فيديو: نظرية العوامل

أحمد مدحت

يوضح الفيديو نظرية العوامل، وكيفية استخدامها لتحديد إذا كانت ثنائية الحد (ذات الحدين) عاملًا من عوامل كثيرة الحدود أم لا.

٠٩:١٠

‏نسخة الفيديو النصية

هنتكلّم عن نظرية العوامل. هدفنا مِ الفيديو إن إحنا نعرف نظرية العوامل، وكمان نعرف إزّاي نقدر نستخدمها. هنبدأ أول حاجة بنظرية العوامل.

مثلًا لو عندنا كثيرة الحدود: اتنين س تكعيب ناقص تلاتة س تربيع ناقص سبعتاشر س زائد تلاتين. وعايزين نجيب ناتج القسمة بتاعتها على س زائد تلاتة. فهنستخدم القسمة التركيبية علشان نجيب ناتج القسمة.

هنبدأ أول حاجة نكتب معاملات حدود كثيرة الحدود اللي عندنا في المكان المخصّص ليها. فالمعاملات هي: اتنين، وسالب تلاتة، وسالب سبعتاشر، وتلاتين. وفي الصندوق ده هنكتب الثابت؛ والثابت ده هيكون سالب تلاتة. وده لأن إحنا في القسمة التركيبية لمّا بنقسم كثيرة حدود على ثُنائية حدّ أو ذات حدين، فبتكون على الشكل: س ناقص أ.

فلمّا تبقى ثُنائية الحدّ أو ذات الحدين اللي إحنا بنقسم عليها عبارة عن: س ناقص أ، فالثابت اللي بنستخدمه هو: أ. لكن لمّا تبقى عبارة عن: س زائد أ، فالثابت اللي هنستخدمه هيبقى: سالب أ. وإحنا ثُنائية الحدّ اللي إحنا بنقسم عليها هي: س زائد تلاتة؛ يعني على الشكل ده. وبالتالي هيبقى الثابت اللي هنستخدمه هو: سالب تلاتة.

هنكمّل بعد كده القسمة التركيبية. وبعد ما هنكمّل القسمة التركيبية. هنلاقي إن ناتج قسمة اتنين س تكعيب ناقص تلاتة س تربيع ناقص سبعتاشر س زائد تلاتين، على س زائد تلاتة. هو عبارة عن: اتنين س تربيع ناقص تسعة س زائد عشرة. فنلاحظ إن إحنا لمّا بنقسم كثيرة حدود على ثُنائية حدّ من عواملها. بيكون الناتج بتاع القسمة عبارة عن كثيرة حدود درجتها بتقلّ بواحد عن درجة كثيرة الحدود الأصلية.

بعد كده بناءً على عملية القسمة اللي إحنا عملناها هنستخدم نظرية الباقي. ‏وهي إن المقسوم هيساوي ناتج القسمة في المقسوم عليه، زائد الباقي. فالمقسوم هو: اتنين س تكعيب ناقص تلاتة س تربيع ناقص سبعتاشر س زائد تلاتين. والمقسوم بيساوي ناتج القسمة؛ وهو: اتنين س تربيع ناقص تسعة س زائد عشرة، في المقسوم عليه؛ واللي هو: س زائد تلاتة. زائد الباقي، فهنلاقي إن الباقي اللي نتج من القسمة التركيبية اللي عندنا، هو: صفر.

بما إن باقي القسمة بيساوي صفر، ده معناه إن قيمة الدالة د س عند س تساوي سالب تلاتة هتساوي صفر. وده معناه إن س زائد تلاتة هتبقى عامل لكثيرة الحدود: اتنين س تكعيب ناقص تلاتة س تربيع ناقص سبعتاشر س زائد تلاتين. وده بيوضّح نظرية العوامل اللي هي تُعتبر حالة خاصة من نظرية الباقي. هنشوف مفهوم نظرية العوامل بس في الصفحة اللي جايّة، هنقلب الصفحة.

بالنسبة لنظرية العوامل فهي بتوضّح إن ثُنائية الحدّ اللي على الشكل: س ناقص أ. بتكون عامل من عوامل كثيرة الحدود د س في حالة واحدة بس؛ هي لمّا يبقى قيمة د أ تساوي صفر. معنى كده لو إحنا عندنا كثيرة حدود، فإحنا ممكن نتأكّد من إن ثُنائية حدّ معينة عامل من عواملها. وده هيكون من خلال استخدام نظرية العوامل. فهنقلب الصفحة، وهيظهر لنا مثال.

عندنا في المثال عايزين نحدّد إذا كان س ناقص خمسة عامل من عوامل كثيرة الحدود د س. واللي هي بتساوي س تكعيب ناقص سبعة س تربيع زائد سبعة س زائد خمستاشر، ولّا لأ. وكمان عايزين نوجد عواملها الأخرى.

علشان نحدّد إذا كانت س ناقص خمسة عامل من عوامل كثيرة الحدود ولّا لأ، فإحنا هنستخدم نظرية العوامل. بناءً على نظرية العوامل هتبقى س ناقص خمسة عامل من عوامل د س لمّا تبقى د خمسة بتساوي صفر. وبالتالي يبقى إحنا هنجيب د خمسة، فهنستخدم التعويض التركيبي.

فهنبدأ نقسم كثيرة الحدود: س تكعيب ناقص سبعة س تربيع زائد سبعة س زائد خمستاشر، على س ناقص خمسة. وهنستخدم طريقة القسمة التركيبية. فهنكتب معاملات الحدود بتاعة كثيرة الحدود اللي عندنا في مكانها. بعد ما كتبنا المعاملات هنبدأ نكتب الثابت اللي هنستخدمه في عملية القسمة في الصندوق. وإحنا هنقسم على س ناقص خمسة، اللي هي على الشكل بتاع س ناقص أ، وبالتالي الثابت هيبقى: خمسة.

هنبدأ نعمل عملية القسمة، فهنكتب الواحد تحت الخط الأفقي هنا. بعد كده هنضرب الواحد في خمسة، ونكتب الناتج تحت سالب سبعة. واحد في خمسة بيساوي خمسة، فهنكتب الـخمسة هنا. بعد كده هنجمع سالب سبعة وخمسة، فهيبقى الناتج سالب اتنين؛ هنكتبه هنا. بعد كده هنضرب سالب اتنين في خمسة، وهنكتب الناتج تحت سبعة. سالب اتنين في خمسة بسالب عشرة، فهنكتب الناتج هنا. وهنجمع سبعة وسالب عشرة، فهنلاقي إن مجموعهم هو سالب تلاتة، فهنكتبه هنا.

بعد كده هنضرب سالب تلاتة في خمسة، وهنكتب الناتج تحت خمستاشر. فسالب تلاتة في خمسة بيساوي سالب خمستاشر، هنكتب الناتج هنا. بعد كده هنجمع خمستاشر وسالب خمستاشر، وهنكتب الناتج في خانة الباقي. فهنلاقي إن خمستاشر زائد سالب خمستاشر بيساوي صفر، فهنكتب صفر في خانة الباقي.

بعد ما خلّصنا القسمة هنلاقي إن باقي القسمة بيساوي صفر. ده معناه إن قيمة الدالة د س عند س تساوي خمسة هيساوي صفر. وبالتالي هتبقى س ناقص خمسة عامل من عوامل كثيرة الحدود. بكده يبقى إحنا استخدمنا نظرية العوامل، ولقينا إن س ناقص خمسة عامل لكثيرة الحدود اللي عندنا.

بعد كده عندنا مطلوب تاني وهو العوامل التانية بتاعة كثيرة الحدود.

معنى إن س ناقص خمسة عامل لكثيرة الحدود، فإحنا هنقدر نحلّل كثيرة الحدود دي إلى قوسين مضروبين في بعض. قوس بيكون عبارة عن العامل، والقوس التاني هيبقى ناتج القسمة اللي عندنا. وناتج القسمة اللي عندنا هو: س تربيع ناقص اتنين س ناقص تلاتة. معنى كده إن كثيرة الحدود: س تكعيب ناقص سبعة س تربيع زائد سبعة س زائد خمستاشر. لمّا هنحلّلها هتبقى بتساوي س ناقص خمسة، في س تربيع ناقص اتنين س ناقص تلاتة.

بعد كده هنبدأ نشوف إذا كانت كثيرة الحدود س تربيع ناقص اتنين س ناقص تلاتة نقدر نحلّلها ولّا لأ. فهنلاقي إن إحنا هنقدر نحلّلها. فلمّا هنحلّل كثيرة الحدود: س تربيع ناقص اتنين س ناقص تلاتة، فهنلاقيها بتساوي س زائد واحد، في س ناقص تلاتة. وبالتالي كثيرة الحدود: س تكعيب ناقص سبعة س تربيع زائد سبعة س زائد خمستاشر. تساوي س ناقص خمسة، في س زائد واحد، في س ناقص تلاتة.

يعني عوامل كثيرة الحدود: س تكعيب ناقص سبعة س تربيع زائد سبعة س زائد خمستاشر. هي: س ناقص خمسة، وَ س زائد واحد، وَ س ناقص تلاتة. ونقدر نتأكّد من إجابتنا بإن إحنا نضرب العوامل، ونقارن كثيرة الحدود اللي هتَنتج بكثيرة الحدود الأصلية.

بكده يبقى إحنا في الفيديو ده عرفنا نظرية العوامل. وعرفنا إن إحنا من خلالها نقدر نحدّد إذا كانت ثُنائية الحدّ اللي عندنا عامل من عوامل كثيرة الحدود، ولّا لأ. فمثلًا لو ثُنائية الحدّ دي على الشكل: س ناقص أ، وكثيرة الحدود هي الدالة د س. فلو جِبنا قيمة الدالة د س عند س تساوي أ، وكانت بتساوي صفر. بالتالي هتبقى ثُنائية الحدّ دي عامل من عوامل كثيرة الحدود. ولو ما كانتش بتساوي صفر، فبالتالي مش هتبقى عامل من عوامل كثيرة الحدود.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.