ناقص اثنين ﻥ واحد ناقص ﻥ اثنين، وﺹ يساوي سالب واحد ناقص ﻥ واحد زائد ثلاثة ﻥ اثنين، وﻉ يساوي واحدًا زائد ثلاثة ﻥ واحد ناقص اثنين ﻥ اثنين؟ أم الخيار (ج) ﺱ يساوي سالب ﻥ واحد زائد ﻥ اثنين، وﺹ يساوي اثنين ناقص ﻥ واحد ناقص ثلاثة ﻥ اثنين، وﻉ يساوي سالب واحد ناقص اثنين ﻥ واحد؟ أم الخيار (د) ﺱ يساوي سالب ﻥ واحد زائد ﻥ اثنين، وﺹ يساوي سالب أربعة ﻥ واحد زائد ﻥ اثنين، وﻉ يساوي سالب واحد ناقص اثنين ﻥ واحد. أم الخيار (هـ) ﺱ يساوي واحدًا ناقص اثنين ﻥ واحد ناقص ﻥ اثنين، وﺹ يساوي سالب واحد ناقص ﻥ واحد زائد ثلاثة ﻥ اثنين، وﻉ يساوي سالب واحد زائد ثلاثة ﻥ واحد؟
في هذا السؤال، لدينا خمس معادلات بارامترية. وعلينا تحديد أي من هذه الخيارات يمثل الصورة البارامترية الصحيحة لمعادلة المستوى الذي يحتوي على الخطين المستقيمين المعطيين على الصورة الكارتيزية. للإجابة عن هذا السؤال، دعونا نبدأ بتذكر ما نعنيه بالصورة البارامترية لمعادلة مستوى. لعلنا نتذكر أن المستوى الذي يمر بالنقطة ﻡ التي إحداثياتها ﺱﻡ، ﺹﻡ، ﻉﻡ ويحتوي على متجهين ليسا على استقامة واحدة — وهما المتجه ﺭ ومركباته ﺭﺱ، ﺭﺹ، ﺭﻉ؛ والمتجه ﻕ ومركباته ﻕﺱ، ﻕﺹ، ﻕﻉ — سيكون له معادلات بارامترية معطاة من خلال مجموعة المعادلات الثلاث الموضحة.
نلاحظ أن معادلة ﺱ معطاة بالكامل بدلالة الإحداثي ﺱ للنقطة ﻡ، والمركبتين ﺱ للمتجهين ﺭ وﻕ. ينطبق أمر مشابه للغاية على معادلتي ﺹ وﻉ. يمكننا استخدام هذا التعريف لتحديد الصورة البارامترية لمعادلة هذا المستوى. ولفعل ذلك، نبدأ بملاحظة أن لدينا خطين مستقيمين في المستوى. وكلا الخطين المستقيمين معطيان على الصورة الكارتيزية. نتذكر أنه يمكننا إيجاد متجهي اتجاه الخطين المستقيمين المعطيين على الصورة الكارتيزية بالنظر إلى مقامات كل جزء من السؤال. متجه اتجاه كل خط مستقيم له مركبات تساوي مقامات هذه الكسور. إذن، نجعل المتجه ﺭ يساوي المتجه سالب اثنين، سالب واحد، ثلاثة.
يمكننا الآن التفكير في تطبيق المنطق نفسه لجعل المتجه ﻕ يساوي المتجه سالب أربعة، سالب اثنين، ستة. لكن هناك مشكلة واحدة في ذلك. نحن نعلم أنه علينا اختيار متجهين ليسا على استقامة واحدة وهما ﺭ وﻕ. ويمكننا ملاحظة أن جميع مركبات المتجه ﻕ تشترك في العامل اثنين. في الواقع، المتجه ﻕ يساوي اثنين في المتجه ﺭ. ومن ثم، يكون كل منهما مضاعفًا قياسيًّا للآخر؛ بعبارة أخرى، هذان المتجهان على استقامة واحدة. لذا، علينا تحديد متجه آخر في المستوى. ولفعل ذلك، دعونا نرسم شكلًا نوضح عليه المعطيات التي لدينا.
لدينا خطان مستقيمان في المستوى، وقد أوضحنا أن متجهي الاتجاه على استقامة واحدة. ومن ثم، يجب أن يكون المستقيمان متوازيين. ويمكننا أيضًا ملاحظة أن المستقيمين ليسا منطبقين؛ لأن المعادلات ليست مضاعفات قياسية بعضها لبعض. إذن، لدينا مستقيمان مختلفان في المستوى. ويمكننا أيضًا جعل المتجه ﺭ أحد متجهي اتجاه الخط المستقيم. إذن، يمكننا إيجاد المتجه الموجود في المستوى عن طريق إيجاد نقطة على كل خط مستقيم. بعد ذلك، يصبح المتجه المحصور بين هاتين النقطتين موجودًا في المستوى. يمكننا إيجاد نقطة على كل خط مستقيم عن طريق جعل كل معادلة تساوي صفرًا. حسنًا، دعونا نفرغ بعض المساحة ونحسب المتجه ﻕ.
نبدأ بإيجاد متجه موضع النقطة الأولى على الخط المستقيم. نجعل كل معادلة تساوي صفرًا. فنحصل على المتجه واحد، سالب واحد، واحد. بعد ذلك، نفعل الشيء نفسه تمامًا مع معادلة الخط المستقيم الثاني. وهو يحتوي على نقطة متجه موضعها هو صفر، اثنان، سالب واحد. يمكننا جعل ﻕ يساوي الفرق بين هذين المتجهين. ويمكننا بعد ذلك إيجاد ناتج الطرح من خلال طرح كل مركبتين متناظرتين. يصبح لدينا ﻕ هو المتجه سالب واحد، ثلاثة، سالب اثنين. وفي هذه المرحلة، يجدر بنا التأكيد على أنه يمكننا اختيار أي مضاعفات قياسية لهذين المتجهين ليصبحا المتجهين ﺭ وﻕ.
نحن الآن مستعدون للتعويض بهذه النواتج في المعادلات البارامترية التي لدينا. ومع ذلك، ربما علينا اختيار النقطة ﻡ أولًا. لكن توجد العديد من النقاط المختلفة التي يمكننا اختيارها للنقطة ﻡ. على سبيل المثال، لقد أوجدنا بالفعل النقطة التي تقع على كل خط مستقيم. ويمكننا إيجاد إحداثيات المزيد من النقاط على الخط المستقيم أو المزيد من النقاط في المستوى. وسيعطينا كل ذلك معادلات بارامترية صحيحة للخط المستقيم. إذن، بدلًا من ذلك سنعوض بالمتجهين ﺭ وﻕ في المعادلة، ثم نحدد الإحداثيات اللازمة للنقطة ﻡ من الخيارات المعطاة. وبالتعويض بمركبات ﺭ وﻕ في المعادلات البارامترية للخط المستقيم، نحصل على المعادلات الثلاث الموضحة.
يمكننا بعد ذلك ملاحظة أن ما حصلنا عليه لا يطابق إلا خيارًا واحدًا من الخيارات المعطاة، وهو الخيار (ب). وبما أن معاملات ﻥ واحد وﻥ اثنين تتطابق مع جميع المعادلات الثلاث، فسيمثل ذلك معادلات بارامترية صحيحة للمستوى إذا كانت النقطة التي إحداثياتها واحد، سالب واحد، واحد تقع في المستوى. وقد أوضحنا من قبل أن هذه النقطة تقع في المستوى؛ لأننا أثبتنا بالفعل أنها تقع على الخط المستقيم الأول. وبذلك، نختار النقطة ﻡ بحيث تكون إحداثياتها واحد، سالب واحد، واحد، ثم نعوض بإحداثيات هذه النقطة في المعادلات البارامترية، التي نلاحظ أنها تطابق الخيار (ب) تمامًا.
إذن، استطعنا إثبات أن الصورة البارامترية لمعادلة المستوى الذي يحتوي على الخطين المستقيمين ﺱ ناقص واحد على سالب اثنين يساوي ﺹ زائد واحد على سالب واحد يساوي ﻉ ناقص واحد على ثلاثة، وﺱ على سالب أربعة يساوي ﺹ ناقص اثنين على سالب اثنين يساوي ﻉ زائد واحد على ستة هي الخيار (ب). ﺱ يساوي واحدًا ناقص اثنين ﻥ واحد ناقص ﻥ اثنين، وﺹ يساوي سالب واحد ناقص ﻥ واحد زائد ثلاثة ﻥ اثنين، وﻉ يساوي واحدًا زائد ثلاثة ﻥ واحد ناقص اثنين ﻥ اثنين.
