فيديو قصير: المصفوفات غير المربعة كتحويلات بين الأبعاد

نسخة الفيديو النصية

مرحبًا بالجميع! أقدم لكم اليوم ملاحظة هامشية سريعة أخرى ضمن سلسلة مقاطع الفيديو هذه. إنني عندما تحدثت عن التحويلات الخطية، فقد تكلمت فقط عن التحويلات من متجهات ثنائية الأبعاد إلى متجهات أخرى ثنائية الأبعاد، ممثلة بمصفوفات رتبتها اثنان في اثنين، أو من متجهات ثلاثية الأبعاد إلى متجهات أخرى ثلاثية الأبعاد ممثلة بمصفوفات رتبتها ثلاثة في ثلاثة. إلا أن العديد من المعلقين سألوا عن المصفوفات غير المربعة. لذا، ارتأيت أن آخذ بعض الوقت لأوضح فقط ما يعنيه ذلك هندسيًّا. لديكم بالفعل الآن في هذه السلسلة معظم المعلومات التي تحتاجونها للبدء في التفكير في مسألة كهذه بأنفسكم. ولكنني سأبدأ في تناول الأمر بالتفصيل، فقط لأعطيكم دفعة ذهنية صغيرة في هذا الشأن.

من المنطقي تمامًا أن نتحدث عن التحويلات بين الأبعاد، كالتحويل من متجهات ثنائية الأبعاد إلى متجهات ثلاثية الأبعاد. مرة أخرى، ما يجعل أحد هذه التحويلات خطيًّا هو أن تظل خطوط أي شبكة متوازية وعلى مسافات متساوية وأن تنطبق نقطة الأصل على نقطة الأصل. ما صورته هنا هو فضاء المدخلات على اليسار، وهو فضاء ثنائي الأبعاد، ويظهر على اليمين مخرجات هذا التحويل. السبب في أنني لا أوضح انتقال المدخلات إلى المخرجات، كما أفعل عادة، ليس تكاسلًا عن رسمها. فمن الجدير التأكيد على أن مدخلات المتجه الثنائي الأبعاد هي أشياء مختلفة تمامًا عن مخرجات المتجه الثلاثي الأبعاد، الموجودة في فضاء غير متصل ومنفصل تمامًا.

إن وضع أحد هذه التحويلات في شكل مصفوفة يماثل تمامًا ما فعلناه مسبقًا. إذ تنظر إلى موضع استقرار كل متجه أساس وتكتب إحداثيات مواضع استقرارها على هيئة أعمدة للمصفوفة. على سبيل المثال، ما تنظر إليه هنا هو مخرجات تحويل يأخذ كل ما هو في اتجاه متجه الوحدة ‪i‬‏ إلى الإحداثيات اثنين، سالب واحد، سالب اثنين، وكل ما هو في اتجاه متجه الوحدة ‪j‬‏ إلى الإحداثيات صفر، واحد، واحد. لاحظ أن هذا يعني أن المصفوفة التي ترمز إلى التحويل بها ثلاثة صفوف وعمودان، وهو ما يجعلها، إذا أردنا أن نستخدم مصطلحًا قياسيًّا، مصفوفة رتبتها ثلاثة في اثنين.

وحسب لغة الفيديو السابق، كان فضاء الأعمدة لهذه المصفوفة، أي، موضع استقرار جميع المتجهات، عبارة عن مستوى ثنائي الأبعاد يمر بنقطة أصل الفضاء الثلاثي الأبعاد. لكن لا تزال المصفوفة ذات رتبة كاملة، نظرًا لأن عدد الأبعاد في فضاء الأعمدة هذا يماثل عدد أبعاد فضاء المدخلات. لذا، إذا كنت ترى مصفوفة رتبتها ثلاثة في اثنين، فيمكنك معرفة أنها تحمل تفسيرًا هندسيًّا للتحويل من بعدين إلى ثلاثة أبعاد، لأن العمودين يشيران إلى أن فضاء المدخلات له متجها أساس وتشير الصفوف الثلاثة إلى أن موضع استقرار كل من متجهي الأساس هذين موضح بثلاثة إحداثيات منفصلة.

وبالمثل، إذا كنت ترى مصفوفة رتبتها اثنان في ثلاثة بصفين وثلاثة أعمدة، فماذا يعني ذلك في اعتقادك؟ حسنًا، تشير الأعمدة الثلاثة إلى أنك تبدأ بفضاء له ثلاثة متجهات أساس؛ أي إننا نبدأ بثلاثة أبعاد. ويشير الصفان إلى أن موضع استقرار كل متجه من متجهات الأساس الثلاثة موضح بإحداثيين فقط، وبالتالي، يجب أن يستقر في بعدين. وبالتالي فهو تحويل من فضاء ثلاثي الأبعاد إلى مستوى ثنائي الأبعاد، وهو تحويل لا بد أن يشعرك بقدر كبير من عدم الراحة إن أنت تخيلت مواجهة أمر كهذا. يمكن أيضًا أن يكون لديك تحويل من بعدين إلى بعد واحد. يماثل الفضاء الأحادي البعد في الواقع خط الأعداد، لذا فإن تحويلًا مثل هذا يتم في متجهات ثنائية الأبعاد وينتج لنا أعدادًا.

إن التفكير في خطوط الشبكات التي تظل متوازية وعلى مسافات متساوية هو أمر محير نوعًا ما بسبب كل هذا الضغط الذي يحدث هنا. لذا، في هذه الحالة، يكون الفهم البصري لما تعنيه الخطية هو أنه إذا كان لديك خط من نقاط على مسافات متساوية، فإنها ستظل على مسافات متساوية عندما يعبر عنها على خط الأعداد. يوضع أحد هذه التحويلات على هيئة مصفوفة رتبتها واحد في اثنين، لكل عمود من عموديها مركبة واحدة فقط. ويمثل العمودان موضع استقرار متجهي الأساس. ويتطلب كل عمود من هذين العمودين عددًا واحدًا فقط، وهو العدد الذي يستقر عنده متجه الأساس.

يمثل ذلك نوعًا ذا أهمية مدهشة من التحويلات التي ترتبط ارتباطًا وثيقًا بالضرب القياسي، وسأتحدث عن ذلك في الفيديو القادم. وحتى يحين ذلك، أنصحكم بالتفكير على كل نحو ممكن في هذه الفكرة بأنفسكم، مع التفكير فيما تعنيه مصطلحات مثل ضرب المصفوفة وأنظمة المعادلات الخطية في إطار التحويلات بين الأبعاد المختلفة. استمتعوا بأوقاتكم!