فيديو السؤال: إيجاد الانحراف المعياري لمجموعة من البيانات الرياضيات • الصف الثالث الإعدادي

نسخة الفيديو النصية

أكمل ٩٢ طالبًا اختبارًا، وسجلت درجاتهم في الجدول التكراري الآتي. أوجد الانحراف المعياري، لأقرب منزلتين عشريتين.

عرضت بيانات الدرجات التي حصل عليها ٩٢ طالبًا في الاختبار في جدول تكراري ذي مجموعات. نعلم أنه يوجد ٢٦ طالبًا حصلوا على درجات أكبر من صفر وأقل من ٢٠، لكننا لا نعرف الدرجات الدقيقة لأي من هؤلاء الطلاب. مطلوب منا إيجاد الانحراف المعياري للدرجات، وهو مقياس لمدى تشتتها عن قيمة الوسط الحسابي لها. لكن بما أننا لا نعرف أيًّا من القيم الدقيقة في مجموعة البيانات، فإن إجابتنا ستكون قيمة تقديرية.

نتذكر أنه بالنسبة لمجموعة بيانات قيمة الوسط الحسابي لها ﺱ بار وقيم بياناتها: ﺱ واحد وﺱ اثنان حتى ﺱﻥ، بالتكرارات: ﻙ واحد وﻙ اثنان حتى ﻙﻥ، فإن الانحراف المعياري يعطى بالصيغة: σﺱ يساوي الجذر التربيعي للمجموع من ﺭ يساوي واحدًا إلى ﻥ لـ ﺱﺭ ناقص ﺱ بار الكل تربيع مضروبًا في ﻙﺭ مقسومًا على المجموع من ﺭ يساوي واحدًا إلى ﻥ لـ ﻙﺭ. دعونا نفكر قليلًا فيما يعنيه كل رمز من هذه الرموز. في مقام الكسر الموجود أسفل الجذر التربيعي، لدينا المجموع من ﺭ يساوي واحدًا إلى ﻥ لـ ﻙﺭ. هذا هو مجموع التكرارات أو بعبارة أخرى التكرار الكلي. في البسط، لدينا ﺱﺭ ناقص ﺱ بار الكل تربيع؛ أي إننا نطرح الوسط الحسابي من كل قيمة من قيم البيانات ثم نربع الناتج. بعد ذلك، نضرب الناتج في التكرار المناظر لكل قيمة من قيم البيانات هذه، ثم نوجد المجموع.

علينا أيضًا أن نتذكر أنه لحساب الوسط الحسابي لمجموعة بيانات معطاة في جدول تكراري، نستخدم الصيغة: المجموع من ﺭ يساوي واحدًا إلى ﻥ لـ ﺱﺭ مضروبًا في ﻙﺭ مقسومًا على المجموع من ﺭ يساوي واحدًا إلى ﻥ لـ ﻙﺭ. الاختلاف هنا هو أنه بدلًا من أن يكون لدينا قيمة ﺱ واحدة لكل نقطة من نقاط البيانات، لدينا فترات. نتيجة لذلك، لا يمكننا تطبيق الصيغتين اللتين كتبناهما مباشرة. بدلًا من ذلك سنستخدم نقطة المنتصف لكل فترة باعتبارها قيمة ﺱﺭ لتلك الفترة؛ لأن هذا هو أفضل تخمين لقيم ﺱ بأقل نسبة خطأ في المتوسط.

لإيجاد نقطة المنتصف لكل فترة، نحسب الوسط الحسابي لطرفي هذه الفترة؛ أي صفرًا زائد ٢٠ على اثنين، وهو ما يعطينا نقطة المنتصف ١٠، و٢٠ زائد ٤٠ على اثنين، وهو ما يعطينا نقطة المنتصف ٣٠، وهكذا بالطريقة نفسها نجد أن نقاط المنتصف الثلاثة الأخيرة هي ٥٠ و٧٠ و٩٠. نلاحظ أن التكرارات ﻙﺭ معطاة في الصف الثاني من الجدول. علينا إيجاد الوسط الحسابي ﺱ بار قبل أن نتمكن من إيجاد الانحراف المعياري؛ لذا سنضيف صفًّا آخر إلى الجدول نحسب فيه ﺱﺭ مضروبًا في ﻙﺭ. يشير هذا إلى نقطة المنتصف لكل فترة مضروبة في تكرارها. يعطينا هذا القيم: ٢٦٠ و٣٠٠ و١٢٠٠ و٣٥٠ و٢٤٣٠. مجموع هذه القيم الخمس هو٤٥٤٠.

نعلم بالفعل أن إجمالي التكرارات؛ أي المجموع من ﺭ يساوي واحدًا إلى خمسة لـ ﻙﺭ هو٩٢. من ثم يمكننا الآن حساب الوسط الحسابي لمجموعة البيانات. إنه يساوي ٤٥٤٠ على ٩٢. بكتابة ذلك في أبسط صورة كسرية، نحصل على ١١٣٥ على ٢٣، وبكتابة هذا الكسر على صورة عدد عشري نحصل على ٤٩٫٣٤ إلى آخره.

لقد حسبنا قيمة تقديرية للوسط الحسابي لمجموعة البيانات، وعلينا الآن إيجاد الانحراف المعياري. علينا إضافة صفوف مختلفة إلى الجدول: صف لطرح الوسط الحسابي من كل نقطة من نقاط المنتصف، وصف آخر لتربيع كل قيمة من هذه القيم، وصف أخير للضرب في التكرار المناظر. سنستخدم القيم الدقيقة خلال ملء هذه الصفوف. إذن، لطرح الوسط الحسابي من كل نقطة من نقاط المنتصف، سنطرح القيمة الكسرية ١١٣٥ على ٢٣ من كل منها. هذا يعطينا القيم سالب ٣٩٫٣٤٧٨ إلى آخره، وسالب ١٩٫٣٤٧٨ إلى آخره، و٠٫٦٥٢١ إلى آخره، و٢٠٫٦٥٢١ إلى آخره، و٤٠٫٦٥٢١ إلى آخره.

بعد ذلك، نربع كل قيمة من هذه القيم، وقد نجد في الواقع أنه من الأفضل تربيع كل قيمة مباشرة بعد حسابها. إذن نملأ هذا الصف في الجدول. بعد ذلك علينا ضرب كل قيمة من هذه القيم في التكرار المناظر لها. مرة أخرى، قد نجد أنه من الأفضل إجراء ذلك مباشرة بعد حساب كل قيمة. لذا قد نفضل إيجاد القيم رأسيًّا على طول كل عمود بدلًا من إيجادها أفقيًّا على طول كل صف.

بذلك نكون قد أكملنا ملء الجدول. لإيجاد الانحراف المعياري، علينا حساب مجموع القيم الخمس في الصف السفلي من الجدول، ثم القسمة على إجمالي التكرارات، الذي نعرف أنه يساوي ٩٢، ثم إيجاد الجذر التربيعي. هذا يعطينا الجذر التربيعي لـ ٩٠٧٦٠٫٨٦٩٥ إلى آخره مقسومًا على ٩٢. بكتابة الناتج على صورة عدد عشري، نجد أنه يساوي ٣١٫٤٠٩٠ إلى آخره. بعد ذلك، نقرب هذا العدد لأقرب منزلتين عشريتين كما هو مطلوب؛ لنحصل على ٣١٫٤١. إذن، وجدنا أن الانحراف المعياري للدرجات، الذي نتذكر أنه قيمة تقديرية نظرًا لأن البيانات فترات، هو٣١٫٤١ لأقرب منزلتين عشريتين.