فيديو السؤال: إيجاد الشد في خيط مربوط بسطح كرة تستند على حائط ورد الفعل العمودي للحائط الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

ربط خيط خفيف من أحد طرفيه بنقطة على سطح كرة متجانسة وربط الطرف الآخر بنقطة على حائط رأسي أملس. تستند الكرة على الحائط وتزن ٣٣ نيوتن، ويميل الخيط على الرأسي بزاوية ٣٠ درجة. أوجد الشد ﺵ في الخيط ورد فعل الحائط ر.

في هذا السؤال، لدينا كرة تستند على حائط رأسي أملس. ووزن الكرة ٣٣ نيوتن. هذا يعني أن هذه القوة تؤثر رأسيًّا لأسفل. وتؤثر قوة رد الفعل ر في اتجاه عمودي على الحائط. إذن، فهي تؤثر أفقيًّا في اتجاه اليمين. لدينا قوة ثالثة ﺵ، وهي قوة الشد في الخيط. تؤثر قوة رد الفعل ووزن الكرة بحيث يكونان زاوية قائمة بينهما. وعلمنا أيضًا أن الخيط يميل على الرأسي بزاوية قياسها ٣٠ درجة. ولأن مجموع قياسات زوايا المثلث يساوي ١٨٠ درجة، فإن قياس الزاوية الثالثة في المثلث لدينا يساوي ٦٠ درجة.

وبما أن هناك ثلاث قوى تؤثر على نقطة، يمكننا حل هذه المسألة باستخدام نظرية لامي. تنص هذه النظرية على أنه في حالة وجود ثلاث قوى تؤثر على نقطة ما وتكون في حالة اتزان، فإن كل قوة تتناسب مع جيب الزاوية المحصورة بين القوتين الأخريين. ويمكن كتابة ذلك على النحو التالي. ‏ﻕ١ على جا 𝛼 يساوي ﻕ٢ على جا 𝛽 يساوي ﻕ٣ على جا 𝛾، حيث ﻕ١ وﻕ٢ وﻕ٣ ثلاث قوى تؤثر على نقطة. ‏𝛼 هي الزاوية المحصورة بين القوتين ﻕ٢ وﻕ٣، و𝛽 هي الزاوية المحصورة بين القوتين ﻕ١ وﻕ٣، و𝛾 هي الزاوية المحصورة بين القوتين ﻕ١ وﻕ٢.

في هذا السؤال، نعلم بالفعل أن قياس الزاوية المحصورة بين القوة التي مقدارها ٣٣ نيوتن ور يساوي ٩٠ درجة. وبجمع ٩٠ درجة و٦٠ درجة، يكون قياس الزاوية المحصورة بين القوة التي مقدارها ٣٣ نيوتن والشد ﺵ هو ١٥٠ درجة. وأخيرًا، بما أن مجموع قياسات الزوايا عند نقطة يساوي ٣٦٠ درجة، فإن قياس الزاوية المحصورة بين قوة الشد وقوة رد الفعل هو ١٢٠ درجة.

لدينا الآن ثلاث قوى وقياسات الزوايا المناظرة لها التي يمكننا التعويض بها في نظرية لامي. وهذا يعطينا ﺵ على جا ٩٠ درجة يساوي ر على جا ١٥٠ درجة يساوي ٣٣ على جا ١٢٠ درجة. ‏جا ٩٠ درجة يساوي واحدًا وجا ١٥٠ درجة يساوي نصفًا، وجا ١٢٠ درجة يساوي جذر ثلاثة على اثنين. القسمة على نصف تماثل الضرب في اثنين. إذن، ﺵ يساوي اثنين ر.

الجزء الثالث من النسبة هو ٣٣ مقسومًا على جذر ثلاثة على اثنين. وبضرب كل من البسط والمقام في اثنين، نحصل على ٦٦ على جذر ثلاثة. يمكننا بعد ذلك إنطاق المقام عن طريق ضرب كل من البسط والمقام في جذر ثلاثة. وهذا يعطينا ٦٦ جذر ثلاثة على ثلاثة، ما يساوي ٢٢ جذر ثلاثة. بتبسيط الأجزاء الثلاثة كلها في نظرية لامي، نحصل على ﺵ يساوي اثنين ر يساوي ٢٢ جذر ثلاثة.

إذن، الشد في الخيط يساوي ٢٢ جذر ثلاثة نيوتن. وبما أن اثنين ر يساوي ٢٢ جذر ثلاثة، فإن ر يساوي ١١ جذر ثلاثة. وعليه، فإن قوة رد فعل الحائط تساوي ١١ جذر ثلاثة نيوتن. وبذلك نكون قد حسبنا قيمتي القوتين المجهولتين في السؤال.