نسخة الفيديو النصية
إذا كان المتجه ﺃ يساوي سالب أربعة، سالب واحد، والمتجه ﺏ يساوي سالب اثنين، سالب واحد، فاكتب المتجه ﺟ الذي يساوي سالب ثمانية، سالب واحد بدلالة كل من المتجهين ﺃ وﺏ.
المطلوب منا هنا كتابة متجه واحد،ﺟ، بدلالة متجهين آخرين،ﺃ،ﺏ. وهذا يعني أننا نريد كتابة ﺟ على صورة ﻡﺃ زائد ﻙﺏ حيث ﻡ، وﻙ كميتان قياسيتان. بعبارة أخرى، أحد مضاعفات ﺃ زائد أحد مضاعفات ﺏ. ويمكننا التعويض عن ﺃ، وﺏ، وﺟ بمركباتها لنحصل على معادلة متجهة. المتجه سالب ثمانية، سالب واحد يساوي ﻡ مضروبًا في المتجه سالب أربعة، سالب واحد زائد ﻙ مضروبًا في المتجه سالب اثنين، سالب واحد. نتذكر بعد ذلك أنه لضرب متجه في كمية قياسية، نضرب كل مركبة من مركباته في هذه الكمية القياسية.
إذن، لضرب المتجه سالب أربعة، سالب واحد في ﻡ، نضرب أولًا ﻡ في سالب أربعة، فنحصل على مركبة أولى هي سالب أربعة ﻡ. ثم نضرب ﻡ في سالب واحد لنحصل على مركبة ثانية هي سالب ﻡ. وبالطريقة نفسها، لكي نضرب المتجه سالب اثنين، سالب واحد في ﻙ، نضرب أولًا ﻙ في سالب اثنين، فنحصل على مركبة أولى هي سالب اثنين ﻙ. ثم نضرب ﻙ في سالب واحد لنحصل على مركبة ثانية هي سالب ﻙ. بعد ذلك، علينا جمع المتجهين الموجودين في الطرف الأيسر معًا. ولفعل هذا، نتذكر أنه يمكننا ببساطة جمع المركبات المتناظرة.
إذن، المركبة الأولى للمتجه في الطرف الأيسر تساوي مجموع المركبتين الأوليين. وهو سالب أربعةﻡ زائد سالب اثنين ﻙ، الذي يمكننا كتابته على الصورة سالب أربعة ﻡ ناقص اثنين ﻙ. والمركبة الثانية تساوي مجموع المركبة الثانية لأحد المتجهين مع المركبة الثانية للمتجه الآخر. وهذا يعطينا سالب ﻡ زائد سالب ﻙ، ما يمكننا كتابته على الصورة سالب ﻡ ناقص ﻙ. إذن، علمنا الآن أن المتجه سالب ثمانية، سالب واحد يساوي المتجه سالب أربعة ﻡ ناقص اثنين ﻙ، سالب ﻡ ناقص ﻙ. في هذه المرحلة، نتذكر أنه إذا كان المتجهان متساويين؛ فهذا يعني أن مركباتهما متساوية.
إذن، المركبة الأولى للمتجه في الطرف الأيمن تساوي المركبة الأولى في الطرف الأيسر. وهذا يعطينا معادلة دون أي متجهات. سالب ثمانية يساوي سالب أربعة ﻡ ناقص اثنين ﻙ. بالطريقة نفسها، نساوي بين المركبتين الثانيتين في المتجهين لنحصل على المعادلة سالب واحد يساوي سالب ﻡ ناقص ﻙ. لدينا الآن زوج من المعادلات الآنية الخطية بدلالة الكميتين القياسيتين ﻡ، ﻙ. إذن، يمكننا حل هاتين المعادلتين الآنيتين لإيجاد قيمتيهما.
ولكن أولًا، يمكننا تبسيط كل معادلة قليلًا. يمكن قسمة المعادلة الأولى على سالب اثنين للحصول على المعادلة المبسطة اثنين ﻡ زائد ﻙ يساوي أربعة. ويمكن قسمة المعادلة الثانية على سالب واحد للحصول على المعادلة المبسطة ﻡ زائد ﻙ يساوي واحدًا. سنجد بعد ذلك أن لدينا نفس عامل ﻙ في كل من المعادلتين. وإذا طرحنا المعادلة الثانية من المعادلة الأولى، فهذا سيلغي حدي ﻙ. في الطرف الأيمن، اثنان ﻡ زائد ﻙ ناقص ﻡ ناقص ﻙ يعطينا ﻡ. وفي الطرف الأيسر، أربعة ناقص واحد يساوي ثلاثة. وبهذا نكون قد أوجدنا قيمة ﻡ. ﻡ يساوي ثلاثة.
يمكننا بعد ذلك التعويض بقيمة ﻡ هذه في المعادلة الأبسط، وهي المعادلة ﻡ زائد ﻙ يساوي واحدًا. إذن، لدينا ثلاثة زائد ﻙ يساوي واحدًا. ويمكن حل هذه المعادلة بطرح ثلاثة من كلا الطرفين فنحصل على ﻙ يساوي سالب اثنين. وبهذا نكون قد أوجدنا قيمتي الكميتين القياسيتين ﻡ، ﻙ. وأخيرًا، يمكننا العودة إلى العبارة التي بدأنا بها، وهي أن المتجهﺟ يساوي كمية قياسية مضروبة في ﺃ زائد كمية قياسية مضروبة في ﺏ ونعوض بقيمتي ﻡ، وﻙ.
وجدنا بعد ذلك أنه يمكن التعبير عن المتجه ﺟ بدلالة المتجهين ﺃ، وﺏ، حيث ﺟ يساوي ثلاثة ﺃ ناقص اثنين ﺏ. يمكننا التحقق من ذلك يدويًّا عن طريق إعادة حساب المتجه ثلاثة ﺃ ناقص اثنين ﺏ. وإذا فعلنا ذلك، فسنحصل على المتجه سالب ثمانية، سالب واحد، ما يساوي المتجه ﺟ بالفعل. إذن، إجابتنا صحيحة.
