فيديو: المتسلسلة الهندسية المحدودة

يوضح الفيديو ما المتسلسلة الهندسية، وما المتسلسلة الهندسية المحدودة، واستنتاج صيغتين لها، وأمثلةً عليها.

٠٨:٥٤

‏نسخة الفيديو النصية

في الفيديو ده هنتكلم عن المتسلسلات الهندسية، وبالتحديد هنتكلم عن نوع واحد منهم هو المتسلسلة الهندسية المحدودة.

أولًا إيه هي المتسلسلة الهندسية؟ بكل بساطة هي مجموع حدود المتتابعة الهندسية. بمعنى إننا لو عندنا المتتابعة الهندسية: اتنين، أربعة، تمنية، وهكذا. المتسلسلة الهندسية بتاعتها هي مجموع الحدود دي؛ يعني اتنين، زائد أربعة، زائد تمنية، زائد بقية الحدود وهكذا.

بشكل عام لو عندنا متتابعة هندسية بتتكون من عدد ن من الحدود، الحد الأول والحد التاني والتالت، وهكذا لحد الحد ن، المتسلسلة الهندسية بتاعتها هي عبارة عن مجموع الحدود دي؛ يعني الحد الأول، زائد الحد التاني، زائد الحد التالت، وهكذا لحد الحد ن.

المتسلسلة الهندسية ممكن تكون محدودة أو غير محدودة. تبقى محدودة لو إحنا بنجمّع عدد محدود من الحدود، وبتبقى غير محدودة أو لا نهائية لمّا بنجمّع عدد لا نهائي من الحدود.

في الفيديو ده إحنا هنتكلم عند المتسلسلة الهندسية المحدودة.

في الصفحة اللي جاية هنحاول نستنتج صيغة عامة لمعرفة مجموع عدد ن من حدود المتسلسلة الهندسية.

لو فرضنا إننا عندنا متسلسلة هندسية بتتكون من عدد ن من الحدود، وعايزين نجيب مجموع الحدود دي، فإحنا عايزين نجيب ج ن، اللي هي عبارة عن الحد الأولاني اللي هو أ، زائد الحد التاني اللي هو حاصل ضرب الحد الأولاني في الأساس بتاع المتتابعة الهندسية اللي هو ر؛ يعني أ مضروبة في ر، زائد الحد التالت هيبقى حاصل ضرب الحد الأول وأساس المتتابعة الهندسية، يبقى أ مضروبة في ر تربيع، زائد بنفس الطريقة أ مضروبة في ر أُس تلاتة. وهكذا لحد ما نوصل للحد اللي ترتيبه ن، وصيغته هتبقى أ مضروبة في ر أُس ن ناقص واحد. وبنفس الطريقة الحد اللي قبل الحد الأخير ده هي عبارة عن أ مضروبة في ر أُس ن، ناقص اتنين.

كل اللي هنعمله دلوقتي إننا هنضرب المعادلة دي، هنضرب طرفين المعادلة في ر. فيبقى المعادلة الجديدة هي ر مضروبة في ج ن، تساوي … أ مضروبة في ر تبقى أ ر، زائد … أ ر مضروبة في ر تبقى أ ر تربيع، زائد … أ ر تربيع مضروبة في ر تبقى أ ر أُس تلاتة. وهكذا بقية الحدود، يبقى زائد أ ر أُس ن ناقص اتنين. هنا أ ر أُس ن ناقص اتنين، لمّا تتضرب في ر تبقى أ ر أُس ن ناقص واحد. وأخيرًا أ ر أُس ن ناقص واحد لمّا تتضرب في ر هتبقى أ ر أُس ن. إذن دي المعادلة التانية اللي معانا. اللي هنعمله دلوقتي إننا هنطرح المعادلتين دول من بعض، فناتج عملية الطرح ده هيبقى ج ن ناقص ر ج ن بيساوي …

أولًا أ: هنا عندنا أ ر ناقص أر فيبقى صفر. أ ر تربيع ناقص أ ر تربيع يبقى صفر. أ ر أُس تلاتة ناقص أ ر أُس تلاتة يبقى صفر. وهكذا كل الحدود اللي في المعادلة الأولى هنلاقي ليها نظير في المعادلة التانية، فحاصل طرحهم هيبقى صفر. هنا أ ر أُس ن ناقص اتنين، ناقص أ ر أُس ن ناقص اتنين، يبقى صفر. أ ر أُس ن ناقص واحد، ناقص أ ر أُس ناقص واحد، يبقى صفر. ويتفضّل في الآخر أ ر أُس ن. يبقى هنا ناقص أ ر أُس ن.

من الطرف الأيمن ممكن ناخد ج ن عامل مشترك، فيبقى ج ن مضروبة في واحد ناقص ر، يساوي … من الطرف الأيسر ممكن ناخد أ عامل مشترك، فيبقى أ مضروبة واحد ناقص ر أُس ن … ممكن نقسم الطرفين على واحد ناقص ر، فيبقى ج ن تساوي أ مضروبة في، واحد ناقص ر أُس ن على واحد ناقص ر. يبقى إحنا كده قدرنا نجيب صيغة عامة بتعبر عن مجموع عدد ن من حدود المتسلسلة الهندسية.

في الصفحة اللي جاية هناخد مثال على الصيغة اللي إحنا لسه مستنتجينها.

المثال بيقول: أوجد مجموع أول ستة حدود من المتسلسلة الهندسية: تمنية، زائد أربعتاشر، زائد أربعة وعشرين ونص، وهكذا.

أول خطوة في الحل إننا نجيب الأساس اللي هو عبارة عن النسبة ما بين الحد التاني والحد الأول. فيبقى أربعتاشر مقسوم على تمنية، يساوي واحد فاصلة سبعة خمسة.

طيب يبقى إحنا كده معانا ر. بالنسبة لـ أ، أ هو الحد الأول في المتسلسلة الهندسية بيساوي تمنية، وإحنا عايزين نجيب مجموع ست حدود؛ يعني ن تساوي ستة. دلوقتي ممكن نستخدم الصيغة اللي إحنا لسه مستنتجينها، اللي هي كانت بتقول ج ن، تساوي أ مضروبة في واحد ناقص ر أُس ن، على واحد ناقص ر. يبقى ج ستة تساوي أ اللي هي تمنية مضروبة في، واحد ناقص واحد فاصلة سبعة خمسة، أُس ن اللي هي ستة، على واحد ناقص واحد فاصلة سبعة خمسة.

لو حسبنا المقدار ده يطلع يساوي ميتين خمسة وتسعين فاصلة سبعة واحد. ويبقى ده مجموع أول ست حدود من المتسلسلة الهندسية المُعطاة

طيب زي ما هنشوف في الصفحة اللي جاية، مش دايمًا عدد الحدود اللي عايزين نجمّعها من المتسلسلة الهندسية بيبقى مُعطى، لكن في بعض الأحيان بيبقى معانا الحد الأول والحد تاني مثلًا، والحد الأخير اللي عايزين نجمعه. فعايزين نشوف إزاي هنغيّر في الصيغة اللي إحنا استنتجناها علشان نحل المسألة دي. فالصيغة اللي إحنا استنتجناها مرة تانية كانت بتقول: ج ن تساوي أ مضروبة في، واحد ناقص ر أُس ن، على واحد ناقص ر؛ يساوي … لو ضربنا أ في المقام، فهيبقى أ ناقص أ ر أُس ن الكل مقسوم على واحد ناقص ر. يساوي أ ناقص … أ ر أُس ن هنفكها، هنخليها أ ر أُس ن ناقص واحد، مضروبة في ر، وكل ده مقسوم على واحد ناقص ر. طيب هنا هنلاقي أ ر أُس ن ناقص واحد، ودي كانت صيغة الحد النوني للمتتابعة الهندسية؛ يعني معنى كده إن ده الحد اللي ترتيبه ن، إذن ج ن تساوي أ ناقص ر، مضروبة في الحد اللي ترتيبه ن، الكل مقسوم على واحد ناقص ر. ودي كده هتبقى تاني صيغة استنتجناها لمجموع عدد ن من الحدود من المتسلسلة الهندسية.

طيب في الصفحة اللي جاية هناخد مثال على الصيغة التانية اللي استنتجناها دي.

المثال بيقول: أوجد مجموع أول عدد ن من الحدود من المتسلسلة الهندسية؛ حيث أول حد في المتسلسلة دي أ يساوي تلاتة، والحد الأخير اللي عايزين نجمعه يساوي سبعمية تمنية وستين، وأساس المتتابعة الهندسية بيساوي سالب اتنين.

دلوقتي ممكن نعوّض مباشرةً في الصيغة اللي استنتجناها، اللي كانت بتقول … نكتبها مرة تانية: ج ن تساوي أ ناقص ر، مضروبة في الحد الأخير اللي عايزين نجمعه، الكل مقسوم على واحد ناقص ر.

نعوّض في الصيغة دي، فيبقى ج ن تساوي أ اللي هي تلاتة، ناقص ر اللي هي سالب اتنين، مضروبة في الحد الأخير اللي عايزين نجمعه اللي هو سبعمية تمنية وستين، الكل مقسوم على واحد ناقص ر اللي هي سالب اتنين. لو حسبنا المقدار ده يطلع يساوي خمسمية وتلتاشر.

طيب كده في الفيديو ده إحنا اتكلّمنا عن المتسلسلة الهندسية، واتكلمنا بالتحديد على المتسلسلة الهندسية المحدودة، واستنتجنا صيغتين لحساب مجموع عدد ن من حدود المتسلسلة الهندسية، وخدنا أمثلة عليهم.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.