فيديو السؤال: تحديد الإحداثيات القطبية الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

لديك النقاط الموضحة. أي منها إحداثياتها القطبية ثلاثة، ١٥‏𝜋‏‎ على أربعة؟

لدينا هنا خمس نقاط ممثلة على المخطط القطبي وهي ﺃ وﺏ وﺟ وﺩ وﻫ. وعلينا أن نحدد أي هذه النقاط إحداثياتها هي ثلاثة، ١٥‏𝜋‏‎ على أربعة. هيا نبدأ باسترجاع ما نعنيه بالإحداثيات القطبية. إذا كانت إحداثيات النقطة القطبية ﻡ هي ﻝ، 𝜃؛ حيث ﻝ أكبر من أو يساوي صفرًا، فإن ﻝ تمثل المسافة التي تبعدها النقطة ﻡ عن نقطة الأصل. أو بعبارة أخرى، إنها تمثل طول المتجه ﻭﻡ.

نحن نعلم أيضًا أن قيمة 𝜃 هي قياس الزاوية التي يصنعها المتجه ﻭﻡ مع الاتجاه الموجب للمحور ﺱ والمقيسة في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة. بالنسبة إلى الإحداثيات القطبية، غالبًا ما تقاس الزوايا بالراديان. النقطة المذكورة في السؤال هي النقطة ثلاثة، ١٥‏𝜋‏‎ على أربعة. إذن، قيمة ﻝ هي ثلاثة، وقيمة 𝜃 هي ١٥‏𝜋‏‎ على أربعة.

نلاحظ أن هذه الزاوية مقيسة بالراديان. هناك طرق مختلفة يمكننا بها حل هذا السؤال. على سبيل المثال، قد نفكر في إيجاد تمثيلات للإحداثيات القطبية لجميع النقاط الخمس المعطاة لنا على المخطط. لكن بدلًا من ذلك سنستخدم الإحداثيات المعطاة لإيجاد مواضعها على المخطط.

نحن نعلم أن قيمة ﻝ تساوي ثلاثة. هذا يعني أن المسافة بين هذه النقطة ونقطة الأصل تساوي ثلاثة. يمكننا إذن أن نفكر في النقاط التي تبعد مسافة مقدارها ثلاثة من نقطة الأصل. إننا نعلم بالطبع أن مجموعة النقاط التي تبعد مسافة مقدارها ثلاثة من نقطة الأصل تشكل جميعها دائرة نصف قطرها ثلاثة ومركزها نقطة الأصل.

ونظرًا لأن لدينا مخططًا قطبيًّا، يمكننا رسم ذلك على التمثيل البياني. إذن، بما أن قيمة ﻝ لهذا الإحداثي تساوي ثلاثة، حيث إن كل نقطة تبعد مسافة مقدارها ثلاثة عن نقطة الأصل تقع على هذه الدائرة، فلا بد أن النقطة التي نبحث عنها تقع على هذه الدائرة. لكن يمكننا ملاحظة أن النقطة ﺟ لا تقع على هذه الدائرة. لذا، فإن النقطة ﺟ لا يمكن أن تكون إحداثياتها القطبية ثلاثة، ١٥‏𝜋‏‎ على أربعة.

دعونا الآن نتناول الزاوية. علمنا من المعطيات أن قيمة 𝜃 تساوي ١٥‏𝜋‏‎ على أربعة. هذا يعني أن قياس الزاوية التي يصنعها المتجه ﻭﻡ مع الاتجاه الموجب للمحور ﺱ والمقيسة في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة هي ١٥‏𝜋‏‎ على أربعة. وفي الواقع، نحن لدينا مخطط قطبي. وهذا يعني أن لدينا أشعة تشير إلى قيم مختلفة لـ 𝜃 على المخطط.

لكن يمكننا ملاحظة أن ١٥‏𝜋‏‎ على أربعة أكبر من جميع هذه القيم. ونحن نعلم أن سبب ذلك هو أن الدورة الكاملة حول المحور تساوي اثنين ‏𝜋‏‎. وفي الواقع، نلاحظ أن القيمة ١٥‏𝜋‏‎ على أربعة أكبر من اثنين ‏𝜋‏‎. وهذا يعني أنها أكبر من دورة واحدة كاملة. لذا علينا إيجاد زاوية مكافئة.

لفعل ذلك، سنطرح اثنين ‏𝜋‏‎ من القيمة ١٥‏𝜋‏‎ على أربعة. وإذا حسبنا قيمة هذا المقدار، فسنحصل على سبعة ‏𝜋‏‎ على أربعة. وهذا يعني أن الزاوية ١٥‏𝜋‏‎ على أربعة تمثل دورة واحدة كاملة إضافة إلى دورة أخرى مقدارها سبعة ‏𝜋‏‎ على أربعة. بعبارة أخرى، ما أوضحناه هو أن النقطة المعطاة في السؤال تكافئ بالفعل النقطة التي إحداثياتها القطبية هي ثلاثة، سبعة ‏𝜋‏‎ على أربعة.

ونجد هنا أن هناك طرقًا مختلفة يمكننا بها إيجاد موضع الزاوية سبعة ‏𝜋‏‎ على أربعة على المخطط. إحدى هذه الطرق هي إيجاد سبعة ‏𝜋‏‎ على أربعة مقسومًا على اثنين ‏𝜋‏‎. وهي الزاوية لدينا مقسومة على اثنين ‏𝜋‏‎؛ أي دورة كاملة. يوضح لنا ذلك النسبة التي تمثلها الزاوية من الدورة الكاملة. إذا حسبنا قيمة هذا المقدار، فسنجد أنه يساوي سبعة على ثمانية. ومن ثم، تمثل الزاوية سبعة أثمان دورة كاملة. ويمكننا بسهولة تامة أن نحدد النقطة التي تقع عندها سبعة أثمان دورة على المخطط.

كل ربع يمثل ربع دورة. إذن، لدينا ربع، ربعان، ثلاثة أرباع. وبالطبع، تقع سبعة أثمان في منتصف هذا الربع. ومن ثم، لا بد أن تقع النقطة على هذا الشعاع. نلاحظ أن النقطة الوحيدة هنا هي النقطة ﺩ. إذن، الإجابة هي النقطة ﺩ.

وبذلك نكون قد تمكنا من توضيح أنه من بين النقاط الخمس المعطاة على المخطط، النقطة ﺩ هي النقطة الوحيدة المكافئة للنقطة التي إحداثياتها القطبية ثلاثة، ١٥‏𝜋‏‎ على أربعة.