فيديو: الشغل والطاقة في التدحرج دون انزلاق

طوق نصف قطره 3.00m وكتلته 6.3kg. يتدحرج الطوق على سطح أفقي بسرعة 8.8m/s. ما مقدار الشغل المطلوب ليصل الطوق إلى حالة السكون؟ بدأ الطوق في التدحرج لأعلى منحدر يميل على الأفقي بزاوية قياسها °44. ما المسافة التي يقطعها الطوق على المنحدر قبل الوصول إلى السكون لحظيًّا؟

٠٥:٤١

‏نسخة الفيديو النصية

طوق نصف قطره تلاتة متر، وكتلته ستة وتلاتة من العشرة كيلوجرام. يتدحرج الطوق على سطح أفقي بسرعة تمنية وتمنية من العشرة متر على الثانية. ما مقدار الشغل المطلوب ليصل الطوق إلى حالة السكون؟ بدأ الطوق في التدحرج لأعلى منحدر يميل على الأفقي بزاوية قياسها أربعة وأربعين درجة. ما المسافة التي يقطعها الطوق على المنحدر قبل الوصول إلى السكون لحظيًّا؟

ففي الأول كان عندنا طوق بيتدحرج على سطح أفقي كتلته ستة وتلاتة من العشرة كيلوجرام. ونصف قطر الطوق ده كان بيساوي تلاتة متر. والسرعة اللي كان بيتحرّك بيها الطوق ده كانت بتساوي تمنية وتمنية من العشرة متر على الثانية. وناخد بالنا إن الطوق هنا كان بيتدحرج، فده معناه إن السرعة المعطاة دي هي السرعة بتاعة مركز الكتلة.

والمطلوب منّنا في المسألة دي حاجتين: أول حاجة إن إحنا نعرف الشغل المطلوب علشان نوقّف الطوق ده. أمّا بالنسبة لتاني مطلوب فبيتساءل لو إحنا حطّينا الطوق ده بنفس سرعته على سطح مائل على الأفقي بزاوية مقدارها أربعة وأربعين درجة. إيه المسافة اللي هيمشيها الطوق ده على المنحدر؟

فعلشان نجيب الشغل المطلوب اللي هيوقّف الطوق ده، فهنلاقيه بيساوي التغيّر في الطاقة الكلية للطوق ده. وده بسبب إن الطاقة لا تفنى، ولا تُستحدث من عدم. والتغيّر في الطاقة الكلية دي هو عبارة عن التغيّر في طاقة الحركة، زائد التغيّر في طاقة وضع الطوق.

فبما إن الطوق هنا فضل ماشي على سطح أفقي، وما غيّرش ارتفاعه؛ هنلاقي إن التغيّر في طاقة الوضع بيساوي صفر. والتغيّر في طاقة الحركة هو طاقة الحركة النهائية ناقص طاقة الحركة الابتدائية. وبما إننا عايزين نوصّل الطوق ده للسكون، فده معناه إن طاقة الحركة النهائية بصفر. فده كده هيدّينا إن الشغل المطلوب بيساوي سالب طاقة الحركة الابتدائية.

وبما إن الطوق هنا بيتدحرج، فده معناه إن طاقة الحركة بتتقسم لجزئين. الجزء الأول بيعبّر عن طاقة الحركة الخطية، وهنلاقيه بيساوي نُصّ في الكتلة في سرعة مركز الكتلة. والجزء التاني من الطاقة هنلاقيه بيعبّر عن طاقة الحركة الدورانية، واللي بيساوي نُصّ في عزم القصور الذاتي في السرعة الزاوية تربيع. وعزم القصور الذاتي لأيّ حلقة بيساوي كتلة الحلقة في نصف قطرها تربيع.

فنقدر نعوّض بالمعطيات اللي عندنا، ونلاقي إن عزم القصور الذاتي بيساوي ستة وتلاتة من العشرة كيلوجرام في تلاتة متر تربيع. أمّا بالنسبة للسرعة الزاوية فهي بتساوي سرعة مركز الكتلة مقسومة على نصف قطر الحلقة. ولمّا نعوّض بالأرقام هنلاقي إن السرعة الزاوية بتساوي تمنية وتمنية من العشرة متر على الثانية مقسومة على تلاتة متر. ونقدر هنا نختصر المتر مع المتر.

فدلوقتي نقدر نعوّض بالسرعة الزاوية، وبعزم القصور الذاتي في طاقة الحركة. ونعوّض مكانهم في الشغل المطلوب؛ علشان نوقّف الحلقة. فده هيدّينا إن الشغل المطلوب بيساوي سالب في. نُصّ في ستة وتلاتة من العشرة كيلوجرام؛ في تمنية وتمنية من العشرة متر على الثانية تربيع. زائد، نُصّ في ستة وتلاتة من العشرة كيلوجرام؛ في تلاتة متر تربيع؛ في تمنية وتمنية من العشرة، على تلاتة ثانية، تربيع.

فده هيدّينا إن الشغل المطلوب بيساوي سالب ربعمية وتسعين كيلوجرام متر تربيع على الثانية تربيع. وبما إن الوحدة دي بتساوي وحدة الجول، هنشيلها ونعوّض مكانها بالجول. وناخد بالنا إن الشغل اللي طلع هنا كان بالسالب، وده لأنه بيقلّل طاقة الحركة بتاعة الطوق. واللي كان مطلوب منّنا هو مقدار الشغل، فالمقدار هنلاقيه بالموجب وبيساوي ربعمية وتسعين جول. وبكده نبقى طلّعنا المطلوب الأول وهو مقدار الشغل المطلوب علشان نوقّف الطوق ده.

أمّا بالنسبة للمطلوب التاني فهنلاقي إن الطوق كان بيتحرّك بسرعة معيّنة. وبعدين ارتفع لفوق مسافة هنسمّيها هنا ℎ، ووصل لحالة سكون لحظي. فده معناه إن الطاقة هنا تحوّلت من طاقة حركية لطاقة وضع. وعلشان كده هنستخدم القانون اللي بيقول إن التغيّر في طاقة الحركة بيساوي سالب التغيّر في طاقة الوضع. والتغيّر في طاقة الوضع بيساوي كتلة الجسم مضروبة في عجلة الجاذبية في الارتفاع اللي طلعه.

فنقدر كده نقول إن التغيّر في طاقة الحركة بيساوي سالب الكتلة في عجلة الجاذبية في الارتفاع. والتغيّر في طاقة الحركة دي هو بيساوي الشغل المطلوب علشان نوقّف العجلة، اللي إحنا لسّه جايبينه من شويّة بيساوي سالب ربعمية وتسعين جول. فنقدر نعوّض بسالب ربعمية وتسعين جول مكان التغيّر في طاقة الحركة.

فلمّا نقسم طرفين المعادلة على سالب 𝑚 𝑔، هنلاقي إن الـ ℎ بتساوي سالب ربعمية وتسعين جول على سالب 𝑚 𝑔. نقدر نختصر السالب مع السالب، ونعوّض مكان الـ 𝑚 بكتلة الطوق اللي بتساوي ستة وتلاتة من العشرة كيلوجرام. وهنعوّض بقيمة عجلة الجاذبية اللي بتساوي تسعة وتمنية من العشرة متر على الثانية تربيع.

وبما إن وحدة الجول بتساوي كيلوجرام متر تربيع على الثانية تربيع، فهنعوّض مكانها بالوحدة دي. علشان نعرف نختصر الكيلوجرام مع الكيلوجرام، والواحد عَ الثانية تربيع مع الواحد عَ الثانية تربيع، والمتر مع مربع المتر. فهنقدر كده نختصر الوحدات دي كلها لمتر، اللي هي فعلًا وحدة الارتفاع.

وعلشان نجيب الطول اللي مشيته الحلقة دي على المنحدر، هنبصّ على المثلث ده. فهنلاقي إن طول الوتر بتاع المثلث ده هو الطول اللي إحنا عايزين نجيبه. وناخد بالنا إن الزاوية دي بتساوي أربعة وأربعين درجة برضو.

فنقدر من هنا نقول إن sin الزاوية أربعة وأربعين بيساوي المقابل، اللي هو ℎ، مقسوم على الوتر، اللي هو 𝐿. فعلشان نجيب 𝐿 هنضرب طرفين المعادلة في، 𝐿 على sin أربعة وأربعين. فده هيدّينا إن 𝐿 بتساوي ℎ في، واحد على sin أربعة وأربعين.

فلمّا نعوّض بقيمة الـ ℎ. هنلاقي إن الـ 𝐿 بتساوي ربعمية وتسعين متر على، ستة وتلاتة من العشرة في تسعة وتمنية من العشرة. في، واحد على sin أربعة وأربعين. ولمّا نحسبها هنلاقيها تقريبًا بتساوي حداشر متر.

وبكده نبقى عرفنا نحسب الطول اللي هيمشيه الطوق على المنحدر قبل ما يُقَف.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.