نسخة الفيديو النصية
أوجد معادلة المستوى العمودي على المتجه ﺃ يساوي خمسة ﺱ ناقص سبعة ﺹ ناقص ثلاثة ﻉ والمار بالنقطة ﺏ سالب خمسة، خمسة، تسعة.
حسنًا، نحاول هنا إيجاد معادلة مستوى. لنفترض أن هذا هو ذلك المستوى. نعلم من المعطيات أن هذا المتجه ﺃ عمودي على المستوى لدينا. ما يعني أننا إذا رسمنا المتجه ﺃ، فسيبدو هكذا. كما نعلم أن المستوى يمر بالنقطة التي تسمى ﺏ. ما لدينا إذن هو متجه متعامد أو عمودي على المستوى، ونقطة يمر بها المستوى. وفي الواقع هذا هو كل ما نحتاج إليه لإيجاد معادلة المستوى.
لنتذكر الصورة المتجهة لمعادلة المستوى. تنص هذه الصورة على أن الضرب القياسي لمتجه عمودي على المستوى ومتجه يمتد إلى نقطة عامة فيه يساوي الضرب القياسي لهذا المتجه العمودي والمتجه الممتد لنقطة معروفة في المستوى. في هذه المسألة، المتجه ﺃ هو المتجه العمودي. وإذا أردنا أن نرسم إطار إحداثيات هنا مثلًا، فإن المتجه الممتد من نقطة الأصل لهذا الإطار إلى النقطة ﺏ يمكننا تسميته ﺭ صفر. وهو المتجه الممتد لنقطة معروفة في المستوى. إذن المتجه ﺭ صفر له مركبات تساوي إحداثيات النقطة ﺏ. وبما أن المتجه العمودي ﻥ يطابق المتجه ﺃ، فإن مركباته هي خمسة، سالب سبعة، سالب ثلاثة.
يمكننا الآن استخدام هاتين القيمتين في الصورة المتجهة لدينا لإيجاد معادلة المستوى. يبدو الضرب القياسي للمتجه العمودي في المتجه الممتد إلى نقطة عامة في المستوى بهذا الشكل، والضرب القياسي لهذا المتجه العمودي في المتجه الممتد إلى النقطة ﺏ يكتب بهذا الشكل. عند إجراء عمليتي الضرب القياسي هاتين، نحصل على خمسة ﺱ ناقص سبعة ﺹ ناقص ثلاثة ﻉ يساوي سالب ٢٥ ناقص ٣٥ ناقص ٢٧، وهو ما يساوي سالب ٨٧. إذا أضفنا موجب ٨٧ إلى كلا طرفي هذه المعادلة، فسنجد أن خمسة ﺱ ناقص سبعة ﺹ ناقص ثلاثة ﻉ زائد ٨٧ يساوي صفرًا. وهذه تسمى الصورة العامة لمعادلة المستوى.
