تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

فيديو: تحويلات دوال الجذر التربيعي

أحمد مدحت

يوضح الفيديو تحويلات دوال الجذر التربيعي: الانتقال الأفقي، والانتقال الرأسي، والشكل والاتجاه لمنحنى الدالة.

١٣:١٦

‏نسخة الفيديو النصية

هنتكلم عن تحويلات دوال الجذر التربيعي.

بالنسبة للتحويلات اللي نقدر نطبقها على التمثيل البياني لدوال الجذر التربيعي. فممكن تكون عبارة عن انتقال أفقي أو إزاحة أفقية للمنحنى بتاع التمثيل البياني للدالة. أو ممكن يكون الانتقال عبارة عن إزاحة رأسية أو انتقال رأسي. أو ممكن يكون التحويل عبارة عن تغير في الشكل والاتجاه لمنحنى التمثيل البياني.

بالنسبة للدالة الرئيسية أو الدالة الأم لدوال الجذر التربيعي. فهي الدالة د س اللي بتساوي الجذر التربيعي لـ س. أما الصورة العامة اللي من خلالها هنعرف إزاي نطبّق التحويلات المختلفة، فهي د س تساوي أ الجذر التربيعي لـ س ناقص ح، زائد ك.

هنبدأ نشوف إزاي نقدر نطبق التحويلات المختلفة من خلال الصورة العامة اللي عندنا، بس في الصفحة اللي جاية. فهنقلب الصفحة.

الصورة العامة هي د س تساوي أ في، الجذر التربيعي لـ س ناقص ح، زائد ك. بالنسبة للمتغيرات أ وَ ح وَ ك، فكل متغير بيدُل على تحويل معيّن. فبالنسبة للمتغير ح فهو بيدل على الانتقال أو الإزاحة الأفقية لمنحنى الدالة سواءً كان لليمين أو للشمال. أما بالنسبة للمتغير ك فهو بيدُل على الانتقال أو الإزاحة الرأسية لمنحنى الدالة سواء كانت الإزاحة دي لأعلى أو لأسفل. أما بالنسبة للمتغير أ فهو بيدل على الشكل والاتجاه بتاع منحنى الدالة.

هنبدأ بالتحويل الأول وهو الانتقال الأفقي لمنحنى الدالة، واللي هيمثله المتغير ح. فبالنسبة لقيمة المتغير ح فممكن تكون موجبة أو سالبة. لمّا قيمة ح تكون موجبة ده معناه إن الانتقال الأفقي أو الإزاحة الأفقية هتبقى ناحية اليمين، ومقدارها هيكون ح وحدة. فمثلًا ص تساوي الجذر التربيعي لـ س ناقص اتنين. هنلاقي إن ح تساوي اتنين. وده معناه إن قيمة ح موجبة. وده معناه إن إزاحة المنحنى أو التمثيل البياني للدالة الرئيسية أو الدالة الأم، هيبقى وحدتين لليمين.

أما لمّا تبقى ح سالبة، فده معناه إن الانتقال الأفقي أو الإزاحة الأفقية هتبقى ناحية الشمال، ومقدارها هيكون مقياس ح أو القيمة المطلقة لـ ح وحدة. فعلى سبيل المثال الدالة ص تساوي الجذر التربيعي لـ س زائد اتنين. هنلاقي إن ح بتساوي سالب اتنين. وده معناه إن قيمة ح سالبة. بالتالي هتبقى إزاحة المنحنى أو التمثيل البياني للدالة الرئيسية أو الدالة الأم، هيبقى عبارة عن وحدتين للشمال.

بعد كده هنبدأ نتأكّد من خلال التمثيل البياني للدالة الرئيسية أو الدالة الأم، واللي هي ص تساوي الجذر التربيعي لـ س. وكمان التمثيل البياني للدالة ص تساوي الجذر التربيعي لـ س ناقص اتنين. وكمان التمثيل البياني للدالة ص تساوي الجذر التربيعي لـ س زائد اتنين. فهيظهر لنا التمثيل البياني للتلات دوال دول.

هنلاحظ من خلال الشكل اللي عندنا إن التمثيل البياني للدالة ص تساوي الجذر التربيعي لـ س ناقص اتنين. اتحرّك أفقيًّا ناحية اليمين وحدتين عن المنحنى بتاع الدالة ص تساوي الجذر التربيعي لـ س. واللي هي الدالة الرئيسية. هنلاحظ كمان إن المنحنى أو التمثيل البياني للدالة ص تساوي الجذر التربيعي لـ س زائد اتنين. اتحرك أفقيًّا ناحية الشمال وحدتين عن المنحنى بتاع الدالة الرئيسية ص تساوي الجذر التربيعي لـ س. كمان من خلال التمثيل البياني بتاع الداول اللي عندنا. هنلاحظ إن المجال بتاع الدالة ص تساوي الجذر التربيعي لـ س ناقص اتنين. هو عبارة عن مجموعة كل س حيث س أكبر من أو تساوي اتنين. والاتنين دي هي قيمة ح.

أما بالنسبة للمجال بتاع الدالة ص تساوي الجذر التربيعي لـ س، فهيكون عبارة عن مجموعة كل س حيث س أكبر من أو تساوي صفر. والصفر ده هيكون عبارة عن قيمة ح. أما الدالة ص تساوي الجذر التربيعي لـ س زائد اتنين، فهيكون المجال بتاعها هو مجموعة كل س؛ حيث س أكبر من أو تساوي سالب اتنين. والسالب اتنين دي هي قيمة ح. ده معناه إن إحنا نقدر نقول إن مجال الدالة هيكون عبارة عن مجموعة كل س؛ حيث س أكبر من أو تساوي ح.

بكده يبقى إحنا عرفنا التحول الأول لدوال الجذر التربيعي، واللي هو الانتقال الأفقي، واللي بيمثّله المتغير ح. بعد كده هنشوف التحول التاني لدوال الجذر التربيعي، واللي هو عبارة عن الانتقال الرأسي أو الإزاحة الرأسية، واللي بيمثله المتغير ك.

بالنسبة للمتغير ك فقيمته ممكن تكون موجبة أو ممكن تكون سالبة. بالنسبة لقيمة ك لمّا تبقى موجبة ده معناه إن الانتقال الرأسي أو الإزاحة الرأسية هتبقى لأعلى ومقدارها هيكون ك وحدة. والمثال على كده هيبقى زي الدالة ص تساوي الجذر التربيعي لـ س زائد اتنين. هنلاحظ إن ك تساوي اتنين، وده معناه إن قيمة ك موجبة. وبالتالي هتبقى إزاحة التمثيل البياني للدالة الرئيسية أو الدالة الأم عبارة عن وحدتين لأعلى. أما لمّا تبقى قيمة ك سالبة فده معناه إن الانتقال الرأسي أو الإزاحة الرأسية هتكون لأسفل يعني لتحت. ومقدارها هيكون مقياس ك أو القيمة المطلقة لـ ك وحدة. والمثال على كده هتبقى الدالة ص تساوي الجذر التربيعي لـ س ناقص اتنين.

وبالنسبة للدالة ص تساوي الجذر التربيعي لـ س ناقص اتنين، فهنلاحظ إن ك بتساوي سالب اتنين. وده معناه إن قيمة ك سالبة. وبالتالي هتبقى إزاحة التمثيل البياني للدالة الرئيسية أو الدالة الأم، هتكون عبارة وحدتين لأسفل.

علشان نتأكد هنعمل التمثيل البياني للدالة الرئيسية أو الدالة الأم، واللي هي ص تساوي الجذر التربيعي لـ س. وكمان هنعمل التمثيل البياني للدالة ص تساوي الجذر التربيعي لـ س زائد اتنين. والتمثيل البياني بتاع الدالة ص تساوي الجذر التربيعي لـ س ناقص اتنين. فهيظهر لنا التمثيل البياني بتاع التلات دول. هنلاحظ من خلال التمثيل البياني للدوال اللي عندنا إن الدالة ص تساوي الجذر التربيعي لـ س زائد اتنين. اتحركت رأسيًّا لأعلى بمقدار وحدتين عن التمثيل البياني للدالة الأم، واللي هي ص تساوي الجذر التربيعي لـ س. أما الدالة ص تساوي الجذر التربيعي لـ س ناقص اتنين، فهنلاحظ إنها اتحركت رأسيًّا لأسفل بمقدار وحدتين عن التمثيل البياني للدالة الأم.

كمان من خلال التمثيل البياني بتاع الداول اللي عندنا. هنلاحظ إن المدى بتاع الدالة ص تساوي الجذر التربيعي لـ س زائد اتنين، هيكون عبارة عن مجموعة كل ص؛ حيث ص أكبر من أو تساوي اتنين. والاتنين دي قيمة هي ك. أما بالنسبة للدالة ص تساوي الجذر التربيعي لـ س، فمداها هيكون عبارة عن مجموعة كل ص؛ حيث ص أكبر من أو تساوي صفر. والصفر ده هو قيمة ك. أما بالنسبة للدالة ص تساوي الجذر التربيعي لـ س ناقص اتنين، فهيكون مداها هو عبارة عن مجموعة كل ص؛ حيث ص أكبر من أو تساوي سالب اتنين. وقيمة ك هي اللي بتساوي سالب اتنين.

ده معناه إن قيمة ك بتأثر على المدى بتاع الدالة. لكن مش بس قيمة ك، ده كمان شكل واتجاه المنحنى بتاع الدالة واللي بيمثله المتغير أ. فلو كانت أ أكبر من صفر، فهيبقى المدى عبارة عن مجموعة كل ص؛ حيث ص أكبر من أو تساوي ك. أما لو كانت أ أقل من صفر، فهيبقى المدى عبارة عن مجموعة كل ص؛ حيث ص أقل من أو تساوي ك.

بكده إحنا شُفنا الانتقال الأفقي أو الإزاحة الأفقية واللي بيمثلها المتغير ح. وكمان شُفنا الانتقال الرأسي أو الإزاحة الرأسية واللي بيمثّلها المتغير ك. بعد كده هنشوف الشكل والاتجاه واللي بيمثّله المتغير أ.

بالنسبة للمتغير أ فإحنا عندنا تلات حالات. الحالة الأولى هي أ أقل من صفر. الحالة التانية هي مقياس أ أكبر من واحد. الحالة التالتة هي مقياس أ أكبر من صفر من وأقل من واحد.

هنبدأ بالحالة الأولى واللي هي أ أقل من صفر. لمّا تبقى أ أقل من صفر؛ يعني أ تبقى قيمة سالبة، هنلاقي إن التمثيل البياني هينعكس حوالين محور السينات. والمثال على كده هيبقى الدالة ص تساوي سالب الجذر التربيعي لـ س.

في الحالة التانية لمّا يبقى مقياس أ أكبر من واحد. هنلاقي التمثيل البياني بيوسع في الاتجاه الرأسي زي مثلًا الدالة ص تساوي تلاتة الجذر التربيعي لـ س، أو الدالة ص تساوي سالب تلاتة الجذر التربيعي لـ س.

أما الحالة التالتة لمّا يبقى مقياس أ أكبر من صفر وأقل من واحد. هنلاقي إن التمثيل البياني بيضيق في الاتجاه الرأسي. والمثال على كده الدالة ص تساوي نص الجذر التربيعي لـ س. أو ص تساوي سالب نص الجذر التربيعي لـ س.

هنبدأ نشوف التمثيل البياني بتاع الدوال المختلفة اللي عندنا. وهنبدأ بالحالة الأولى واللي فيها أ أقل من صفر. في الحالة دي كان المثال بتاعنا هو الدالة ص تساوي سالب الجذر التربيعي لـ س. فهيظهر لنا التمثيل البياني بتاع الدالة الرئيسية أو الدالة الأم، واللي هي ص تساوي الجذر التربيعي لـ س. وكمان التمثيل البياني بتاع الدالة ص تساوي سالب الجذر التربيعي لـ س، على نفس المستوى الإحداثي.

هنلاحظ من خلال الشكل اللي عندنا إن التمثيل البياني للدالة الرئيسية أو الدالة الأم، واللي هي ص تساوي الجذر التربيعي لـ س، انعكس حوالين محور السينات لمّا كانت أ أقل من صفر.

بعد كده هنشوف الحالة التانية وهي مقياس أ أكبر من واحد. لمّا يبقى مقياس أ أكبر من واحد ده معناه إن قيمة أ ممكن تكون موجبة أو سالبة. لكن بشرط إننا لمّا ناخد المقياس للقيمة دي تكون أكبر من الواحد. زي مثلًا التلاتة والسالب تلاتة. فمقياس التلاتة بيساوي تلاتة. والتلاتة أكبر من الواحد. ومقياس السالب تلاتة بيساوي تلاتة. والتلاتة أكبر من الواحد.

فإحنا عندنا مثالين. مثال: لو كانت أ قيمة موجبة، وهو ص تساوي تلاتة الجذر التربيعي لـ س. ومثال لو كانت أ قيمة سالبة، وهو ص تساوي سالب تلاتة الجذر التربيعي لـ س. هيظهر لنا التمثيل البياني بتاع الدالتين دول مع الدالة الرئيسية أو الدالة الأم على نفس المستوى الإحداثي. هنلاحظ من خلال التمثيل البياني للدوال اللي عندنا، إن الدالتين ص تساوي تلاتة الجذر التربيعي لـ س، وَ ص تساوي سالب تلاتة جذر التربيعي لـ س، اتسعوا في الاتجاه الرأسي. كمان هنلاحظ إن الدالة ص تساوي سالب تلاتة الجذر التربيعي لـ س، انعكست حوالين محور السينات؛ وده لأن أ قيمة سالبة، يعني أ أقل من صفر. وهي دي الحالة الأولى، واللي بينعكس فيها التمثيل البياني حوالين محور السينات.

بعد كده هنشوف الحالة التالتة، وهي لمّا يبقى مقياس أ أكبر من صفر وأقل من واحد. لمّا يبقى مقياس أ أكبر من صفر وأقل من واحد، ده معناه إن قيمة أ ممكن تكون موجبة أو سالبة. لكن عندنا شرط، وهو إن إحنا لمّا ناخد المقياس للقيمة دي يكون المقياس أكبر من صفر وأقل من واحد، زي مثلًا نص وسالب نص.

فإحنا عندنا مثالين. مثال لو كانت أ موجبة، وهو الدالة ص تساوي نص الجذر التربيعي لـ س. ومثال لو كانت أ سالبة، وهو الدالة ص تساوي سالب نص الجذر التربيعي لـ س.

بعد كده هيظهر لنا التمثيل البياني للدالتين دول ومعاهم الدالة الأم على نفس المستوى الإحداثي. هنلاحظ من خلال التمثيل البياني للدوال اللي عندنا، إن الدالتين ص تساوي نص الجذر التربيعي لـ س، وَ ص تساوي سالب نص الجذر التربيعي لـ س، اضيَقّوا في الاتجاه الرأسي. وهنلاحظ كمان إن الدالة ص تساوي سالب نص الجذر التربيعي لـ س، انعكست حوالين محور السينات؛ وده لأن أ قيمة سالبة يعني أ أقل من صفر.

بكده يبقى إحنا خلصنا التلات حالات بتوع المتغير أ، واللي بيمثل الشكل والاتجاه بتاع الدالة. هنقلب الصفحة.

بكده يبقى إحنا في الفيديو ده عرفنا تحويلات دوال الجذر التربيعي اللي الصورة العامة بتاعتها على الشكل: د س تساوي أ الجذر التربيعي لـ س ناقص ح، زائد ك. وعرفنا إن المتغير ح بيمثل الانتقال الأفقي أو الإزاحة الأفقية. وعرفنا إن الإزاحة هتبقى بمقدار ح وحدة لليمين لو كانت ح موجبة. وإن الإزاحة هتبقى بمقدار مقياس ح وحدة للشمال لو كانت ح سالبة.

بعد كده عرفنا إن المتغير ك بيمثل الانتقال الرأسي أو الإزاحة الرأسية. وعرفنا إن الإزاحة هتكون بمقدار ك وحدة لأعلى لو كانت ك موجبة. وإن الإزاحة هتبقى بمقدار مقياس ك في وحدة لأسفل لو كانت ك سالبة.

بعد كده عرفنا إن المتغير أ هو اللي هيمثّل الشكل والاتجاه بتاع المنحنى أو التمثيل البياني للدالة. وكان عندنا تلات حالات: الحالة الأولى وهي أ أقل من صفر، وكان فيها التمثيل البياني بينعكس حوالين محور السينات. والحالة التانية وهي مقياس أ أكبر من واحد، وكان فيها التمثيل البياني بيتسع رأسيًّا. والحالة التالتة وهي مقياس أ أكبر من صفر وأقل من واحد، وكان فيها التمثيل البياني بيضيَقّ رأسيًّا.