نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتحدث عن التحليل البعدي. في معظم الأحيان، تستخدم كلمة «الأبعاد» للإشارة إلى قياس الطول. على سبيل المثال، يمكننا القول إن أبعاد جسم ما هي: طوله، وعرضه، وارتفاعه. ونشير عادة إلى الأجسام المعتادة بوصفها ثلاثية الأبعاد. لكن كلمة «الأبعاد» لا تشير إلى الأطوال فحسب. بل تشير أيضًا إلى كميات أخرى مثل: الكتلة، والزمن، وشدة التيار. يمكننا النظر إلى الأبعاد باعتبارها كميات رئيسية أو أساسية يمكن دمجها بطرق مختلفة لتكوين كميات أكثر تعقيدًا.
والتحليل البعدي هو عملية تحليل الكميات الفيزيائية المختلفة من خلال النظر إلى الكميات الأساسية، أي الأبعاد التي تتكون منها. يمكننا استخدام التحليل البعدي لمساعدتنا في التوصل إلى الوحدات التي يمكننا استخدامها للتعبير عن الكميات المختلفة، وكذلك مساعدتنا في فهم تفاصيل المعادلات الفيزيائية. في هذا الفيديو، سوف نتناول أربعة أبعاد أساسية وهي: الطول، والكتلة، والزمن، وشدة التيار. كما ذكرنا، نشير إلى هذه الكميات بالأبعاد لأننا نعتبرها كميات بسيطة أو أساسية. ومن ثم، يمكن التعبير عن العديد من الكميات الأخرى؛ مثل: العجلة، والشحنة، والقوة، بدلالة هذه الأبعاد الأربعة فقط.
في واقع الأمر، يمكن التعبير عن أي كمية بدلالة أبعادها. وهذا الأمر وثيق الارتباط بحقيقة أنه يمكننا التعبير عن أي وحدة من وحدات النظام الدولي بدلالة وحدات النظام الدولي الأساسية. فيمكننا قياس أي بعد باستخدام وحدة أساسية واحدة من وحدات النظام الدولي. إذن يمكننا قياس الطول بالمتر، والكتلة بالكيلوجرام، والزمن بالثواني، وشدة التيار بالأمبير. وينطبق الأمر نفسه على الوحدات الأكثر تعقيدًا مثل تلك التي نستخدمها لقياس العجلة والشحنة والقوة؛ إذ يمكن التعبير عنها دائمًا باستخدام وحدات النظام الدولي الأساسية. على سبيل المثال، بوحدات النظام الدولي، نقيس العجلة بالمتر لكل ثانية تربيع أو بالمتر في الثانية أس سالب اثنين. تشمل هاتان الوحدتان وحدة الطول في النظام الدولي للوحدات؛ وهي المتر، ووحدة الزمن في النظام الدولي للوحدات؛ وهي الثانية.
وبالمثل، وحدة الشحنة في النظام الدولي للوحدات هي الكولوم، ونرمز لها بحرف 𝐶 كبير. والكولوم الواحد يعادل أمبير ثانية. إذن يمكننا التعبير عن الشحنة بالوحدة التي تشمل وحدة شدة التيار في النظام الدولي للوحدات؛ وهي الأمبير، ووحدة الزمن في النظام الدولي للوحدات؛ وهي الثانية. وبالمثل، وحدة القوة في النظام الدولي للوحدات هي النيوتن. لكن يمكن التعبير عن وحدة النيوتن بوحدة مكافئة، وهي الكيلوجرام متر لكل ثانية تربيع التي يمكننا أيضًا كتابتها بهذه الطريقة. نلاحظ إذن أنه يمكن التعبير عن القوة بوحدة تشمل وحدة الكتلة في النظام الدولي للوحدات؛ وهي الكيلوجرام، ووحدة الطول في النظام الدولي للوحدات؛ وهي المتر، ووحدة الزمن في النظام الدولي للوحدات؛ وهي الثانية.
في الواقع، عملية التعبير عن الكميات باستخدام أبعادها لا تعتمد على الوحدات. ولذلك حتى إذا كنا نقيس الطول بالبوصة والزمن بالسنوات، فسيظل بإمكاننا التعبير عن أي كمية بدلالة الأبعاد نفسها. لفعل ذلك، نستخدم الرموز للإشارة إلى كل بعد. نمثل بعد الطول بحرف 𝐿 كبير، والكتلة بحرف 𝑀 كبير، والزمن بحرف 𝑇 كبير، وشدة التيار بحرف 𝐼 كبير. لاحظ أن هذه الرموز لا تمثل وحدات، ولا هي بالضرورة الرموز التي نستخدمها لتمثيل المتغيرات في المعادلات. لذا نستخدم حرف 𝐿 كبيرًا لتمثيل بعد الطول بغض النظر عن الوحدات التي نستخدمها وعما إذا كان هذا الطول ثابتًا أو متغيرًا في معادلة ما.
يمكننا استخدام هذه الرموز لتمثيل طرق دمج الأبعاد في كميات أكثر تعقيدًا. كمثال بسيط على هذا، لنتناول أبعاد المساحة. عندما نحسب المساحة، نضرب عادة طولين معًا. على سبيل المثال، مساحة المربع تساوي عرضه مضروبًا في ارتفاعه. ومساحة المثلث تساوي نصف طول قاعدته مضروبًا في ارتفاعه العمودي. نظرًا لأن الطول بعد، وأنه يمكننا إيجاد المساحة عن طريق ضرب الطول في طول آخر؛ يمكننا القول إن أبعاد المساحة هي الطول في الطول، أو الطول تربيع.
عندما نحسب مساحة شكل ما، لا يكون الطولان اللذان نضربهما معًا متساويين بالضرورة. وهذا يعني أننا لا نقوم بتربيع الطول دائمًا عندما نحسب المساحة. بالرغم من ذلك، فإن أبعاد أي مساحة هي الطول تربيع. ويمكننا تمثيل ذلك باستخدام رموز مثل 𝐿 تربيع. نعلم أنه يمكن تمثيل المساحة باستخدام العديد من الوحدات المختلفة؛ مثل: المتر المربع، والفدان، والبوصة المربعة. لكن أبعاد المساحة تكون دائمًا طولًا مربعًا. يمكننا التوصل إلى أبعاد أي كمية إذا كانت لدينا صيغة تمكننا من حساب هذه الكمية. على سبيل المثال، إذا كان لدينا مثلث طول قاعدته 𝑏، وارتفاعه العمودي ℎ؛ فيمكننا إيجاد مساحته باستخدام الصيغة نصف 𝑏 في ℎ.
المعامل نصف في هذه المعادلة هو ما نسميه عددًا بلا أبعاد. فليس له أي أبعاد، ولا نمثله باستخدام الوحدات. لكن 𝑏 وℎ قياسان للطول. ومن ثم لهما بعد الطول. وحقيقة أنه يمكننا حساب مساحة المثلث من خلال ضرب طولين معًا تؤكد أن أبعاد المساحة هي الطول في الطول. يمكننا استخدام هذه الطريقة نفسها لإيجاد أبعاد كميات أكثر تعقيدًا، مثل كمية الحركة. لعلنا نتذكر أنه يمكن إيجاد كمية حركة جسم كتلته 𝑚 ويتحرك بالسرعة المتجهة 𝑣 من خلال الصيغة: 𝑝 يساوي 𝑚𝑣؛ حيث 𝑝 يمثل كمية الحركة. يمكننا استخدام هذه الصيغة لكي نتوصل إلى أبعاد كمية الحركة من خلال تناول أبعاد كل من الكميات المستخدمة في حسابها، وهي في هذه الحالة: الكتلة، والسرعة المتجهة.
الأبعاد الموجودة في الطرف الأيسر لأي معادلة فيزيائية يجب أن تكون هي الأبعاد نفسها الموجودة في الطرف الأيمن للمعادلة، وهو ما يخبرنا أن أبعاد كمية الحركة يجب أن تكون هي أبعاد الكتلة نفسها مضروبة في أبعاد السرعة المتجهة. ويمكننا استخدام قوسين مربعين للإشارة إلى أننا نتحدث عن الأبعاد. على سبيل المثال، يمثل حرف 𝑝 صغير بين قوسين مربعين أبعاد كمية الحركة. وكما رأينا في هذه المعادلة، يجب أن تكون أبعاد كمية الحركة مساوية لأبعاد الكتلة مضروبة في أبعاد السرعة المتجهة، وهو ما يمكن تمثيله بهذا الشكل. أول شيء يمكننا ملاحظته هنا هو أن الكتلة بعد.
لذا بدلًا من وضع قوسين مربعين حول حرف 𝑚 صغير لتمثيل أبعاد الكتلة، يمكننا فقط كتابة حرف 𝑀 كبير لتمثيل بعد الكتلة. بفعل ذلك، نكون قد اقتربنا خطوة من تحديد أبعاد كمية الحركة. لكن لكي ننتهي من هذه المهمة، لا يزال علينا تحديد أبعاد السرعة المتجهة. ولفعل ذلك، يمكننا استخدام أي صيغة تمكننا من حساب السرعة المتجهة. لعل الصيغة الأكثر شيوعًا هي: 𝑣 يساوي 𝑠 على 𝑡؛ أي السرعة المتجهة تساوي الإزاحة مقسومة على الزمن. مرة أخرى، باستخدام حقيقة أن الأبعاد الموجودة على الطرفين الأيسر والأيمن لأي معادلة يجب أن تكون متساوية، نعلم أن أبعاد السرعة المتجهة يجب أن تكون مساوية لأبعاد الإزاحة مقسومة على أبعاد الزمن.
ونظرًا لأن الإزاحة هي في واقع الأمر قياس للطول والطول بعد، يمكننا القول إن الإزاحة لها بعد الطول. وأبعاد الزمن هي بالطبع بعد الزمن فحسب. إذن يمكننا الاستعاضة عن هاتين الكميتين بالرمزين اللذين يمثلان أبعادهما، وهو ما يوضح لنا أن أبعاد السرعة المتجهة هي الطول مقسومًا على الزمن. يمكننا الآن التعويض بذلك في معادلة أبعاد كمية الحركة. بعبارة أخرى، يمكننا حذف حرف 𝑣 الصغير الموجود بين القوسين المربعين؛ الذي يمثل أبعاد السرعة المتجهة، والتعويض بحرف 𝐿 كبير على حرف 𝑇 كبير؛ الذي يمثل بعد الطول مقسومًا على بعد الزمن. وعند إعادة ترتيب هذا قليلًا، نلاحظ أن المعادلة تخبرنا أن أبعاد كمية الحركة هي الكتلة في الطول على الزمن.
عندما نكتب معادلات تشتمل على أبعاد، نستخدم غالبًا الصورة الأسية بدلًا من الكسور. إذن بدلًا من كتابة 𝑀𝐿 على 𝑇، نكتب التعبير المكافئ 𝑀𝐿𝑇 أس سالب واحد. وبذلك نكون قد عرفنا كيف يمكننا إيجاد أبعاد كمية ما باستخدام صيغة لهذه الكمية، ومساواة الأبعاد الموجودة في الطرفين الأيسر والأيمن. ويصبح ذلك أسهل عند تذكر الصيغ المحددة لبعض الكميات الشائعة. أبعاد المساحة هي الطول تربيع، ويمكننا تمثيلها بالصيغة 𝐿 تربيع. أبعاد الحجم هي الطول تكعيب، ويمكن كتابتها على صورة 𝐿 تكعيب. أبعاد السرعة هي الطول مقسومًا على الزمن، ويمكن كتابتها على صورة 𝐿 على 𝑇 أو 𝐿𝑇 أس سالب واحد. وأبعاد العجلة هي الطول مقسومًا على الزمن تربيع، ونكتبها على صورة 𝐿 في 𝑇 أس سالب اثنين.
أبعاد كمية الحركة هي الكتلة في السرعة المتجهة. وبما أننا رأينا للتو أن أبعاد السرعة المتجهة هي الطول مقسومًا على الزمن، فهذا يعني أنه يمكننا تمثيل أبعاد كمية الحركة على صورة 𝑀𝐿𝑇 أس سالب واحد. أبعاد القوة هي أبعاد كمية الحركة نفسها مقسومة على الزمن. وبما أننا رأينا أن أبعاد كمية الحركة هي 𝑀𝐿𝑇 أس سالب واحد، نعرف أن أبعاد القوة تساوي 𝑀𝐿𝑇 أس سالب واحد مقسومًا على 𝑇، وهو ما يساوي 𝑀𝐿𝑇 أس سالب اثنين. وأبعاد الشحنة هي شدة التيار مضروبة في الزمن، وهو ما يمكننا تمثيله برمز بعد شدة التيار وهو 𝐼، في 𝑇. وأخيرًا، أبعاد التردد هي واحد على الزمن، ونكتبه على صورة 𝑇 أس سالب واحد. والآن بعد أن تحدثنا عن ماهية الأبعاد وكيف يمكننا حساب أبعاد كميات مختلفة، لنتدرب على بعض الأمثلة التدريبية.
ما أبعاد الكمية التي تساوي القوة مضروبة في المسافة؟
يتحدث هذا السؤال عن كمية غير معلومة تساوي القوة مضروبة في المسافة. يمكننا تسهيل الحل على أنفسنا من خلال تمثيل هذه المعلومة في معادلة. لنسم هذه الكمية غير المعلومة 𝑥. ولأننا نعلم أنها تساوي القوة مضروبة في المسافة، يمكننا كتابة المعادلة 𝑥 تساوي 𝐹 في 𝑑؛ حيث 𝐹 تمثل القوة، و𝑑 تمثل المسافة. يطلب منا السؤال معرفة أبعاد هذه الكمية التي اخترنا تمثيلها بالرمز 𝑥.
دعونا نتذكر سريعًا أبعاد مجموعة الكميات الأساسية التي يمكن أن تتكون منها جميع الكميات في الفيزياء، والتي تشمل: الطول، والكتلة، والزمن، وشدة التيار. يمكن تمثيل هذه الأبعاد بالرموز: 𝐿 كبير، و𝑀 كبير، و𝑇 كبير، و𝐼 كبير. ولنتذكر أيضًا أنه في أي معادلة فيزيائية، تكون الأبعاد في الطرفين متطابقة. هذا يعني أن أبعاد 𝑥، التي نحاول إيجادها، يجب أن تكون هي أبعاد 𝐹 في 𝑑 نفسها. وتكون هذه الأبعاد أيضًا هي أبعاد 𝐹 في أبعاد 𝑑.
يمكننا استخدام قوسين مربعين عندما نتحدث عن أبعاد كمية ما. فوضع حرف 𝑥 صغير بين قوسين مربعين يشير إلى أبعاد الكمية 𝑥. ويجب أن يكون هذا مساويًا لأبعاد 𝐹 في أبعاد 𝑑. نرى الآن أنه إذا استطعنا إيجاد أبعاد القوة وأبعاد المسافة، فإن كل ما سنحتاج إليه لإيجاد أبعاد الكمية 𝑥 هو ضربهما معًا. وليس من الصعب الاقتناع هنا بأن أبعاد المسافة هي الطول. فعلى أية حال، عندما نقيس مسافة ما، فإننا نقيس طولها. إذن في هذه المعادلة، يمكننا التعويض عن حرف 𝑑 الصغير الموجود بين القوسين المربعين بحرف 𝐿 كبير لتمثيل بعد الطول. بعبارة أخرى، الطول هو بعد المسافة.
بذلك نكون قد اقتربنا خطوة من تحديد أبعاد الكمية المطلوبة. كل ما علينا فعله الآن هو إيجاد أبعاد القوة. لكن إيجاد أبعاد القوة أكثر تعقيدًا بعض الشيء مع الأسف؛ لأن القوة ليست طولًا أو كتلة أو زمنًا أو شدة تيار فحسب. وإنما هي مزيج من العديد من تلك الأبعاد. لتحديد الأبعاد التي تتضمنها هذه الكمية، أي القوة، وكيفية تضمنها لها، يمكننا استخدام أي صيغة تمكننا من حساب القوة. على سبيل المثال، يمكننا حساب القوة المؤثرة على جسم ما من خلال قسمة مقدار التغير في كمية حركته على الزمن الذي تغيرت كمية الحركة خلاله.
مرة أخرى، نعلم أن الأبعاد الموجودة في الطرف الأيسر من هذه المعادلة يجب أن تطابق الأبعاد الموجودة في الطرف الأيمن. إذن يمكننا القول إن أبعاد القوة تساوي أبعاد التغير في كمية الحركة مقسومة على أبعاد الزمن. والتغير في كمية الحركة له أبعاد كمية الحركة نفسها. إذن يمكننا أن نتجاهل الرمز 𝛥 ونقول إن أبعاد القوة تساوي أبعاد كمية الحركة مقسومة على أبعاد الزمن. ونلاحظ أن الزمن بعد. إذن في المعادلة، بدلًا من كتابة حرف 𝑡 صغير بين قوسين مربعين للإشارة إلى أبعاد الزمن، يمكننا كتابة حرف 𝑇 كبير لتمثيل بعد الزمن.
لكننا نلاحظ أيضًا أن كمية الحركة ليست بعدًا. إذن مرة أخرى، علينا إيجاد أبعاد كمية الحركة باستخدام صيغة تمكننا من حساب كمية الحركة. نتذكر هنا أن كمية الحركة تساوي الكتلة في السرعة المتجهة. ولأننا نعلم أن الأبعاد الموجودة في الطرف الأيسر من هذه المعادلة هي الأبعاد الموجودة في الطرف الأيمن نفسها، نعرف أن أبعاد كمية الحركة يجب أن تكون هي أبعاد الكتلة في أبعاد السرعة المتجهة نفسها. لذا بدلًا من حرف 𝑝 الصغير الموضوع بين قوسين مربعين، الذي يمثل أبعاد كمية الحركة، يمكننا التعويض بأبعاد الكتلة مضروبة في أبعاد السرعة المتجهة. ولأن الكتلة بعد، يمكننا التعويض عن حرف 𝑚 الصغير الموضوع بين القوسين بحرف 𝑀 الكبير الذي يمثل بعد الكتلة.
نلاحظ هنا أننا نعوض تدريجيًا عن الكميات ذات الأبعاد غير المعلومة بكميات أساسية مثل الزمن والكتلة. وأخيرًا، علينا إيجاد أبعاد السرعة المتجهة. هذه المرة يمكننا استخدام معادلة السرعة المتجهة تساوي الإزاحة على الزمن. توضح لنا هذه المعادلة أن أبعاد السرعة المتجهة تساوي أبعاد الإزاحة مقسومة على أبعاد الزمن. لذا، يمكننا التعويض عن أبعاد السرعة المتجهة في هذه المعادلة بأبعاد الإزاحة مقسومة على أبعاد الزمن. وكما هو الحال بالنسبة للمسافة، أبعاد الإزاحة هي الطول. إذن يمكننا التعويض عن حرف 𝑠 الصغير الموجود بين القوسين المربعين بحرف 𝐿 كبير. ومرة أخرى، يمكننا التعويض عن حرف 𝑡 الصغير الموجود بين القوسين المربعين بحرف 𝑇 كبير.
نرى الآن أنه بمساعدة هذه الصيغ الثلاث، استطعنا التعبير عن أبعاد القوة بدلالة الكتلة، والطول، والزمن. يمكننا تبسيط هذا التعبير إلى 𝑀𝐿 على 𝑇 تربيع، أي الكتلة في الطول على الزمن تربيع. ولأن الأكثر شيوعًا هو استخدام الصورة الأسية مع الأبعاد، سنكتب هذا التعبير على صورة 𝑀𝐿𝑇 أس سالب اثنين. وأخيرًا، يمكننا التعويض بذلك في التعبير الذي يخبرنا بأبعاد الكمية غير المعلومة 𝑥. يوضح لنا ذلك أن أبعاد الكمية غير المعلومة 𝑥 هي الكتلة في الطول في الزمن أس سالب اثنين في الطول، وهو ما يمكننا تبسيطه إلى 𝑀𝐿 تربيع 𝑇 أس سالب اثنين.
إذن هذه هي إجابتنا. أبعاد الكمية التي تساوي القوة مضروبة في المسافة هي الكتلة في الطول تربيع في الزمن أس سالب اثنين.
والآن بعد أن أجبنا عن هذا السؤال، لنتناول سؤالًا يتطلب منا التحويل بين صورة الوحدات وصورة الأبعاد.
ما أبعاد الكمية التي يمكن قياسها بوحدة كيلوجرام متر مربع؟
يتطلب منا هذا السؤال التمييز بين ثلاثة مفاهيم شديدة التشابه؛ وهي: الأبعاد، والكميات، والوحدات. لنذكر أنفسنا سريعًا بما يعنيه كل من هذه المصطلحات. في الفيزياء، الكمية هي خاصية فيزيائية يمكن التعبير عنها في صورة عدد. بعبارة أخرى، هي خاصية فيزيائية يمكن تحديد كميتها. وهذا يتضمن أشياء مثل: الكتلة، والطاقة، والعجلة. والوحدة هي مقدار معين من كمية محددة. ونعبر عنها غالبًا باستخدام الرموز. على سبيل المثال، يمكننا التعبير عن الكتلة بالكيلوجرام، والطاقة بالجول، والعجلة بالمتر لكل ثانية مربعة.
وأخيرًا، الأبعاد هي مجموعة الكميات الأساسية التي يمكن من خلالها التعبير عن جميع الكميات الأخرى بصورة منفصلة عن الوحدات. وهي تتضمن: الكتلة، والطول، والزمن، وشدة التيار. وكل الأبعاد كميات، لكن ليست كل الكميات أبعادًا. بالرغم من ذلك، يمكن التعبير عن كل الكميات، بما في ذلك الطاقة والعجلة، بدلالة الأبعاد. في هذا السؤال، لدينا كمية وحدتها هي الكيلوجرام متر مربع، ومطلوب منا إيجاد أبعادها. لحسن الحظ، يمكننا التحويل مباشرة بين الوحدات والأبعاد. لكي نفعل ذلك، دعونا ندقق النظر في الوحدة الموجودة في السؤال.
تتكون الوحدة الموجودة هنا، وهي الكيلوجرام متر مربع، من ضرب وحدات مختلفة معًا. في هذه الحالة، لدينا كيلوجرام في متر مربع أو كيلوجرام في متر في متر. الكيلوجرام هو الوحدة التي نستخدمها للتعبير عن كمية الكتلة، والمتر هو الوحدة التي نستخدمها للتعبير عن كمية الطول. بالإضافة إلى كون الكتلة والطول كميتين، يمكننا ملاحظة أيضًا أنهما بعدان. وهذا يسهل كثيرًا التحويل من صورة الوحدة هذه إلى صورة البعد. لدينا وحدة الكتلة مضروبة في وحدة الطول مضروبة في وحدة الطول مرة أخرى. إذن فالأبعاد المقابلة هي ببساطة الكتلة في الطول في الطول.
وتمثل كميات الكتلة، والطول، والزمن، وشدة التيار باستخدام الرموز: حرف 𝑀 كبير، وحرف 𝐿 كبير، وحرف 𝑇 كبير، وحرف 𝐼 كبير، مع استخدام الصورة الأسية كلما أمكن. ومن ثم يمكن تمثيل الكتلة في الطول في الطول على صورة 𝑀𝐿 تربيع. وهذه هي الإجابة النهائية عن السؤال. أبعاد الكمية التي يمكن قياسها بالكيلوجرام متر مربع هي: الكتلة في الطول في الطول، أو 𝑀𝐿 تربيع.
لنختتم الآن حديثنا بمراجعة سريعة لبعض النقاط الأساسية التي تناولناها في هذا الفيديو. أولًا، عرفنا أن جميع الكميات الفيزيائية يمكن التعبير عنها باستخدام مجموعة من الكميات الأساسية التي تعرف بالأبعاد. وهذه الكميات تتضمن الطول، والكتلة، والزمن، وشدة التيار. وتعرفنا أيضًا على رموز الأبعاد واستخدامها، لا سيما حروف 𝐿، و𝑀، و𝑇، و𝐼 الكبيرة لتمثيل أبعاد الطول، والكتلة، والزمن، وشدة التيار على الترتيب.
يمكننا أيضًا وضع قوسين مربعين حول كمية ما لتمثيل أبعاد هذه الكمية. على سبيل المثال، أبعاد القوة هي الكتلة في الطول في الزمن أس سالب اثنين. وأخيرًا، رأينا أنه يمكن حساب أبعاد كميات مختلفة باستخدام صيغ للتعبير عنها بدلالة كمياتها الأساسية أو أبعادها.
