فيديو السؤال: إيجاد قيمة مجهول في دالة كثيرة الحدود بمعلومية قيمة مشتقتها الأولى عند نقطة ما الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

إذا كانت ﺩﺱ تساوي سالب ﺱ تربيع زائد ﻡﺱ زائد واحد، فأوجد ﻡ علمًا بأن ﺩ شرطة لثلاثة تساوي واحدًا.

بالنظر إلى الدالة المعطاة، سنجد أن ﻡ يمثل معاملًا ناقصًا في الدالة الكثيرة الحدود ﺩﺱ. وعلينا إيجاد قيمته. ونعلم أيضًا من السؤال أن ﺩ شرطة لثلاثة تساوي واحدًا، وهو ما يعني أن قيمة المشتقة الأولى للدالة ﺩ عند ﺱ يساوي ثلاثة هي واحد.

للإجابة عن هذا السؤال، علينا إيجاد تعبير للمشتقة الأولى لهذه الدالة. وبما أن ﺩﺱ دالة كثيرة الحدود، فيمكننا فعل ذلك بتطبيق قاعدة القوة للاشتقاق. تنص هذه القاعدة على أنه إذا كان ﺃ وﻥ عددين حقيقيين، فإن المشتقة بالنسبة لـ ﺱ لـ ﺃﺱ أس ﻥ تساوي ﺃﻥﺱ أس ﻥ ناقص واحد. لقد ضربنا ذلك في الأس الأصلي ﻥ، ثم طرحنا واحدًا من هذا الأس.

إننا نعلم أيضًا أنه إذا أردنا إيجاد مشتقة مجموع عدة حدود أو عدة دوال أو الفرق بينها، فإن هذا يساوي مجموع مشتقاتها كل منها على حدة أو الفرق بينها، وهو ما يعني أنه يمكننا اشتقاق كل حد على حدة ثم جمع المشتقات المنفردة معًا. إذن، دعونا نوجد تعبيرًا عامًّا لـ ﺩ شرطة ﺱ، وهي المشتقة الأولى لهذه الدالة. بتطبيق قاعدة القوة للاشتقاق على الحد الأول، نحصل على سالب اثنين ﺱ.

لاشتقاق الحد الثاني، قد يكون من المفيد التفكير في ﺱ على الصورة ﺱ أس واحد. وبتطبيق قاعدة القوة للاشتقاق، نجد أن مشتقة ﻡﺱ أس واحد ستساوي ﻡ مضروبًا في واحد مضروبًا في ﺱ أس صفر. وبالطريقة نفسها، قد يكون من المفيد التفكير في الثابت واحد على الصورة واحد مضروبًا في ﺱ أس صفر. إذن، بتطبيق قاعدة القوة للاشتقاق، يصبح لدينا واحد مضروبًا في صفر مضروبًا في ﺱ أس صفر ناقص واحد.

إننا نتذكر أن ﺱ أس صفر يساوي واحدًا. وضرب أي قيمة في صفر يعطينا صفرًا. لذا، فإن مشتقة الحد الأخير تساوي صفرًا. ومشتقة الحد الثاني تساوي ﻡ مضروبًا في واحد. ومن ثم، يمكننا تبسيط تعبير ﺩ شرطة ﺱ إلى سالب اثنين ﺱ زائد ﻡ.

نتذكر الآن أننا نعرف أن قيمة المشتقة الأولى عند ﺱ يساوي ثلاثة هي واحد. إذن، بالتعويض بثلاثة عن ﺱ وبواحد عن ﺩ شرطة ﺱ، نحصل على المعادلة واحد يساوي سالب اثنين مضروبًا في ثلاثة زائد ﻡ. يمكننا تبسيط ذلك إلى واحد يساوي سالب ستة زائد ﻡ. وبإضافة ستة إلى كلا الطرفين، نجد أن حل هذه المعادلة هو ﻡ يساوي سبعة.

وبذلك، نكون قد انتهينا من حل المسألة. لقد استخدمنا قاعدة القوة للاشتقاق لإيجاد تعبير عام للمشتقة الأولى ﺩ شرطة ﺱ. بعد ذلك، استخدمنا حقيقة أن قيمة المشتقة الأولى عند ﺱ يساوي ثلاثة هي واحد لتكوين معادلة. وبذلك نكون قد أوجدنا أن المعامل الناقص ﻡ يساوي سبعة.