نسخة الفيديو النصية
إذا كان مدور المصفوفة ﺏ زائد مدور المصفوفة ﺟ يساوي المصفوفة المربعة أربعة، أربعة، ١٠، سالب ثلاثة، و ﺃ هي المصفوفة المربعة سالب أربعة، واحد، صفر، سالب واحد، فأوجد المصفوفة ﺱ التي تحقق العلاقة ﺱ يساوي مدور ﺃ ﺏ زائد ﺃ ﺟ.
سنبدأ بتذكر تعريف مدور المصفوفة. في هذا السؤال، ما يعنينا تحديدًا هو مدور مصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين؛ لأن كلتا المصفوفتين المعطاتين من الرتبة اثنين في اثنين. حسنًا، دعونا نفترض أن ﺹ مصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين وعناصرها ﺃ، ﺏ، ﺟ، ﺩ. يمثل المدور بحرف ﺹ يعلوه مد. ويكون مدور المصفوفة ﺹ هو المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين وعناصرها ﺃ، ﺟ، ﺏ، ﺩ. ويمكن إيجاده عن طريق تبديل الصفين بالعمودين. كما نلاحظ لا يتغير موضع أي من عنصري القطر الرئيسي؛ ﺃ وﺩ. لكن إذا نظرنا إلى العنصرين ﺏ وﺟ، فسنجد أن مكانهما، قد انعكس أو تبدل، حول القطر.
في هذا المثال، نحاول إيجاد المصفوفة ﺱ المعرفة بأنها مدور ﺃﺏ زائد ﺃﺟ. ولكي نفهم هذا التعبير، علينا تذكر بعض خواص المصفوفات الأخرى ذات الصلة. لعلنا نتذكر أن عملية ضرب المصفوفات هي عملية توزيعية على جمع المصفوفات، ما دام أن ﺃ رتبتها ﻡ في ﻥ، وكل من ﺏ وﺟ من الرتبة ﻥ في ﻝ. وبما أننا نتعامل مع مصفوفات من الرتبة اثنين في اثنين، يتحقق شرط الرتبة. ومن ثم فإن ﺃ في المجموع ﺏ وﺟ يساوي ﺃﺏ زائد ﺃﺟ لجميع المصفوفات التي رتبتها اثنان في اثنين.
نتذكر أيضًا خاصية التوزيع لمدور مجموع مصفوفتين، التي تنص على أنه لأي مصفوفتين ﺏ وﺟ من الرتبة نفسها، فإن مدور ﺏ زائد ﺟ يساوي مدور ﺏ زائد مدور ﺟ. وأخيرًا نتذكر أن مدور حاصل ضرب مصفوفتين يحقق الخاصية الآتية. إذا كان لدينا المصفوفتان ﺃ وﺏ وكان حاصل ضربهما ﺃﺏ تام التعريف، فإن مدور المصفوفة ﺃﺏ يساوي حاصل ضرب مدور كل مصفوفة بالترتيب العكسي.
لكي نبدأ فهم التعبير الذي يعرف ﺱ، سنستخدم خاصية التوزيع الأولى لضرب المصفوفات. تتيح لنا هذه الخاصية إعادة كتابة ﺃﺏ زائد ﺃﺟ على الصورة ﺃ في المجموع ﺏ زائد ﺟ. والآن يمكننا الاستفادة من خاصية مدور حاصل ضرب مصفوفتين. تتيح لنا هذه الخاصية كتابة مدور حاصل ضرب ﺃ وﺏ زائد ﺟ في صورة مدور ﺏ زائد ﺟ في مدور ﺃ. في الخطوة التالية، سنستخدم خاصية التوزيع لمدور مجموع مصفوفتين. لذلك سنعيد كتابة مدور ﺏ زائد ﺟ في صورة مدور ﺏ زائد مدور ﺟ. نلاحظ أن مجموع مدور ﺏ ومدور ﺟ معطى لنا في السؤال. إذن يمكننا الآن التعويض بالمصفوفة أربعة، أربعة، ١٠، سالب ثلاثة في المعادلة التي حصلنا عليها.
كل ما تبقى علينا فعله هو إيجاد مدور المصفوفة ﺃ وإجراء عملية ضرب المصفوفتين. نوجد مدور المصفوفة ﺃ عن طريق تبديل الصفين بالعمودين. هذا يعني أن الصف الأول من المصفوفة ﺃ الذي يحتوي على العنصرين سالب أربعة وواحد سيصبح العمود الأول في مدور ﺃ. ويصبح الصف الثاني من ﺃ هو العمود الثاني في مدور ﺃ. وهذا يعني أن العمود الثاني سيتضمن العنصرين صفرًا وسالب واحد. الآن يمكننا التعويض عن مدور المصفوفة ﺃ في المعادلة. سنستخدم ضرب المصفوفات لإيجاد حاصل ضرب المصفوفة أربعة، أربعة، ١٠، سالب ثلاثة، والمصفوفة سالب أربعة، صفر، واحد، سالب واحد. دعونا نفرغ بعض المساحة لإفساح المجال لعملية ضرب المصفوفتين.
لعلنا نتذكر أن عملية ضرب مصفوفتين تتضمن جمع أزواج العناصر من كلا المصفوفتين. على وجه التحديد، حاصل ضرب مصفوفتين مربعتين ﺃ، ﺏ، ﺟ، ﺩ وﻫ، ﻭ، ﺯ، ﺡ يعطى بواسطة ﺃﻫ زائد ﺏﺯ، وﺃﻭ زائد ﺏﺡ، وﺟﻫ زائد ﺩﺯ، وﺟﻭ زائد ﺩﺡ.
نتيجة عملية الضرب هذه تكون كالآتي: العنصر الأول هو أربعة في سالب أربعة زائد أربعة في واحد. ويحدد العنصر الثاني بحساب أربعة في صفر زائد أربعة في سالب واحد. ويحدد العنصر الثالث بحساب مجموع ١٠ في سالب أربعة وسالب ثلاثة في واحد. والعنصر الأخير هو مجموع ١٠ في صفر وسالب ثلاثة في سالب واحد. نستخدم الترتيب القياسي للعمليات الحسابية لإجراء عمليات الضرب أولًا. ثم نوجد قيم المجاميع الأربعة المتبقية. وبناء عليه نحصل على المصفوفة ﺱ التي عناصرها سالب ١٢، سالب أربعة، سالب ٤٣، ثلاثة.
وهكذا نكون قد استخدمنا خواص المصفوفات وخواص المدور لإيجاد ﺱ، وهي مدور ﺃﺏ زائد ﺃﺟ.
