فيديو الدرس: الدوال اللوغاريتمية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نتعرف على الدالة اللوغاريتمية، وكيف نكتبها ونحسب قيمتها باعتبارها معكوس الدالة الأسية. سنبدأ بتذكر الرابط بين الدوال الأسية والدوال اللوغاريتمية.

الدوال اللوغاريتمية هي معكوس الدوال الأسية. إذا نظرنا إلى الدالة الأسية ﺩﺱ تساوي ﺃ أس ﺱ، فسنجد أن معكوس ﺩﺱ يساوي لوغاريتم ﺱ للأساس ﺃ. وهذا يمكننا من حل المعادلات الأسية باستخدام اللوغاريتمات. إذا كان ﺹ يساوي ﺃ أس ﺱ، فإن ﺱ يساوي لوغاريتم ﺹ للأساس ﺃ. إننا نتذكر أيضًا أن اللوغاريتم الطبيعي الذي يكتب على الصورة: اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ هو معكوس ﻫ أس ﺱ. وأخيرًا، عند كتابة لوغاريتم بدون أساس، يفترض أن الأساس يساوي ١٠. أي إن لوغاريتم ﺱ هو نفسه لوغاريتم ﺱ للأساس ١٠. سنتناول الآن بعض الأسئلة التي تتضمن الدوال الأسية والدوال اللوغاريتمية.

الدالة ﺩﺱ تساوي اثنين ﻫ أس ﺱ زائد ثلاثة، لها معكوس على الصورة: ﺭﺱ تساوي اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺃﺱ زائد ﺏ. ما قيمة كل من ﺃ وﺏ؟

لإيجاد معكوس أي دالة، نبدأ بالتعويض عن ﺩﺱ بـ ﺹ. في هذه الحالة، ﺹ يساوي اثنين ﻫ أس ﺱ زائد ثلاثة. خطوتنا التالية هي إعادة ترتيب هذه المعادلة لعزل ﺱ في طرف بمفرده. سنبدأ بطرح ثلاثة من كلا الطرفين؛ بحيث يكون ﺹ ناقص ثلاثة يساوي اثنين ﻫ أس ﺱ. يمكننا بعد ذلك قسمة طرفي المعادلة على اثنين. ‏‏ﺹ ناقص ثلاثة على اثنين يساوي ﻫ أس ﺱ. يمكن إعادة كتابة الطرف الأيمن في صورة: نصف ﺹ ناقص ثلاثة على اثنين. يمكننا بعد ذلك أخذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا الطرفين؛ فنحن نعلم أن اللوغاريتم الطبيعي ﺱ يساوي معكوس ﻫ أس ﺱ. هذا يعطينا اللوغاريتم الطبيعي لنصف ﺹ ناقص ثلاثة على اثنين يساوي ﺱ.

وبما أننا عزلنا ﺱ في طرف بمفرده، فيمكننا أن نبدل المتغيرين ﺹ وﺱ. إذن، معكوس الدالة ﺩﺱ يساوي اللوغاريتم الطبيعي لنصف ﺱ ناقص ثلاثة على اثنين. وبما أن المعكوس مشار إليه بـ ﺭﺱ، فسيكون الآن على الصورة: اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺃﺱ زائد ﺏ؛ حيث ﺃ يساوي نصفًا، وﺏ يساوي سالب ثلاثة على اثنين أو سالب ثلاثة أنصاف. يمكن استخدام هذه الطريقة لإيجاد معكوس أي دالة.

في سؤالنا التالي، سنتناول مجال ومدى الدوال الأسية واللوغاريتمية.

لدينا الدالة ﺩﺱ تساوي ﺏ أس ﺱ؛ حيث ﺏ عدد حقيقي موجب لا يساوي واحدًا. ما مجال معكوس ﺩﺱ؟

هناك عدة طرق لحل هذه المسألة. إحدى هذه الطرق هي تذكر أن الدوال الأسية والدوال اللوغاريتمية هي معكوسات بعضها لبعض. هذا يعني أنه إذا كانت الدالة ﺩﺱ تساوي ﺏ أس ﺱ، فإن الدالة العكسية تساوي لوغاريتم ﺱ للأساس ﺏ. المطلوب هو إيجاد مجال هذه الدالة. مجال أي دالة هو مجموعة القيم المدخلة. نحن نعلم أنه يمكننا إيجاد لوغاريتم القيم الموجبة فقط. هذا يعني أن مجال الدالة العكسية هو ﺱ أكبر من صفر؛ حيث القيم التي يمكننا التعويض بها في الدالة لوغاريتم ﺱ للأساس ﺏ هي قيم ﺱ الأكبر من صفر فقط.

وهناك طريقة بديلة هنا؛ وهي التفكير في التمثيلات البيانية للدوال. لدينا هنا منحنى الدالة ﺩﺱ. إنه يتقاطع مع المحور ﺹ عند ﺏ، والمحور ﺱ يمثل خط تقارب. معكوس أي دالة هو انعكاسها حول المستقيم ﺹ يساوي ﺱ. وهذا يعني أن منحنى الدالة لوغاريتم ﺱ للأساس ﺏ يقطع المحور ﺱ عند ﺏ، والمحور ﺹ يمثل خط تقارب. بما أن المجال هو مجموعة القيم المدخلة، فيمكننا أن نلاحظ من المنحنى أن مجال معكوس الدالة ﺩﺱ يساوي جميع الأعداد الأكبر من صفر.

وهناك طريقة أخيرة؛ وهي أن نتذكر أن مجال ﺩ يساوي مدى المعكوس. وبالمثل، فإن مدى ﺩﺱ يساوي مجال المعكوس. مدى أي دالة يساوي مجموعة القيم المخرجة. يمكننا أن نلاحظ من المنحنى أن مدى ﺩﺱ يساوي جميع القيم الأكبر من صفر. وهذا يثبت مرة أخرى أن مجال الدالة العكسية هو قيم ﺱ الأكبر من صفر.

يتضمن السؤال التالي حل معادلة لوغاريتمية.

انظر الدالة ‎ ﺩﺱ تساوي لوغاريتم ثلاثة ﺱ ناقص واحد للأساس اثنين. إذا كان ﺩﺃ تساوي ثلاثة، فأوجد قيمة ﺃ.

نحن نعلم أن ﺩﺃ تساوي ثلاثة؛ لذا يمكننا البدء بالتعويض بهذه القيم في الدالة ﺩﺱ. هذا يعطينا لوغاريتم ثلاثة ﺃ ناقص واحد للأساس اثنين يساوي ثلاثة. إننا نتذكر أن الدوال اللوغاريتمية هي معكوسات الدوال الأسية. وهذا يعني أنه إذا كان لوغاريتم ﺹ للأساس ﺃ يساوي ﺱ، فإن ﺃ أس ﺱ يساوي ﺹ. في هذا السؤال، الأساس ﺃ يساوي اثنين والمتغير ﺹ يساوي ثلاثة ﺃ ناقص واحد، والمتغير ﺱ يساوي ثلاثة. إذن، اثنان تكعيب يساوي ثلاثة ﺃ ناقص واحد.

نحن نعلم أن اثنين تكعيب يساوي ثمانية. يمكننا بعد ذلك إضافة واحد إلى طرفي هذه المعادلة لتصبح ثلاثة ﺃ يساوي تسعة. بقسمة طرفي هذه المعادلة على ثلاثة، نحصل على ﺃ يساوي ثلاثة. إذا كانت الدالة ﺩﺱ تساوي لوغاريتم ثلاثة ﺱ ناقص واحد للأساس اثنين وﺩﺃ تساوي ثلاثة، فإن قيمة ﺃ تساوي ثلاثة. يمكننا التأكد من صحة هذه الإجابة باستخدام الآلة الحاسبة عن طريق التعويض بالقيمة لدينا في الدالة الأصلية.

في السؤال التالي، نريد إيجاد أساس دالة لوغاريتمية.

إذا كان التمثيل البياني للدالة ﺩﺱ تساوي لوغاريتم ﺱ للأساس ﺃ يمر بالنقطة ١٠٢٤، خمسة، فأوجد قيمة ﺃ.

إننا نعلم من المعطيات أن التمثيل البياني للدالة يمر بالنقطة التي إحداثي ﺱ لها هو ١٠٢٤، وإحداثي ﺹ لها هو خمسة. يمكن إعادة كتابة الدالة ﺩﺱ على الصورة: ﺹ يساوي لوغاريتم ﺱ للأساس ﺃ. عند التعامل مع الدوال، فإن ﺩﺱ وﺹ تكونان قابلتين للتبديل معًا. وبالتعويض بقيمتي ﺱ وﺹ، يصبح لدينا خمسة يساوي لوغاريتم ١٠٢٤ للأساس ﺃ. نحن نعلم أن الدوال اللوغاريتمية والدوال الأسية هي معكوسات بعضها لبعض. وهذا يعني أنه إذا كان ﺱ يساوي لوغاريتم ﺹ للأساس ﺃ، فإن ﺃ أس ﺱ يساوي ﺹ.

يمكننا إعادة كتابة المعادلة على الصورة الأسية؛ بحيث يصبح ﺃ أس خمسة يساوي ١٠٢٤. يمكننا هنا أخذ الجذر الخامس لكلا طرفي المعادلة لإيجاد قيمة ﺃ. الجذر الخامس للعدد ١٠٢٤ يساوي أربعة. يمكننا التحقق من ذلك عن طريق حساب قيمة أربعة أس خمسة. هذا يساوي أربعة مضروبًا في أربعة مضروبًا في أربعة مضروبًا في أربعة مضروبًا في أربعة. أربعة مضروبًا في أربعة يساوي ١٦. عندما نضرب هذا في أربعة، نحصل على ٦٤. ‏‏٦٤ مضروبًا في أربعة يساوي ٢٥٦. وأخيرًا، بضرب هذا في أربعة نحصل على ١٠٢٤. إذا كانت الدالة ﺩﺱ، التي تساوي لوغاريتم ﺱ للأساس ﺃ، تمر بالنقطة ١٠٢٤، خمسة، فإن الأساس ﺃ يساوي أربعة.

يتضمن السؤال الأخير حل معادلة لوغاريتمية من الحياة الواقعية.

الرقم الهيدروجيني للمحلول يعطى من خلال الصيغة: الرقم الهيدروجيني يساوي سالب لوغاريتم H موجب؛ حيث H موجب هو تركيز أيونات الهيدروجين. احسب تركيز أيونات الهيدروجين في محلول رقمه الهيدروجيني هو ٨٫٤.

الرقم الهيدروجيني لدينا يساوي ٨٫٤، إذن ٨٫٤ يساوي سالب لوغاريتم H موجب. إننا نحاول إيجاد هذه القيمة؛ وهي تركيز أيونات الهيدروجين. نحن نتذكر أنه عند كتابة اللوغاريتم بدون أساس، فإننا نفترض أن الأساس يساوي ١٠. أي إن لوغاريتم ﺱ هو نفسه لوغاريتم ﺱ للأساس ١٠. يمكننا ضرب طرفي المعادلة في سالب واحد، بحيث يصبح لدينا سالب ٨٫٤ يساوي لوغاريتم H موجب للأساس ١٠. نحن نعلم أن الدالة اللوغاريتمية هي معكوس الدالة الأسية. إذا كان ﺱ يساوي لوغاريتم ﺹ للأساس ﺃ، فإن ﺃ أس ﺱ يساوي ﺹ. هذا يعني أن ١٠ أس سالب ٨٫٤ يساوي H موجب. إذن، تركيز أيونات الهيدروجين يساوي ١٠ أس سالب ٨٫٤.

سنلخص الآن النقاط الأساسية التي تناولناها في هذا الفيديو. وجدنا في هذا الفيديو أن الدوال اللوغاريتمية والدوال الأسية هي معكوسات بعضها لبعض. وهذا يعني أنه إذا كان ﺱ يساوي لوغاريتم ﺹ للأساس ﺃ، فإن ﺃ أس ﺱ يساوي ﺹ. وهذا يمكننا من التبديل بين المعادلات الأسية والمعادلات اللوغاريتمية. وجدنا أيضًا أنه إذا كانت ﺩﺱ تساوي ﻫ أس ﺱ، فإن معكوس هذه الدالة يساوي اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ. مجال ﺩﺱ يساوي مدى الدالة العكسية. وبالمثل، فإن مدى ﺩﺱ يساوي مجال الدالة العكسية. وهذا لأن ﺩﺱ وﺩ سالب واحد لـ ﺱ هما انعكاسان إحداهما للأخرى حول الخط ﺹ يساوي ﺱ. وأخيرًا، تذكرنا أنه عند كتابة اللوغاريتم بدون أساس، فإن الأساس يساوي ١٠. أي إن لوغاريتم ﺱ يساوي لوغاريتم ﺱ للأساس ١٠.