فيديو الدرس: الدوال الخطية الرياضيات • الصف الثالث الإعدادي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نتعرف على الدالة الخطية، وكيف نكتبها، ونوجد قيمتها، ونكمل جدول الدالة.

الدالة الخطية معادلة جبرية تمثل بيانيًّا بخط مستقيم. وكل حد في المعادلة إما أن يكون ثابتًا وإما أن يكون حاصل ضرب ثابت ومتغير مثل ﺱ. لكن هذه المتغيرات لن ترتبط أبدًا بأسس أو قوى. وكل قيمة مدخلة في الدالة، التي يمكننا اعتبارها آلة دالة، سيكون لها قيمة مخرجة واحدة فقط. وهذه كلها أمثلة على الدوال الخطية.

يقرأ الجزء الأول ﺩﺱ. حيث ﺩ اسم الدالة، وﺱ القيمة المدخلة فيها. على سبيل المثال في هذه الدالة، ندخل ﺱ، ثم نضربه في اثنين، ثم نطرح واحدًا. يمكننا التعويض عن ﺱ بعدد، خمسة مثلًا، ونجري مجموعة العمليات نفسها. وستختلف القيمة المخرجة حسب العدد المدخل.

قد نتعرض أحيانًا لدوال خطية غير معطاة على الصورة القياسية. وهذه الصورة هي: ﺩﺱ يساوي ﺃﺱ زائد ﺏ للثابتين الحقيقيين ﺃ وﺏ. بافتراض أن ﺹ يساوي ﺩﺱ، فقد تبدو الدالتان بهذا الشكل: ﺹ زائد ﺱ يساوي خمسة أو ثلاثة ﺱ ناقص ﺹ زائد سبعة يساوي صفرًا. لا تزال هاتان المعادلتان تناظران التمثيل البياني لخط مستقيم؛ لأنهما دالتان خطيتان.

لنبدأ بمعرفة كيفية إيجاد القيم المخرجة لدوال بسيطة للغاية.

أكمل جدول الدالة المعطى.

في هذا الجدول، لدينا قيمة مدخلة. وتعرف بأنها ﺱ. ولدينا أيضًا قائمة بالمدخلات. وهي تسعة وخمسة و١٦. إذن ﺱ تساوي تسعة. ثم تساوي خمسة. ثم تساوي ١٦. مهمتنا هي حساب المخرجات. والآن، القيمة المخرجة معطاة على الصورة: اثنين زائد ﺱ. وهذه تسمى دالة. وتخبرنا بما علينا فعله للقيمة المدخلة. في هذه الحالة، تخبرنا أن علينا جمع ﺱ على العدد اثنين؛ أي القيمة المدخلة.

إذن عند ﺱ يساوي تسعة، نستبدل، أو نعوض، وهو المصطلح الرياضي، عن ﺱ بتسعة. إذن في هذه الحالة، تصبح القيمة المخرجة اثنين زائد تسعة، وهو ما يساوي ١١. وبذلك، تكون القيمة المخرجة الأولى هي ١١. وبالنسبة إلى القيمة المخرجة الثانية، سنعوض عن ﺱ بخمسة. وبذلك تصبح القيمة المخرجة اثنين زائد خمسة، وهو ما يساوي سبعة.

لدينا قيمة مخرجة أخيرة علينا حسابها. وهي عند ﺱ يساوي ١٦. وفي هذه الحالة، يصبح المجموع اثنين زائد ١٦، وهو ما يساوي ١٨. وبذلك، تصبح لدينا القيم المخرجة الثلاث للدالة اثنين زائد ﺱ. وهي ١١، و٧، و١٨. في الواقع، هذا مثال على دالة خطية. هيا نعرف القيمة المخرجة على أنها تساوي ﺹ. إذن ﺹ يساوي اثنين زائد ﺱ. ومن ثم، فإن أزواج القيم تناظر الإحداثيات. عند ﺱ يساوي تسعة، فإن ﺹ سيساوي ١١. ولدينا زوج إحداثيات آخر هو خمسة، سبعة، وزوج ثالث هو١٦، ١٨. رسم هذه الإحداثيات على المستوى الإحداثي سيبدو بهذا الشكل تقريبًا. ستقع جميع النقاط على خط مستقيم. ولهذا نستنتج أن لدينا دالة خطية.

في المثال الآتي، سنتناول طريقة بديلة يمكننا بها تمثيل دالة.

أوجد قيمة ﺩ لثمانية، إذا كانت ﺩﺱ تساوي ثلاثة ناقص سبعة ﺱ.

في هذا السؤال، لدينا دالة تسمى ﺩ. وﺱ هو القيمة المدخلة للدالة. وعلينا إيجاد قيمة ﺩ لثمانية. تذكر أن الجزء الموجود بين القوسين هو القيمة المدخلة. إذن ما نحاول إيجاده حقًّا هو القيمة المخرجة عندما تكون القيمة المدخلة ثمانية. ننظر إلى الدالة ﺩﺱ تساوي ثلاثة ناقص سبعة ﺱ. وفي كل مرة نرى ﺱ، نعوض عنه بثمانية.

إذن ﺩ لثمانية تساوي ثلاثة ناقص سبعة ثم بين قوسين ثمانية. لكن انتبه. من الأخطاء الشائعة كتابة ٨٧ هنا. ولكن تذكر، سبعة ﺱ تعني سبعة مضروبًا في ﺱ. إذن هذا الجزء يعني سبعة في ثمانية.

يوضح لنا الترتيب الذي نجري به العمليات المختلفة أن علينا إجراء الضرب قبل الطرح. إذن نحسب سبعة مضروبًا في ثمانية أولًا، وهو ما يساوي ٥٦. ومن ثم، فإن ﺩ لثمانية تساوي ثلاثة ناقص ٥٦. لا تغير ترتيب المجموع. فنحن لا نحسب ٥٦ ناقص ثلاثة. ثلاثة ناقص ٥٦ يساوي سالب ٥٣. وعليه، إذا كانت الدالة ﺩﺱ تساوي ثلاثة ناقص سبعة ﺱ، فإن قيمة ﺩ لثمانية تساوي سالب ٥٣.

والآن، سنلقي نظرة على جدول المدخلات والمخرجات لنوع مماثل من الدوال.

أكمل جدول القيم المدخلة والقيم المخرجة للدالة ﺹ تساوي خمسة ﺱ زائد ثلاثة.

يوضح هذا الجدول صفًّا من المدخلات. هي صفر، واثنان، وأربعة، وخمسة. مهمتنا هي حساب المخرجات بمعلومية دالة محددة. والدالة التي لدينا هي ﺹ يساوي خمسة ﺱ زائد ثلاثة. القيمة المدخلة هي ﺱ، والقيمة المخرجة هي ﺹ. وأحيانًا يشار إلى القيمة المخرجة بـ ﺩﺱ. ويعنيان الشيء نفسه.

تخبرنا هذه الدالة أن القيمة المخرجة تحتسب باستخدام التعبير خمسة ﺱ زائد ثلاثة. وهذه دالة. وهي تخبرنا بما علينا فعله للقيمة المدخلة. في هذه الحالة، نضرب ﺱ؛ أي القيمة المدخلة، في خمسة، ثم نجمع ثلاثة. هيا نفعل ذلك مع كل قيمة مدخلة من المدخلات.

وهذه القيم هي ﺱ يساوي صفرًا، وﺱ يساوي اثنين، وﺱ يساوي أربعة، وﺱ يساوي خمسة. الدالة هي ﺹ يساوي خمسة ﺱ زائد ثلاثة. إذن سنبدأ بالتعويض بـ ﺱ يساوي صفرًا. إذن تصبح الدالة ﺹ يساوي خمسة في صفر زائد ثلاثة. وهذا يساوي ثلاثة. وعليه فإن القيمة المخرجة الأولى في الجدول هي ثلاثة.

لنكرر هذه العملية مع القيمة المدخلة الثانية. هذه المرة سنعوض عن ﺱ باثنين. ستصبح الدالة لدينا ﺹ يساوي خمسة في اثنين زائد ثلاثة، وهو ما يساوي ١٣. وبذلك تكون القيمة المخرجة الثانية هي ١٣.

القيمة المدخلة الثالثة هي ﺱ يساوي أربعة. وبذلك نحصل على ﺹ يساوي خمسة في أربعة زائد ثلاثة، وهو ما يساوي ٢٣. سنكرر هذه العملية مرة أخيرة. ولكن هذه المرة تكون القيمة المدخلة خمسة. وبهذه الطريقة، يمكن إيجاد القيمة المخرجة بحساب خمسة في خمسة زائد ثلاثة، وهو ما يساوي ٢٨. إذن القيم المخرجة هي ثلاثة، و١٣، و٢٣، و٢٨.

لنعد الآن إلى الجدول المعطى في هذا المثال. في المدخلات الثلاثة الأولى، تزيد القيمة المدخلة بمقدار اثنين في كل مرة. وفي المخرجات الثلاثة الأولى، تزيد القيمة المخرجة بمقدار ١٠ في كل مرة. ويوضح لنا هذا الفرق المشترك الثابت أننا نتعامل مع دالة خطية على الأرجح. تذكر أن الدالة الخطية تمثل بيانيًّا بخط مستقيم؛ ومن ثم فإن هذا منطقي للغاية.

والآن، سنلقي نظرة على كيفية إيجاد مجهول بمعلومية دالة خطية وقيمة مخرجة.

أوجد قيمة ﻙ، إذا كانت ﺩﺱ تساوي ﻙﺱ زائد ١٣، وﺩ لثمانية تساوي سالب ١١.

ها هي الدالة. ‏ﺩ هو اسم الدالة. وﺱ هو القيمة المدخلة. ولدينا معلومات حول قيمة ﺩ لثمانية. بعبارة أخرى، القيمة المدخلة لم تعد ﺱ. بل أصبحت ثمانية. وعندما تكون القيمة المدخلة ثمانية، فإن القيمة المخرجة تساوي سالب ١١. إذن هيا نر ما يحدث عندما نعوض بثمانية في تعريف الدالة هنا.

‏ﺩ لثمانية تعني أنه في كل مرة نرى ﺱ، سنعوض عنها بثمانية. إذن ﺩ لثمانية تصبح ﻙ في ثمانية زائد ١٣. لنكتب ذلك على الصورة: ثمانية ﻙ زائد ١٣. لكننا نعلم أن ﺩ لثمانية تساوي سالب ١١. إذن هذا يعني أن ثمانية ﻙ زائد ١٣ لا بد أن يساوي سالب ١١. ومن ثم، فإن مهمتنا هي حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﻙ.

وسنفعل ذلك من خلال إجراء سلسلة من العمليات العكسية. أول شيء سنفعله هو طرح ١٣ من كلا طرفي المعادلة. ثمانية ﻙ زائد ١٣ ناقص ١٣ يساوي ثمانية ﻙ فقط. وسالب ١١ ناقص ١٣ يعني أننا نتحرك ١٣ خطوة لأسفل على خط الأعداد. سنصل إلى سالب ٢٤. إذن، ثمانية ﻙ يساوي سالب ٢٤.

العدد ثمانية مضروب في ﻙ. إذن العملية العكسية التي نجريها بعد ذلك هي قسمة طرفي المعادلة على ثمانية. وبذلك يتبقى ﻙ في الطرف الأيمن. وبما أن ٢٤ مقسومًا على ثمانية يساوي ثلاثة، فإن سالب ٢٤ مقسومًا على ثمانية يساوي سالب ثلاثة. إذن إذا كانت ﺩﺱ تساوي ﻙﺱ زائد ١٣، وﺩ لثمانية تساوي سالب ١١، فإن ﻙ يساوي سالب ثلاثة.

والآن يمكننا التحقق من صحة إجابتنا بافتراض أن ﺩﺱ هنا تساوي سالب ثلاثة ﺱ زائد ١٣. حيث عوضنا عن ﻙ بسالب ثلاثة. سنتحقق من أن قيمة ﺩ لثمانية تساوي بالفعل سالب ١١. إذن نعوض عن ﺱ بثمانية. يصبح لدينا سالب ثلاثة في ثمانية زائد ١٣. ويعطينا هذا سالب ٢٤ زائد ١٣، وهو ما يساوي سالب ١١ بالفعل حسب المعطيات.

والآن سنلقي نظرة على كيفية إيجاد قيمة دالة بمعلومية بعض مدخلات ومخرجات هذه الدالة.

أوجد قاعدة جدول الدالة المعطى.

في هذا السؤال، لدينا معلومات عن بعض المدخلات. الصورة العامة لهذه القيمة المدخلة هي ﺱ. والمدخلات الثلاثة المعطاة هي ﺱ يساوي واحدًا، وﺱ يساوي أربعة، وﺱ يساوي ١٠. لنتخيل أن لدينا آلة الدالة. عندما نأخذ القيمة المدخلة واحدًا، سنحصل على قيمة مخرجة تساوي تسعة. عندما تكون القيمة المدخلة أربعة، نحصل على القيمة المخرجة ١٢. وعند إدخال ﺱ يساوي ١٠، نحصل على القيمة المخرجة ١٨.

نحاول هنا إيجاد قاعدة عامة. إذن مهمتنا هي إيجاد القيمة المخرجة التي نحصل عليها عند إدخال ﺱ. ما الذي يحدث في كل مرة؟ يمكننا ملاحظة أننا ببساطة نضيف ثمانية كل مرة. واحد زائد ثمانية يساوي تسعة، وأربعة زائد ثمانية يساوي ١٢، و١٠ زائد ثمانية يساوي ١٨. إذن القاعدة هي إضافة ثمانية إلى القيمة المدخلة للحصول على القيمة المخرجة. لكن كيف يمكننا تعريف ذلك جبريًّا؟ حسنًا، إذا كانت القيمة المدخلة العامة هي ﺱ، فإننا سنضيف ثمانية. ونكتب ذلك ببساطة على صورة: ﺱ زائد ثمانية. وهذه هي القيمة المخرجة. إنها ﺱ زائد ثمانية.

في المثال الأخير سنرى كيف يؤثر تغيير القيمة المدخلة لمقدار جبري بديل على الدالة.

أوجد قيمة ﺩ لأربعة ناقص ﺱ، إذا كانت ﺩﺱ تساوي ثلاثة ﺱ زائد سبعة.

توضح لنا هذه الصيغة أنه إذا كان لدينا الدالة ﺩ، وكانت القيمة المدخلة ﺱ، فإن القيمة المخرجة ستكون ثلاثة ﺱ زائد سبعة. يمكننا تغيير القيمة المدخلة؛ أي التعويض عن ﺱ بأي عدد، وسنحصل على قيمة مخرجة مختلفة. على سبيل المثال، لإيجاد ﺩ لاثنين، سنعوض عن ﺱ باثنين. وسيصبح لدينا المقدار ثلاثة في اثنين زائد سبعة، وهو ما يعطينا ١٣.

لكن ليس لدينا عدد واحد. بل مطلوب منا إيجاد قيمة ﺩ لأربعة ناقص ﺱ. ومن ثم، بدلًا من التعويض عن ﺱ بعدد مثل اثنين، سنعوض عن ﺱ بالقيمة المدخلة؛ أي أربعة ناقص ﺱ. إذن ﺩ لأربعة ناقص ﺱ تصبح ثلاثة في أربعة ناقص ﺱ زائد سبعة.

هيا نوزع الأقواس أو نفكها. لفعل ذلك، سنضرب ثلاثة في أربعة وثلاثة في سالب ﺱ. ثلاثة مضروبًا في أربعة يساوي ١٢. وثلاثة مضروبًا في ﺱ يساوي ثلاثة ﺱ. إذن ثلاثة مضروبًا في سالب ﺱ يساوي سالب ثلاثة ﺱ. ومن ثم، ﺩ لأربعة ناقص ﺱ يساوي ١٢ ناقص ثلاثة ﺱ زائد سبعة. بعد ذلك، نجمع الحدود المتشابهة. ‏١٢ زائد سبعة يساوي ١٩. وبذلك، نجد أن ﺩ لأربعة ناقص ﺱ يساوي سالب ثلاثة ﺱ زائد ١٩.

في هذا الفيديو، رأينا أن الدالة الخطية عبارة عن معادلة جبرية تمثل بيانيًّا بخط مستقيم. وعرفنا أنها تتألف من قيمة مدخلة، عادة ما تكون ﺱ، وقيمة مخرجة تسمى عادة ﺹ أو ﺩﺱ. وهذه القيمة المدخلة لن تقترن أبدًا بأسس أو قوى. كما عرفنا أن كل قيمة مدخلة في الدالة، التي سنتعامل معها باعتبارها آلة الدالة، لها قيمة مخرجة واحدة فقط. ونوجد القيم المخرجة للدالة بالتعويض عن ﺱ. ويمكن أن نعوض عن ﺱ بثابت أو بتعبير آخر.