فيديو: إيجاد النهايات من الجداول والتمثيلات البيانية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد نهاية دالة باستخدام الجداول والتمثيلات البيانية.

١٣:٥٤

‏نسخة الفيديو النصية

إيجاد النهايات من الجداول والتمثيلات البيانية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد نهاية دالة باستخدام الجداول والتمثيلات البيانية. سنتناول أمثلة متنوعة حول كيفية استخدام الجداول والتمثيلات البيانية لنوجد نهايات الدوال المختلفة. يمكن أن يكون استخدام الجداول والتمثيلات البيانية طريقة مرئية جيدة لإيجاد النهاية. لكن قبل أن ننتقل إلى استخدام الجداول والتمثيلات البيانية، دعونا نتذكر تعريف النهاية.

هذه نهاية. يمكننا القول إنها النهاية عندما يقترب ‪𝑥‬‏ من ‪𝑎‬‏ للدالة ‪𝑓‬‏ في المتغير ‪𝑥‬‏. وعندما نفكر في هذه النهاية، فإننا في الواقع نفكر في القيمة التي تقترب منها ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ عندما يقترب ‪𝑥‬‏ أكثر فأكثر من ‪𝑎‬‏. دعونا نبدأ بمناقشة كيف نستخدم جدولًا لإيجاد نهاية مثل هذه. سنتناول ذلك في المثال الآتي.

قدر قيمة النهاية عندما يقترب ‪𝑥‬‏ من سالب اثنين لـ ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ من الجدول المعطى.

كما نلاحظ من الجدول، فإن قيم ‪𝑥‬‏ تقترب أكثر فأكثر من سالب اثنين من أعلى ومن أسفل. ومعلوم لدينا قيم ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ المناظرة لها. لنبدأ بالنظر إلى قيم ‪𝑥‬‏ الأقل من سالب اثنين. لدينا ‪𝑓‬‏ لسالب ‪2.1‬‏ تساوي ‪36.9‬‏. و‪𝑓‬‏ لسالب ‪2.01‬‏ تساوي ‪36.09‬‏. و‪𝑓‬‏ لسالب ‪2.001‬‏ تساوي ‪36.009‬‏. تقترب هنا قيم ‪𝑥‬‏ أكثر فأكثر من سالب اثنين. علينا أن نفكر فيما يحدث لقيم ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏. يمكننا بوضوح ملاحظة أن ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تقترب أكثر فأكثر من ‪36‬‏. لننظر الآن إلى قيم ‪𝑥‬‏ الأكبر من سالب اثنين. لدينا ‪𝑓‬‏ لسالب ‪1.9‬‏ تساوي ‪35.1‬‏. و‪𝑓‬‏ لسالب ‪1.99‬‏ تساوي ‪35.91‬‏. و‪𝑓‬‏ لسالب ‪1.999‬‏ تساوي ‪35.991‬‏. ومرة أخرى، نلاحظ أن قيم ‪𝑥‬‏ تقترب أكثر فأكثر من سالب اثنين.

بما أن هذا هو ما يحدث لقيم ‪𝑥‬‏، فعلينا أن نعرف ما يحدث لقيم ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏. قيم ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تتغير من ‪35.1‬‏ إلى ‪35.91‬‏ ثم إلى ‪35.991‬‏. وبذلك، يمكن أن نؤكد أن قيم ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تقترب من ‪36‬‏. وكما نرى، فعندما يقترب ‪𝑥‬‏ من سالب اثنين من الاتجاهين، فإن قيمة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تقترب من القيمة نفسها في الحالتين. فكلتاهما ‪36‬‏. لذا، يمكننا القول إنه عندما يقترب ‪𝑥‬‏ من سالب اثنين، تقترب قيمة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ من ‪36‬‏. وإذا حولنا هذا إلى رمز رياضي، فسنصل إلى التقدير المطلوب. نقول إن النهاية عندما يقترب ‪𝑥‬‏ من سالب اثنين لـ ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي ‪36‬‏.

لنتناول الآن مثالًا آخر يتطلب إيجاد النهاية من جدول، لكن مع اختلاف بسيط.

أوجد قيمة النهاية عندما يقترب ‪𝑥‬‏ من خمسة لـ ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ثلاثة ‪𝑥‬‏ على الجذر التربيعي لـ ‪𝑥‬‏ ناقص واحد، وذلك عن طريق حساب قيمة الدالة عند ‪𝑥‬‏ تساوي ‪4.9‬‏ و‪4.95‬‏ و‪4.99‬‏ و‪4.995‬‏ و‪4.999‬‏ و‪5.001‬‏ و‪5.005‬‏ و‪5.01‬‏ و‪5.05‬‏ و‪5.1‬‏ مقربًا الإجابة لأقرب ثلاث منازل عشرية.

الخطوة الأولى للإجابة عن هذا السؤال هي أن نحسب قيمة الدالة عند قيم ‪𝑥‬‏ المعطاة. الدالة المطلوب حسابها هي الدالة التي تقع داخل النهاية. ويمكن أن نطلق على هذه الدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏. وبذلك، ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ثلاثة ‪𝑥‬‏ على الجذر التربيعي لـ ‪𝑥‬‏ ناقص واحد. لنرسم الآن جدول قيم لقيم ‪𝑥‬‏ المعطاة في السؤال بالإضافة إلى قيم ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ المناظرة لها. ويمكن أن نوجد قيم ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ المناظرة هذه عن طريق التعويض ببساطة بقيم ‪𝑥‬‏ في ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏.

بالتعويض عن ‪𝑥‬‏ يساوي ‪4.9‬‏ في ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ثلاثة ‪𝑥‬‏ على الجذر التربيعي لـ ‪𝑥‬‏ ناقص واحد، نحصل على ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي ‪19.602‬‏. وبالتعويض بـ ‪4.95‬‏، نحصل على ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي ‪19.800‬‏. علينا ألا ننسى أن نقرب قيم ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ لأقرب ثلاث منازل عشرية لأن هذا ما يطلبه السؤال. وبالاستمرار في التعويض، نجد أن ‪𝑓‬‏ لـ ‪4.99‬‏ تساوي ‪19.960‬‏. و‪𝑓‬‏ لـ ‪4.995‬‏ تساوي ‪19.980‬‏. و‪𝑓‬‏ لـ ‪4.999‬‏ تساوي ‪19.996‬‏. وبتكرار ذلك مع القيم الخمس المتبقية، نحصل على ‪𝑓‬‏ لـ ‪5.001‬‏ تساوي ‪20.004‬‏. و‪𝑓‬‏ لـ ‪5.005‬‏ تساوي ‪20.020‬‏. و‪𝑓‬‏ لـ ‪5.01‬‏ تساوي ‪20.040‬‏. و‪𝑓‬‏ لـ ‪5.05‬‏ تساوي ‪20.200‬‏. و‪𝑓‬‏ لـ ‪5.1‬‏ تساوي ‪20.402‬‏.

والآن نوجد قيمة نهاية ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ عندما يقترب ‪𝑥‬‏ من خمسة. تقع القيمة خمسة بين القيمتين ‪4.999‬‏ و‪5.001‬‏. لننظر الآن إلى سلوك قيم ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ عندما يقترب ‪𝑥‬‏ أكثر فأكثر من خمسة. عندما يقترب ‪𝑥‬‏ من خمسة من أسفل، نلاحظ أن قيم ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تقترب أكثر فأكثر من ‪20‬‏. وبالنظر إلى قيم ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ عندما يقترب ‪𝑥‬‏ من خمسة من أعلى، نلاحظ أن قيم ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تقترب من ‪20‬‏ أيضًا.

نعلم أنها تقترب من ‪20‬‏ لأنه مع كل خطوة يقترب فيها ‪𝑥‬‏ من خمسة، تقترب قيم ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ أكثر فأكثر من ‪20‬‏. لكننا لا نصل إلى ‪20‬‏ بالضبط أبدًا في أي من الجانبين. ومن هنا يمكننا القول إنه عندما يقترب ‪𝑥‬‏ من خمسة، فإن ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تقترب من ‪20‬‏. وإذا حولنا هذا إلى رمز رياضي، نصل إلى الحل. وهو أن النهاية عندما يقترب ‪𝑥‬‏ من خمسة لـ ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ثلاثة ‪𝑥‬‏ على الجذر التربيعي لـ ‪𝑥‬‏ ناقص واحد تساوي ‪20‬‏.

دعونا الآن نتناول كيف نوجد نهاية دالة باستخدام تمثيل بياني. انظر إلى الأمثلة الآتية.

إذا كان التمثيل البياني الآتي يعبر عن الدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي ‪𝑥‬‏ ناقص ثلاثة، فأوجد النهاية عندما يقترب ‪𝑥‬‏ من سالب واحد للدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏. لكي نوجد نهاية ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ عندما يقترب ‪𝑥‬‏ من سالب واحد، علينا ببساطة النظر إلى التمثيل البياني. لكن علينا أولًا أن نعرف ما الذي نبحث عنه. يمكننا القول إن النهاية عندما يقترب ‪𝑥‬‏ من سالب واحد لـ ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ هي القيمة التي تقترب منها ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ عندما يقترب ‪𝑥‬‏ من سالب واحد. علينا النظر إلى التمثيل البياني للدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ بالقرب من ‪𝑥‬‏ يساوي سالب واحد. نلاحظ أنه على يمين الدالة مباشرة عندما يقترب ‪𝑥‬‏ من سالب واحد، تقترب ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ من سالب أربعة.

والآن يمكننا النظر إلى ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ على يسار سالب واحد مباشرة. نلاحظ أن الدالة تسلك السلوك نفسه ولكن في الاتجاه المعاكس. فهي تقترب من سالب أربعة. إذن بالتعبير اللفظي عن ذلك، يمكننا القول إن النهاية عندما يقترب ‪𝑥‬‏ من سالب واحد لـ ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي سالب أربعة.

حسنًا، رأينا مثالًا مباشرًا نوعًا ما تناولنا فيه كيف نستخدم تمثيلًا بيانيًا لإيجاد نهاية. دعونا الآن نتناول مثالًا أصعب قليلًا.

أوجد النهاية عندما ‪𝑥‬‏ يقترب من اثنين للدالة الموضحة في التمثيل البياني.

إذا نظرنا إلى التمثيل البياني، نجد أن الدالة هي ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏. ومطلوب منا إيجاد نهاية ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ عندما يقترب ‪𝑥‬‏ من اثنين. بعبارة أخرى، هذه هي النهاية عندما يقترب ‪𝑥‬‏ من اثنين للدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏. ويمكن أن نعبر عنها أيضًا باعتبارها القيمة التي تقترب منها قيمة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ عندما يقترب ‪𝑥‬‏ من اثنين. إذن، علينا إيجاد قيمة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ باستخدام التمثيل البياني. يمكن أن نفكر في سلوك الدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ بالقرب من ‪𝑥‬‏ يساوي اثنين. علينا أن ننظر فيما يحدث في ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ على يمين الاثنين وعلى يساره. دعونا نر ما يحدث للدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ على يمين ‪𝑥‬‏ يساوي اثنين. نلاحظ أنه عندما يقترب ‪𝑥‬‏ أكثر فأكثر من اثنين، تتناقص قيمة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏. إذ تتناقص باتجاه هذه النقطة هنا، وقيمتها ثلاثة. وبذلك يمكننا القول إنه عندما يقترب ‪𝑥‬‏ من اثنين من اليمين، تقترب قيمة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ من ثلاثة.

دعونا الآن نر ما يحدث على يسار ‪𝑥‬‏ يساوي اثنين. نلاحظ مرة أخرى أنه عندما يقترب ‪𝑥‬‏ أكثر فأكثر من اثنين، تتناقص قيمة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏. ويمكن أن نلاحظ من التمثيل البياني أنها تتناقص باتجاه القيمة نفسها التي تقترب منها ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ من اليمين عندما يقترب ‪𝑥‬‏ من اثنين. وهذه القيمة هي ثلاثة. إذن، يمكننا القول إنه عندما يقترب ‪𝑥‬‏ من اثنين من اليسار، تقترب ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ من ثلاثة. وبما أن ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تقترب من القيمة نفسها، على يسار الاثنين ويمينه، يمكننا إذن استنتاج أن القيمة التي تقترب منها ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ عندما يقترب ‪𝑥‬‏ من اثنين هي ثلاثة. وبذلك نصل إلى الحل؛ وهو أن النهاية عندما يقترب ‪𝑥‬‏ من اثنين لـ ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي ثلاثة.

رأينا في المثال السابق كيف نستخدم تمثيلًا بيانيًا لإيجاد قيمة النهاية عند نقطة ما، حتى لو تغير اتجاه التمثيل البياني بحدة عند تلك النقطة. لننتقل الآن إلى مثال آخر.

أوجد النهاية عندما يقترب ‪𝑥‬‏ من اثنين لـ ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏، إن وجدت.

لدينا هنا تمثيل بياني للدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏، ونحاول إيجاد نهاية ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ عندما يقترب ‪𝑥‬‏ من اثنين. إذا حاولنا إيجاد قيمة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ عند ‪𝑥‬‏ يساوي اثنين، فسنجد أن ‪𝑓‬‏ غير معرفة. لكن هذا لا يعني أنه لا يمكننا إيجاد النهاية. نعلم أن النهاية عندما يقترب ‪𝑥‬‏ من اثنين لـ ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ هي القيمة التي تقترب منها ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ عندما يقترب ‪𝑥‬‏ من اثنين. ولكي نوجد هذه النهاية، فكل ما علينا فعله هو أن ننظر إلى ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ بالقرب من اثنين وليس عند اثنين بالضبط. لننظر إلى قيم ‪𝑥‬‏ على يمين ‪𝑥‬‏ يساوي اثنين ويساره مباشرة.

لننظر أولًا إلى ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ على يسار ‪𝑥‬‏ يساوي اثنين مباشرة. نلاحظ أنه عندما يقترب ‪𝑥‬‏ أكثر فأكثر من اثنين من أسفل، تقترب قيمة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ أكثر فأكثر من ثلاثة. وإذا نظرنا إلى قيم ‪𝑥‬‏ على يمين ‪𝑥‬‏ يساوي اثنين مباشرة، نلاحظ أنه عندما يقترب ‪𝑥‬‏ أكثر فأكثر من اثنين من اليمين، تتناقص قيمة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ وتقترب أكثر فأكثر من ثلاثة. بما أن ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تقترب من القيمة نفسها عندما يقترب ‪𝑥‬‏ من اثنين من اليمين واليسار، وهذه القيمة هي ثلاثة، يمكننا استنتاج أن النهاية عندما يقترب ‪𝑥‬‏ من اثنين لـ ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي ثلاثة. رأينا في المثال السابق كيف أنه قد يظل بإمكاننا إيجاد نهاية ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ عندما يقترب ‪𝑥‬‏ من قيمة محددة لـ ‪𝑥‬‏، حتى لو كانت قيمة ‪𝑓‬‏ غير معرفة عند قيمة ‪𝑥‬‏ المحددة هذه.

لنتناول الآن مثالًا أخيرًا.

باستخدام التمثيل البياني التالي، أوجد النهاية عندما يقترب ‪𝑥‬‏ من ثلاثة لـ ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏.

لدينا هنا تمثيل بياني للدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏. ومطلوب منا إيجاد النهاية عندما يقترب ‪𝑥‬‏ من ثلاثة. نلاحظ أنه عند ‪𝑥‬‏ يساوي ثلاثة، تكون ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ مساوية لسالب خمسة. ولكن، عند إيجاد نهاية دالة عند نقطة محددة، فإن قيمة الدالة عند هذه النقطة غير مهمة. المهم هو ما يحدث للدالة بالقرب من هذه النقطة. هذا لأن النهاية عندما يقترب ‪𝑥‬‏ من ثلاثة لـ ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي القيمة التي تقترب منها ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ عندما يقترب ‪𝑥‬‏ من ثلاثة. لنر ما يحدث للدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ على يسار ‪𝑥‬‏ يساوي ثلاثة وعلى يمينه.

إذا نظرنا إلى ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ على يسار ‪𝑥‬‏ يساوي ثلاثة، نجد أن قيمة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تزداد وتقترب أكثر فأكثر من القيمة اثنين عندما يقترب ‪𝑥‬‏ أكثر فأكثر من ثلاثة. وعندما يقترب ‪𝑥‬‏ من ثلاثة من اليمين، تزداد قيمة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ مرة أخرى. وتقترب أيضًا أكثر فأكثر من القيمة اثنين. هذا يوضح ما نحتاج إلى معرفته حول ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ عندما يقترب ‪𝑥‬‏ من ثلاثة؛ فمن الجانبين الأيمن والأيسر، قيمة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تقترب من اثنين عندما يقترب ‪𝑥‬‏ من ثلاثة. وبذلك، على الرغم من أن قيمة ‪𝑓‬‏ لثلاثة تساوي سالب خمسة، فإن النهاية عندما يقترب ‪𝑥‬‏ من ثلاثة لـ ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي سالب اثنين، وهو حل هذا السؤال. رأينا في المثال السابق كيف أنه على الرغم من أن الدالة قد تكون مساوية لنقطة مختلفة عند قيمة محددة لـ ‪𝑥‬‏، فإن النهاية عندما يقترب ‪𝑥‬‏ من قيمة ‪𝑥‬‏ المحددة هذه لـ ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ قد تختلف عن قيمة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ عند تلك النقطة.

ها قد تناولنا مجموعة متنوعة من الأمثلة. دعونا نراجع بعض النقاط الرئيسية في هذا الفيديو.

النقاط الرئيسية

النهاية عندما يقترب ‪𝑥‬‏ من ‪𝑎‬‏ لـ ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ هي القيمة التي تقترب منها ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ عندما يقترب ‪𝑥‬‏ من ‪𝑎‬‏. عند إيجاد النهاية باستخدام جدول، علينا أن ننظر إلى قيم ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ عندما تقترب ‪𝑥‬‏ أكثر فأكثر من ‪𝑎‬‏ من الأعلى ومن الأسفل. القيمة التي تقترب منها ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي النهاية عندما يقترب ‪𝑥‬‏ من ‪𝑎‬‏ لـ ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏. عند إيجاد النهاية عندما يقترب ‪𝑥‬‏ من ‪𝑎‬‏ لـ ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ من تمثيل بياني، علينا أن ننظر إلى قيم ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ بالقرب من ‪𝑎‬‏ لإيجاد القيمة التي تقترب منها ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ عندما يقترب ‪𝑥‬‏ من ‪𝑎‬‏. هذه القيمة تساوي النهاية عندما يقترب ‪𝑥‬‏ من ‪𝑎‬‏ لـ ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏.

هناك نقطة أخيرة هنا، وهي أن استخدام الجداول والتمثيلات البيانية، وخصوصًا التمثيلات البيانية، يعد طريقة جيدة لتصور إيجاد النهاية تصورًا مرئيًا. ويمكن أن يساعدنا حقًا في فهم معنى نهاية الدالة. إذا طلب منا السؤال إيجاد نهاية دالة ولم يعطنا تمثيلًا بيانيًا للدالة، فقد يكون من المفيد أن ترسم تمثيلًا بيانيًا. وبعد ذلك، سيكون من السهل أن تحدد نهاية الدالة عند تلك النقطة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.