فيديو: امتحان التفاضل والتكامل للعام السابق • ٢٠١٨/٢٠١٧ • السؤال الرابع

امتحان التفاضل والتكامل للعام السابق • ٢٠١٨/٢٠١٧ • السؤال الرابع

٠٤:٤٨

‏نسخة الفيديو النصية

إذا كان جا ص زائد جتا اتنين س بتساوي صفر. فاثبت أن المشتقة التانية لِـ ص بالنسبة لِـ س، ناقص المشتقَّة الأولى لِـ ص بالنسبة لِـ س تربيع، مضروبة في ظا ص. بيساوي أربعة جتا اتنين س في قا ص.

معطى إن جا ص زائد جتا اتنين س بتساوي صفر، ومطلوب نثبت صحة معادلة. في المعادلة لازم نلاحظ الفرق بين المشتقَّة التانية للدالة بالنسبة لِـ س ومربع المشتقَّة الأولى. وهمّ قيمتين غير متساويين ومختلفين عن بعض. وبما إن عندنا المشتقَّة التانية لِـ ص بالنسبة لِـ س، يبقى محتاجين نفاضل جا ص زائد جتا اتنين س بتساوي صفر مرتين.

هنفتكر إن تفاضل جا س بتساوي جتا س، وتفاضل جتا س بيساوي سالب جا س. وبالتالي بتفاضُل جا ص زائد جتا اتنين س بتساوي صفر، هيكون عندنا تفاضل جا ص هتساوي جتا ص. وبما إننا بنفاضل بالنسبة لِـ س، فهنضربها في د ص على د س. زائد … تفاضل جتا اتنين س هتساوي سالب جا اتنين س مضروبة في تفاضل ما بداخل الدالة المثلثية. يعني تفاضل اتنين س. يعني هيساوي اتنين. بيساوي … تفاضل صفر بيساوي صفر. يعني هيكون عندنا جتا ص مضروبة في، د ص على د س، ناقص اتنين جا اتنين س بتساوي صفر.

هنلاحظ إننا قدرنا نحصل على المشتقة الأولى للدالة ص بالنسبة لِـ س. وبالتالي عشان نوجد المشتقَّة التانية للدالة ص بالنسبة لِـ س، فهنفاضل مرة كمان. عندنا جتا ص مضروبة في، د ص على د س. نقدر نعتبرهم دالتين؛ أول دالة هي جتا ص، وتاني دالة هي د ص على د س. وتفاضل حاصل ضرب دالتين بيساوي الدالة الأولى مضروبة في تفاضل الدالة التانية، زائد الدالة التانية مضروبة في تفاضل الدالة الأولى. يعني لو افترضنا عندنا دالتين د س وَ ر س. فتفاضل حاصل ضرب د س في ر س هيساوي د س مضروبة في تفاضل ر س، زائد ر س مضروبة في تفاضل د س.

وبالتالي تفاضل جتا ص مضروبة في، د ص على د س، هيكون جتا ص، اللي هي الدالة الأولى، مضروبة في تفاضل الدالة التانية. تفاضل د ص على د س هيساوي المشتقَّة التانية للدالة ص بالنسبة لِـ س. زائد الدالة التانية، اللي هي د ص على د س، مضروبة في تفاضل الدالة الأولى. تفاضل جتا ص هيساوي سالب جا ص. وبما إننا بنفاضل بالنسبة لِـ س، فهيكون عندنا … مضروبة في د ص على د س. ناقص اتنين مضروبة في جا اتنين س. بالتفاضل هيكون عندنا ناقص اتنين. وتفاضل جا اتنين س هيساوي جتا اتنين س مضروبة في … تفاضل ما بداخل الدالة المثلثية، اللي هو اتنين، بيساوي صفر. يعني هيكون عندنا جتا ص في المشتقّة التانية لـ ص بالنسبة لِـ س. ناقص جا ص في المشتقّة الأولى لِـ ص بالنسبة لِـ س تربيع. ناقص أربعة جتا اتنين س. بيساوي صفر.

وبالمقارنة هنلاحظ إن عندنا في الطرف الأيمن المشتقّة التانية لِـ ص بالنسبة لِـ س، مضروبة في جتا ص. لكن في المعادلة اللي محتاجين نثبتها هنلاحظ في الطرف الأيمن إن عندنا المشتقَّة التانية لِـ ص بالنسبة لِـ س مضروبة في واحد. وبالتالي هنقسم طرفَي المعادلة اللي قدرنا نحصل عليها على جتا ص. وهنحصل على المشتقّة التانية لِـ ص بالنسبة لِـ س. ناقص المشتقة الأولى لِـ ص بالنسبة لِـ س تربيع مضروبة في، جا ص على جتا ص. ناقص أربعة جتا اتنين س مقسومة على جتا ص. بتساوي صفر. جا ص على جتا ص بتساوي ظا ص. وسالب أربعة جتا اتنين س على جتا ص ممكن نكتبها في صورة سالب أربعة جتا اتنين س في، واحد على جتا ص. وواحد على جتا ص بتساوي قا ص.

يعني قدرنا نحصل على المشتقَّة التانية لِـ ص بالنسبة لِـ س. ناقص المشتقّة الأولى لِـ ص بالنسبة لِـ س تربيع مضروبة في ظا ص. ناقص أربعة جتا اتنين س مضروبة في قا ص. بتساوي صفر. هنلاحظ إن الطرف الأيمن للمعادلة اللي محتاجين نثبتها هو المشتقَّة التانية لِـ ص بالنسبة لِـ س، ناقص المشتقَّة الأولى لِـ ص بالنسبة لِـ س تربيع، مضروبة في ظا ص. وبالتالي عشان نحصل على نفس الطرف الأيمن، محتاجين نجمع على الطرفين أربعة جتا اتنين س في قا ص. يعني هيكون عندنا المشتقَّة التانية لِـ ص بالنسبة لِـ س، ناقص المشتقة الأولى لِـ ص بالنسبة لِـ س تربيع مضروبة في ظا ص. بيساوي أربعة جتا اتنين س مضروبة في قا ص. وهو المطلوب إثباته.

يبقى كده قدرنا نثبت إن المشتقّة التانية لِـ ص بالنسبة لِـ س، ناقص المشتقَّة الأولى لِـ ص بالنسبة لِـ س تربيع مضروبة في ظا ص. بيساوي أربعة جتا اتنين س مضروبة في قا ص.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.