فيديو الدرس: حساب النهايات بالتعويض المباشر الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نستخدم طريقة التعويض المباشر لنوجد قيم النهايات. ثمة بعض الشروط الواجب توافرها لنتمكن من استخدام التعويض المباشر. سنتناول هذه الشروط ونستعرض بعض الأمثلة.

لنبدأ بتذكر تعريف النهاية. إذ نقول إنه إذا كانت لدينا الدالة ﺩﺱ معرفة بالقرب من ﺃ، فإن نهاية ﺩﺱ عندما يقترب ﺱ من ﺃ هي ﻝ. ومعنى هذا أنه كلما اقترب ﺱ من ﺃ، اقتربت قيمة ﺩﺱ من ﻝ. ونكتب هذا كما يلي. النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ لـ ﺩﺱ تساوي ﻝ‏.

لكي نوجد نهاية باستخدام التعويض المباشر، ببساطة نعوض عن ﺱ يساوي ﺃ في ﺩﺱ. بذلك يصبح ناتج التعويض المباشر أن النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ لـ ﺩﺱ تساوي ﺩﺃ. وهذا ما سنستخدمه لإيجاد النهايات باستخدام التعويض المباشر.

ولكن ثمة حالات معينة فقط يمكننا فيها استخدام التعويض المباشر لإيجاد النهايات. إذ يجب أن ينطبق على الدوال التي نحسب نهايتها — ﺩﺱ — شرط واحد على الأقل من الشروط الآتية.

الشرط الأول الذي يمكننا من استخدام التعويض المباشر هو أن تكون ﺩﺱ دالة كثيرة الحدود؛ أي، إذا كانت ﺩﺱ مكتوبة على الصورة الموضحة هنا؛ حيث ﺃ صفر إلى ﺃﻥ جميعها ثوابت. وتذكر أن هذا يشمل الدوال الثابتة أيضًا.

الشرط الثاني الذي يتيح لنا استخدام التعويض المباشر هو أن تكون ﺩﺱ دالة كسرية. معنى هذا أن ﺩﺱ تساوي ﻡﺱ على ﻥﺱ؛ حيث كل من ﻡﺱ وﻥﺱ دالة كثيرة الحدود. ويجب ألا يكون ﻥﺃ صفرًا، لأنه إذا كان ﻥﺃ يساوي صفرًا، فإن مقام ﺩﺃ سيساوي صفرًا. وبذلك تكون الدالة ﺩﺃ غير معرفة.

الشرط الثالث هو أن تكون ﺩﺱ دالة مثلثية، أو أسية، أو لوغاريتمية. والشرط الرابع هو أن تكون ﺩﺱ دالة قوة. معنى هذا أن ﺩﺱ تساوي ﺱ أس ﻡ؛ حيث ﻡ عدد حقيقي. لاحظ أن هذا يشمل أيضًا الأسس السالبة والكسرية، مثل: ﺱ أس سالب نصف، وهو ما يساوي أيضًا واحدًا على الجذر التربيعي لـ ﺱ.

والشرط الخامس أن تكون ﺩﺱ مجموعًا، أو فرقًا، أو حاصل ضرب، أو خارج قسمة لبعض الدوال؛ التي يمكن أن نستخدم فيها التعويض المباشر. وهذا يعني أن تلك الدالة يمكن أن تكون دالة مكونة من أي من أنواع الدوال المذكورة في هذه الشروط.

والشرط الأخير هو أن تكون ﺩﺱ دالة مركبة من دوال يمكن أن نستخدم فيها التعويض المباشر. هذا يعني أن تكون ﺩﺱ مساوية لـ ﻕ لـ ﻫﺱ؛ حيث يمكن التعويض بـ ﺃ في الدالة ﻫﺱ، ويمكن التعويض بقيمة ﻫﺃ في الدالة ﻕﺱ. والآن نكون قد تناولنا كل الشروط الخاصة باستخدام التعويض المباشر لإيجاد قيمة النهاية. والآن نحن جاهزون لاستعراض مثال.

أوجد النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب خمسة لسالب تسعة ﺱ تربيع ناقص ستة ﺱ ناقص تسعة.

مطلوب هنا إيجاد نهاية الدالة سالب تسعة ﺱ تربيع ناقص ستة ﺱ ناقص تسعة. ويمكننا أن نكتبها في صورة ﺩﺱ. نلاحظ أن ﺩﺱ هي ببساطة دالة كثيرة الحدود. وبذلك، يمكننا أن نستخدم التعويض المباشر لكي نوجد قيمة هذه النهاية.

طبقًا لطريقة التعويض المباشر، فإن نهاية ﺩﺱ عندما يقترب ﺱ من ﺃ تساوي ﺩﺃ. وبتطبيق هذا على السؤال، يمكننا القول إن نهاية ﺩﺱ عندما يقترب ﺱ من سالب خمسة تساوي ﺩ لسالب خمسة. لكي نوجد الحل، ببساطة نعوض بسالب خمسة في ﺩﺱ. هذا يعطينا سالب تسعة في سالب خمسة تربيع ناقص ستة في سالب خمسة ناقص تسعة. قد يكون من المفيد وضع أقواس حول الأعداد السالبة حتى لا ننسى الإشارة السالبة عند ضرب الأعداد السالبة.

أولًا، دعنا نفك سالب خمسة تربيع. نتذكر أنه عند ضرب عدد سالب في عدد سالب، نحصل على عدد موجب، وبذلك نحصل على سالب خمسة تربيع يساوي ٢٥. لذا نكتب سالب تسعة مضروبًا في ٢٥. بعد ذلك، نضرب سالب ستة في سالب خمسة، لنحصل على موجب ٣٠. ثم أخيرًا علينا ببساطة أن نطرح تسعة. وبضرب سالب تسعة في ٢٥، نحصل على سالب ٢٢٥. ثم نطرح تسعة من ٣٠ لنحصل على موجب ٢١. وبجمع ٢١ وسالب ٢٢٥ نحصل على الحل سالب ٢٠٤.

رأينا في هذا المثال كيف نطبق التعويض المباشر عند إيجاد نهاية دالة كثيرة الحدود. بعد ذلك، سوف نتناول بعض الدوال ونحاول أن نحدد ما إذا كانت تتحقق فيها شروط استخدام التعويض المباشر أم لا.

أي من الدوال الآتية تتحقق فيها شروط التعويض المباشر لإيجاد النهاية، نهاية ﺩﺱ عندما يقترب ﺱ من الصفر؟ (أ) ‏ﺩﺱ تساوي ﺱ تربيع زائد خمسة ﺱ على ﺱ تربيع ناقص اثنين ﺱ. (ب) ﺩﺱ تساوي ﺱ تربيع ناقص خمسة ﺱ زائد ستة على ﺱ ناقص اثنين جا ﺱ. (ج) ‏ﺩﺱ تساوي ﺱ إذا كان ﺱ أكبر من ثلاثة، وﺱ ناقص ثلاثة إذا كان ﺱ أصغر من أو يساوي ثلاثة. (د) ﺩﺱ تساوي ﺱ زائد واحد على ﺱ. (هـ) ﺩﺱ تساوي اثنين ﺱ إذا كان ﺱ أكبر من صفر، واثنين ﺱ ناقص واحد إذا كان ﺱ أصغر من أو يساوي صفرًا.

لكي نحدد أي من هذه الدوال يمكن أن نستخدم فيها التعويض المباشر لإيجاد قيمة النهاية، علينا التحقق من شروط التعويض المباشر في كل دالة من الدوال. في الدالة (أ)، لدينا ﺩﺱ تساوي ﺱ تربيع زائد خمسة ﺱ على ﺱ تربيع ناقص اثنين ﺱ. هذه دالة كسرية. وإذا كتبنا ﺩﺱ في الصورة: ﻡﺱ على ﻥﺱ، فسنحصل على ﻡﺱ تساوي ﺱ تربيع زائد خمسة ﺱ، وﻥﺱ تساوي ﺱ تربيع ناقص اثنين ﺱ.

بما أن الدالتين ﻡﺱ وﻥﺱ كثيرتا حدود، فإن الشرط الوحيد الذي علينا التحقق منه هو أن مقام الكسر لا يساوي صفرًا عند ﺱ يساوي صفرًا. مقام الدالة هو ﻥﺱ. لذا نحسب قيمة ﻥ لصفر. سنعوض بصفر في ﺱ تربيع ناقص اثنين ﺱ، لنحصل على صفر تربيع ناقص اثنين في صفر. وناتج كل من صفر تربيع واثنين في صفر هو صفر. إذن، الدالة ﻥ لصفر تساوي صفرًا. معنى هذا أن مقام الدالة يساوي صفرًا عند ﺱ يساوي صفرًا. وبذلك، لا يمكننا أن نستخدم التعويض المباشر لكي نوجد قيمة هذه النهاية.

ننتقل إلى الدالة (ب)، وفيها ﺩﺱ تساوي ﺱ تربيع ناقص خمسة ﺱ زائد ستة على ﺱ ناقص اثنين جا ﺱ. وهذا هو خارج قسمة دالتين. إذن، يمكننا أن نكتب ﺩﺱ في الصورة: ﻡﺱ على ﻥﺱ؛ حيث ﻡﺱ يساوي ﺱ تربيع ناقص خمسة ﺱ زائد ستة، وﻥﺱ يساوي ﺱ ناقص اثنين جا ﺱ.

مرة أخرى، لكي نستخدم التعويض المباشر لإيجاد نهاية هذه الدالة، علينا أن نتحقق من قيمة المقام عند ﺱ يساوي صفرًا. ‏‏ﻥ لصفر يساوي صفرًا ناقص اثنين مضروبًا في جا صفر. وهذا ما يساوي سالب اثنين جا صفر. لكن جا صفر يساوي صفرًا. لذا، لا بد أن ﻥ لصفر يساوي صفرًا أيضًا.

وكما هو الحال في الدالة (أ)، وجدنا أن مقام الدالة (ب) يساوي صفرًا أيضًا عند ﺱ يساوي صفرًا. ولذلك، مجددًا، لا يمكننا أن نستخدم التعويض المباشر لإيجاد نهاية هذه الدالة.

ننتقل بعد ذلك إلى الدالة (ج) حيث ﺩﺱ تساوي ﺱ إذا كان ﺱ أكبر من ثلاثة، وﺱ ناقص ثلاثة إذا كان ﺱ أصغر من أو يساوي ثلاثة. لنتحقق من إمكانية استخدام التعويض المباشر لإيجاد نهاية هذه الدالة، علينا أولًا أن نتحقق من أن النهاية موجودة بالفعل لهذه الدالة. لكي تكون النهاية موجودة، يجب أن تكون النهايتان من الجهتين بالنسبة للصفر متساويتين.

معنى هذا أن النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر من اليمين لـ ﺩﺱ يجب أن تساوي النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر من اليسار لـ ﺩﺱ. عندما يقترب ﺱ من الصفر من اليمين، فإن ﺩﺱ تساوي ﺱ ناقص ثلاثة. وهذا لأنه عندما يكون ﺱ أكبر من صفر، فسيظل ﺱ أصغر من أو يساوي ثلاثة. وبذلك، فإن الدالة ﺩﺱ ستساوي ﺱ ناقص ثلاثة. وهي دالة كثيرة الحدود.

ومن ثم يمكننا استخدام التعويض المباشر لإيجاد النهاية من اليمين. وبذلك نجد أن النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر من اليمين لـ ﺩﺱ تساوي ﺩ لصفر، وهو ما يساوي أيضًا صفرًا ناقص ثلاثة، أو سالب ثلاثة ببساطة.

إذا فكرنا بعد ذلك في النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر من اليسار، فسنجد أن ﺩﺱ تساوي ﺱ ناقص ثلاثة مرة أخرى، لأن صفرًا أصغر من أو يساوي ثلاثة؛ ما يعني أن قيمة ﺱ أصغر من أو تساوي ثلاثة. وبذلك، ﺩﺱ يجب أن تساوي ﺱ ناقص ثلاثة. ومرة أخرى، هذه دالة كثيرة الحدود. إذن، سنستخدم التعويض المباشر لإيجاد النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر من اليسار، وبذلك فإن النهاية تساوي ﺩ لصفر، وهو ما يساوي صفرًا ناقص ثلاثة مرة أخرى، أو سالب ثلاثة.

وبذلك وجدنا أن النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر من اليمين والنهاية عندما يقترب ﺱ من صفر من اليسار متساويتان. وهذا يحقق شرط وجود النهاية. ويمكن أن نضيف في آخر الشرط أن تكون النهايتان من الجهتين مساويتين أيضًا للنهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لـ ﺩﺱ‏.

والآن بعد أن تأكدنا من أن النهاية موجودة، علينا التحقق من أنه يمكننا استخدام التعويض المباشر لحلها. عند ﺱ يساوي صفرًا، ﺩﺱ تساوي ﺱ ناقص ثلاثة، وهي دالة كثيرة الحدود، ما يعني أنه يمكننا استخدام التعويض المباشر لإيجاد نهاية هذه الدالة.

وفي الدالة (د)، لدينا ﺩﺱ يساوي ﺱ زائد واحد على ﺱ. وهذه دالة كسرية أيضًا. ومرة أخرى، يمكننا أن نكتبها في الصورة: ﻡﺱ على ﻥﺱ؛ حيث ﻡﺱ يساوي ﺱ زائد واحد، وﻥﺱ يساوي ﺱ. سنعوض بـ ﺱ يساوي صفرًا في مقام الكسر، وهو ﻥﺱ. نجد أن ﻥ لصفر يساوي صفرًا. وبذلك، يصبح مقام ﺩﺱ يساوي صفرًا عند ﺱ يساوي صفرًا. ومن ثم لا يمكننا أن نستخدم التعويض المباشر لإيجاد هذه النهاية.

في الدالة (هـ)، لدينا ﺩﺱ يساوي اثنين ﺱ إذا كان ﺱ أكبر من صفر، واثنين ﺱ ناقص واحد إذا كان ﺱ أصغر من أو يساوي صفرًا. في هذه الدالة متعددة التعريف، علينا مراعاة النهايتين من الجهتين على يسار الصفر ويمينه لكي نتحقق من أن النهاية موجودة. تذكر أنه لكي تكون النهاية موجودة، يجب أن تكون النهاية عندما يقترب ﺱ من الصفر من اليمين لـ ﺩﺱ مساوية للنهاية عندما يقترب ﺱ من الصفر من اليسار لـ ﺩﺱ.

عندما يقترب ﺱ من الصفر من اليمين — معنى هذا أن ﺱ أكبر قليلًا من الصفر — نجد أن ﺩﺱ تساوي اثنين ﺱ، لأن ﺱ أكبر من صفر. ‏‏ﺩﺱ تساوي اثنين ﺱ هي دالة كثيرة الحدود. وبذلك يمكننا أن نوجد النهاية عندما يقترب ﺱ من الصفر من اليمين باستخدام التعويض المباشر. لنجد أنها تساوي ﺩ لصفر، وهو ما يساوي اثنين في صفر، أو صفرًا ببساطة.

بعد ذلك، سنحسب النهاية عندما يقترب ﺱ من الصفر من اليسار. عند ﺱ أصغر من أو يساوي صفرًا، لدينا ﺩﺱ يساوي اثنين ﺱ ناقص واحد، وهي دالة كثيرة الحدود أيضًا. وبذلك، يمكننا أن نوجد النهاية باستخدام التعويض المباشر. وهو ما يعطينا أن النهاية عندما يقترب ﺱ من الصفر من اليسار لـ ﺩﺱ تساوي ﺩ لصفر، أو اثنين في صفر ناقص واحد. وبما أن اثنين في صفر يساوي صفرًا، فالناتج يساوي سالب واحد.

والآن، إذا قارنا النهايتين من الجهتين هنا، نلاحظ أنهما غير متساويتين. ومعنى هذا أن النهاية غير موجودة هنا. وبذلك، لا يمكننا أن نستخدم التعويض المباشر لكي نوجد هذه النهاية. وبذلك نجد أن حل هذا السؤال هو (ج).

إذا كانت ﺩﺱ تساوي مقياس ﺱ زائد ١١ ناقص مقياس ﺱ ناقص ١٨، فأوجد النهاية عندما يقترب ﺱ من أربعة لـ ﺩﺱ.

قائمة شروط استخدام التعويض المباشر لا تتضمن دالة المقياس. لكن يمكن أن نفكر في دالة المقياس بطريقة أخرى. يمكننا كتابة مقياس ﺱ في صورة الجذر التربيعي لـ ﺱ تربيع. إذ يمكننا ببساطة إيجاد مقياس أي عدد عن طريق حساب القيمة المطلقة لهذا العدد، كما أن تربيع العدد ثم حساب جذره سيعطينا أيضًا القيمة المطلقة لهذا العدد. يمكننا أن نكتب الجذر التربيعي لـ ﺱ تربيع في الصورة: ﺱ تربيع أس نصف.

‏‏ﺱ تربيع وﺱ أس نصف دالتا قوى. ونعلم أنه يمكننا تطبيق التعويض المباشر على دوال القوى. وﺱ تربيع أس نصف هو ببساطة تركيب من دالتي قوى. ولذلك، يمكننا تطبيق التعويض المباشر هنا أيضًا. ومن هذا نستنتج أنه يمكننا تطبيق التعويض المباشر على دالة مقياس ﺱ.

والآن، نحن جاهزون لنحسب الدالة ﺩﺱ. سنحسب مقياس ﺱ زائد ١١، ومقياس ﺱ ناقص ١٨. ما نفعله ببساطة هو حساب مقياسي دالتين كثيرتي حدود، وهما: ﺱ زائد ١١، وﺱ ناقص ١٨. هذا ببساطة تركيب من دالة كثيرة الحدود ودالة مقياس. وبما أننا نعلم أنه يمكننا تطبيق التعويض المباشر على الدوال كثيرة الحدود ودوال المقياس، فلا بد أننا نعلم أيضًا أنه يمكننا تطبيق التعويض المباشر على هاتين الدالتين المركبتين معًا.

‏‏ﺩﺱ هي ببساطة الفرق بين هاتين الدالتين المركبتين. ولذلك، يمكننا أيضًا تطبيق التعويض المباشر على ﺩﺱ. إذن، النهاية عندما يقترب ﺱ من أربعة لـ ﺩﺱ تساوي ﺩ لأربعة، وهو ما يساوي أيضًا مقياس أربعة زائد ١١ ناقص مقياس أربعة ناقص ١٨، أو مقياس ١٥ ناقص مقياس سالب ١٤، وهو ما يساوي ١٥ ناقص ١٤. ومن ذلك نجد أن حل هذا السؤال هو ببساطة واحد.

والآن نكون قد تناولنا مجموعة متنوعة من النهايات التي يمكن إيجادها باستخدام التعويض المباشر، وكذلك بعض النهايات التي لا يمكن إيجادها باستخدامه. دعنا نلخص بعض النقاط الرئيسية الواردة في هذا الفيديو. الصيغة التي تستخدم للتعويض المباشر هي أن نهاية ﺩﺱ عندما يقترب ﺱ من ﺃ تساوي ﺩﺃ. ولكي نستخدم التعويض المباشر، لا بد من وجود النهاية ويجب أن تكون الدالة معرفة عند النقطة التي نحسب عندها النهاية. وأخيرًا؛ يجب أن تكون الدالة التي نحسب نهايتها دالة كثيرة الحدود، أو دالة كسرية، أو دالة مثلثية، أو أسية، أو لوغاريتمية، أو دالة قوة؛ أو أن تكون مجموعًا، أو فرقًا، أو حاصل ضرب، أو خارج قسمة لدوال أي من هذه الأنواع أو أن تكون مركبة من تلك الدوال.