فيديو: حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية: إيجاد طول ضلع

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد طول ضلع ناقصًا في مثلث قائم الزاوية من خلال اختيار النسبة المثلثية المناسبة لزاوية معطاة.

١٧:٢٧

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد طول ضلع ناقصًا في مثلث قائم الزاوية من خلال اختيار النسبة المثلثية المناسبة لزاوية معطاة. إذن ما هذه النسب المثلثية؟ عندما يكون لدينا مثلث قائم الزاوية، فإننا نستخدم الاختصار ‪SOHCAHTOA‬‏ ليساعدنا في تذكر تعريفات النسب المثلثية؛ وهي: الجيب، وجيب التمام، والظل. فنقول إن ‪sin 𝜃‬‏ يساوي طول الضلع المقابل على طول الوتر. و‪cos‬‏ الزاوية ‪𝜃‬‏ يساوي طول الضلع المجاور على طول الوتر. و‪tan‬‏ الزاوية ‪𝜃‬‏ يساوي طول الضلع المقابل على طول الضلع المجاور.

لكن لكي تكون هذه النسب صحيحة، علينا تسمية أضلاع المثلث على نحو صحيح. وهذا يعني أننا سنراعي دائمًا الزاوية التي نستخدمها. هنا، هذه هي الزاوية ‪𝜃‬‏. الضلع المقابل هو الضلع المقابل مباشرة للزاوية المعنية. والضلع المجاور هو الضلع المجاور للزاوية، وهو ليس الوتر. والوتر هو دائمًا الضلع الأطول في المثلث القائم الزاوية. ويكون مقابلًا للزاوية القائمة مباشرة. عندما نتذكر النسب المثلثية ونتمكن من تسمية أضلاع المثلث القائم الزاوية بشكل صحيح، نكون حينها مستعدين لبدء النظر في كيفية حساب أطوال الأضلاع المجهولة في المثلث القائم الزاوية.

إليك مثالًا حيث مطلوب منا إيجاد طول ضلع ناقص.

أوجد قيمة ‪𝑥‬‏ في الشكل الموضح. قرب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

أول ما نلاحظه هو أن هذا مثلث قائم الزاوية. ونعرف قياس زاوية وطول ضلع فيه. وهذا يعني أننا لكي نحل المسألة، علينا استخدام النسب المثلثية. نتذكر الاختصار ‪SOHCATOA‬‏. ‏‏‪Sin 𝜃‬‏ يساوي طول الضلع المقابل على طول الوتر. و‪cos 𝜃‬‏ يساوي طول الضلع المجاور على طول الوتر. و‪tan 𝜃‬‏ يساوي طول الضلع المقابل على طول الضلع المجاور. نقطة البداية دائمًا هي الزاوية المعطاة. لدينا في المعطيات زاوية قياسها ‪68‬‏ درجة. ومن ثم، يمكننا تسمية الضلع ‪𝑥‬‏ بالضلع المقابل، والضلع الذي طوله يساوي ‪11‬‏ بالضلع المجاور، والوتر يكون دائمًا الضلع المقابل للزاوية القائمة.

بمجرد تسمية هذه الأضلاع، نلاحظ أن لدينا طول الضلع المجاور. وما نريد إيجاده هو طول الضلع المقابل. بما أننا نتعامل مع الضلعين المقابل والمجاور، فسنحسب نسبة ظل الزاوية. وبما أن ‪tan 𝜃‬‏ يساوي طول الضلع المقابل على طول الضلع المجاور، فإننا نعوض عن الزاوية بالقيمة ‪68‬‏ درجة. الضلع المقابل هو الضلع الذي نحاول إيجاد قيمته، ‪𝑥‬‏، وطول الضلع المجاور يساوي ‪11‬‏.

للحل لإيجاد قيمة ‪𝑥‬‏، علينا أن نجعله في طرف بمفرده. يمكننا إجراء ذلك بضرب كلا طرفي هذه المعادلة في ‪11‬‏. ‏‏‪11‬‏ في ‪tan 68‬‏ درجة سيساوي طول الضلع ‪𝑥‬‏. من هنا، لإيجاد الحل، علينا استخدام الآلة الحاسبة. سنكتب ‪11‬‏ في ‪tan 68‬‏. وسيظهر لنا الناتج ‪27.22595‬‏. إذا لم تعطك الآلة الحاسبة هذا الحل، فعليك التأكد من ضبطها على وضع الدرجات لا وضع الراديان.

سنأخذ ما أوجدناه بالآلة الحاسبة ونعوض به في المعادلة. وبذلك، نجد أن طول الضلع الناقص ‪𝑥‬‏ يساوي ‪27.22595‬‏. نريد تقريب الناتج لأقرب منزلتين عشريتين. للتقريب للمنزلة العشرية الثانية، ننظر إلى اليمين. بما أن لدينا خمسة في المنزلة العشرية الثالثة، فعلينا التقريب لأعلى. وسنجد أن ‪𝑥‬‏ يساوي ‪27‬‏ و‪23‬‏ من مائة، أي ‪27.23‬‏. ونظرًا لأن السؤال لم يعطنا أي وحدات، فلا بأس من ترك الناتج على هذه الصورة. إذن، ‪𝑥‬‏ يساوي ‪27.23‬‏.

إليك مثالًا آخر. هذه المرة، سيكون لدينا طولا ضلعين ناقصان. وعلينا الحل لإيجاد طولي الضلعين الناقصين.

أوجد قيمة كل من ‪𝑥‬‏ و‪𝑦‬‏ مقربًا إجابتك لأقرب ثلاث منازل عشرية.

نلاحظ أن هذا مثلث قائم الزاوية. لدينا في المعطيات زاوية وطول ضلع، وهو ما يعني أنه يمكننا استخدام النسب المثلثية للحل لإيجاد طولي الضلعين الناقصين، من خلال تذكر الاختصار ‪SOHCAHTOA‬‏. ‏‏‪Sin 𝜃‬‏ يساوي طول الضلع المقابل على طول الوتر. و‪cos 𝜃‬‏ يساوي طول الضلع المجاور على طول الوتر. و‪tan 𝜃‬‏ يساوي طول الضلع المقابل على طول الضلع المجاور.

مفتاح الحل هنا هو تسمية أضلاع هذا المثلث بشكل صحيح. ولإجراء ذلك، سنستخدم الزاوية المعطاة باعتبارها نقطة البداية. سنسمي أطوال الأضلاع بالنسبة إلى الزاوية المعطاة. ‏‏‪𝑦‬‏ هو الضلع المقابل للزاوية التي قياسها ‪40‬‏ درجة. و‪𝑥‬‏ هو الضلع المجاور للزاوية التي قياسها ‪40‬‏ درجة. ويكون الوتر دائمًا الضلع المقابل للزاوية القائمة.

أولًا، دعونا نحاول الحل لإيجاد قيمة ‪𝑦‬‏. إذا كنا نريد إيجاد قيمة ‪𝑦‬‏، ونعرف طول الوتر، فسنستخدم نسبة جيب الزاوية؛ لأن ‪sin 𝜃‬‏ يساوي طول الضلع المقابل على طول الوتر. هذا يعني أنه يمكننا القول إن ‪sin 40‬‏ درجة يساوي ‪𝑦‬‏ على ‪14‬‏. بما أن هدفنا هو الحل لإيجاد قيمة ‪𝑦‬‏، فسنضرب كلا الطرفين في ‪14‬‏. وعندئذ، سنجد أن ‪14‬‏ في ‪sin 40‬‏ درجة يساوي ‪𝑦‬‏.

عندما نكتب ذلك على الآلة الحاسبة، سنحصل على ‪8.99902‬‏ وهكذا مع توالي الأرقام. إذا لم تحصل على هذا الناتج في الآلة الحاسبة، فعليك إذن التحقق والتأكد من تشغيلها على وضع الدرجات لا وضع الراديان. نريد الإجابة مقربة إلى أقرب ثلاث منازل عشرية. ولذا، ننظر إلى المنزلة العشرية الرابعة حيث يوجد صفر، وهو ما يعني أننا سنقرب لأسفل. إذن، ‪𝑦‬‏ يساوي ‪8.999‬‏. والوحدة التي نقيس بها هي السنتيمترات. وبذلك، يمكننا القول إن ‪𝑦‬‏ يساوي ‪8.999‬‏ سنتيمترات.

بعد ذلك، علينا الحل لإيجاد قيمة ‪𝑥‬‏. ويمكننا الحل لإيجاد قيمة ‪𝑥‬‏ باستخدام نسبتين مختلفتين. يمكننا استخدام الضلع المجاور والوتر، وهو ما يمثل نسبة جيب تمام الزاوية. أو يمكننا أن نستخدم قيمة ‪𝑦‬‏ التي أوجدناها باعتبارها الضلع المقابل. وهذا يعني أننا سنستخدم نسبة ظل الزاوية؛ لأنه سيكون لدينا الضلعان المقابل والمجاور. في هذا المثال، دعونا نستخدم الوتر لأنه سيختصر لنا بعض الكتابة.

إننا نتعامل الآن مع نسبة جيب تمام الزاوية. وهذا يعني أن لدينا ‪𝑥‬‏ على ‪14‬‏. سنضرب كلا الطرفين في ‪14‬‏. ‏‏‪14‬‏ في ‪cos 40‬‏ درجة يساوي ‪𝑥‬‏. إذن، ‪𝑥‬‏ يساوي ‪10.72462‬‏ وهكذا مع توالي الأرقام. التقريب لأقرب منزلة عشرية ثالثة يعني أننا سنقرب لأعلى ليصبح الناتج ‪10.725‬‏. مرة أخرى، وحدة القياس هنا هي السنتيمتر. إذن، يمكننا القول إن ‪𝑥‬‏ يساوي ‪10.725‬‏ سنتيمترات.

لاحظ أننا في هذه المسائل كنا نتعامل مع أطوال الأضلاع الناقصة باعتبارها بسط الكسر في النسبة.

لنتناول مثالًا حيث يكون لدينا طول ضلع يصبح في مقام هذه النسبة.

أوجد قيمتي ‪𝑥‬‏ و‪𝑦‬‏ لأقرب ثلاث منازل عشرية.

لدينا مثلث قائم الزاوية. ولدينا زاوية وطول ضلع، والمطلوب هو إيجاد طولي الضلعين الناقصين. لإجراء ذلك، سنحتاج إلى النسب المثلثية. ولكي نتذكر هذه النسب، سنستخدم الاختصار ‪SOHCAHTOA‬‏. ‏‏‪Sin 𝜃‬‏ يساوي طول الضلع المقابل على طول الوتر. و‪cos 𝜃‬‏ يساوي طول الضلع المجاور على طول الوتر. و‪tan 𝜃‬‏ يساوي طول الضلع المقابل على طول الضلع المجاور. مفتاح حل هذه المسائل دائمًا هو تسمية أضلاع المثلث بشكل صحيح. وسنسميها بالنسبة إلى الزاوية المعطاة.

هذه هي نقطة البداية. طول الضلع المقابل هو طول الضلع المقابل مباشرة لهذه الزاوية. والضلع المجاور هو الضلع الذي يقع بجوار هذه الزاوية. ويكون الوتر دائمًا مقابلًا للزاوية القائمة. بمجرد تسمية أضلاع المثلث، نكون مستعدين لتحديد النسبة التي علينا استخدامها. إذا بدأنا بإيجاد طول الضلع ‪𝑦‬‏، أي الوتر، وكنا نعرف بالفعل طول الضلع المقابل، وهو ‪28‬‏ سنتيمترًا، فعلينا استخدام نسبة جيب الزاوية؛ لأن نسبة جيب الزاوية تتضمن طول الضلع المقابل وطول الوتر. وستبدو النسبة هكذا. ‏‏‪Sin 47‬‏ درجة يساوي ‪28‬‏ على ‪𝑦‬‏.

عندما يكون المتغير في المقام، سيتطلب الأمر إجراء خطوتين لإيجاد القيمة. أول ما سنفعله هو ضرب كلا طرفي المعادلة في ‪𝑦‬‏. وعندئذ، سنحصل على ‪𝑦‬‏ في ‪sin 47‬‏ درجة يساوي ‪28‬‏. إذا كان الهدف هو أن نجعل ‪𝑦‬‏ في طرف بمفرده، فعلينا في هذه المرحلة أن نقسم كلا طرفي المعادلة على ‪sin 47‬‏ درجة، هكذا. وعندئذ، سيكون لدينا في الطرف الأيسر ‪𝑦‬‏ فقط. وفي الطرف الأيمن، سيكون لدينا ‪28‬‏ على ‪sin 47‬‏ درجة. عندما ندخل ذلك في الآلة الحاسبة، نحصل على ‪38.28516‬‏ وهكذا مع توالي الأرقام. علينا تقريب الناتج لأقرب ثلاث منازل عشرية. إذن، نقرب هذه القيمة لأسفل لتصبح ‪38.285‬‏. تقاس الأضلاع بالسنتيمتر، لذا فإن وحدات القياس هنا هي السنتيمترات. وهذا يعني أننا أوجدنا أحد طولي الضلعين الناقصين.

لإيجاد طول الضلع ‪𝑥‬‏، سيكون أمامنا خياران. يمكننا استخدام طول الوتر الذي أوجدناه، وهو ‪38.285‬‏. إذا فعلنا ذلك، فسيكون علينا أن نتعامل مع الضلع المجاور والوتر، وهو ما يمثل علاقة جيب تمام الزاوية. أو يمكننا استخدام الضلع الذي طوله يساوي ‪28‬‏ سنتيمترًا. في هذه الحالة، سنستخدم الضلع المقابل والضلع المجاور، وسنحتاج إلى نسبة ظل الزاوية. هذا يعني أننا سنحل لإيجاد قيمة ‪tan 47‬‏ درجة يساوي ‪28‬‏ على ‪𝑥‬‏. أو إذا استخدمنا الوتر والضلع المجاور، فيمكننا القول إن ‪cos 47‬‏ درجة يساوي ‪𝑥‬‏ على ‪38.285‬‏.

في هذه الحالة، دعونا نتدرب على وجود المتغير ‪𝑥‬‏ في المقام. ‏‏‪𝑇𝑎𝑛 47‬‏ درجة يساوي ‪28‬‏ على ‪𝑥‬‏. للحل لإيجاد قيمة ‪𝑥‬‏، علينا أن نضرب أولًا كلا طرفي المعادلة في ‪𝑥‬‏. إذن، يمكننا القول إن ‪𝑥‬‏ في ‪tan 47‬‏ درجة يساوي ‪28‬‏. لكي نجعل ‪𝑥‬‏ في طرف بمفرده، نقسم كلا طرفي المعادلة على ‪tan 47‬‏ درجة. وبذلك، نقول إن ‪𝑥‬‏ يساوي ‪28‬‏ على ‪tan 47‬‏ درجة، وهو ما يعطينا ‪26.1104‬‏. نقرب إلى المنزلة العشرية الثالثة. ونجد أن ‪𝑥‬‏ يساوي ‪26.110‬‏ سنتيمترًا، وبذلك نكون قد أوجدنا طولي الضلعين الناقصين.

لنتناول الآن مسألة كلامية، وهي مسألة لا يبدو في الحال أن لها علاقة بالمثلثات.

حاول شخص تقدير ارتفاع برج إيفل. كانت المسافة التي قاسها من قاعدة البرج ‪250‬‏ مترًا. من تلك النقطة، قاس زاوية الارتفاع حتى قمة البرج فكانت ‪52‬‏ درجة. استخدم هذه القياسات لتقريب ارتفاع البرج لأقرب متر.

عند التعامل مع مسألة كهذه، أول ما علينا فعله هو رسم المعطيات التي لدينا. لدينا برج إيفل، وكانت المسافة التي قاسها شخص ما من قاعدة البرج ‪250‬‏ مترًا. ومن تلك النقطة، قاس زاوية ارتفاع لقمة البرج وكانت ‪52‬‏ درجة. بمجرد التعبير عن كل هذه المعطيات في صورة شكل توضيحي، يفترض أن نرى أمامنا شكل مثلث قائم الزاوية.

ارتفاع البرج يكون زاوية قائمة مع القاعدة. والارتفاع هو القيمة المجهولة لدينا، وهو ما نحاول إيجاده. والآن، علينا أن نبدأ من زاوية الارتفاع، ونسمي أضلاع المثلث القائم الزاوية. الارتفاع هو الضلع المقابل للزاوية التي نعرفها. والقاعدة التي طولها ‪250‬‏ مترًا هي الضلع المجاور لتلك الزاوية. والخط الآخر الواصل بين الشخص وقمة البرج هو الوتر.

في هذه المسألة، لا يعنينا إيجاد قيمة الوتر. لكننا نتعامل مع كل من الضلع المقابل والضلع المجاور، وهو ما يعني أننا سنفكر في النسب ‪SOHCAHTOA‬‏. ‏‏‪Sin 𝜃‬‏ يساوي طول الضلع المقابل على طول الوتر. و‪cos 𝜃‬‏ يساوي طول الضلع المجاور على طول الوتر. و‪tan 𝜃‬‏ يساوي طول الضلع المقابل على طول الضلع المجاور. بناء على المعلومات المعطاة، علينا إيجاد نسبة ظل الزاوية.

إذا كان ‪tan 𝜃‬‏ يساوي طول الضلع المقابل على طول الضلع المجاور، فيمكننا القول إن ‪tan 52‬‏ درجة يساوي ‪ℎ‬‏، وهو ارتفاع البرج، على ‪250‬‏ مترًا. ولكي نحصل على تقدير لقيمة ‪ℎ‬‏، علينا أن نوجد قيمة ‪ℎ‬‏ بحيث نحصل على ‪ℎ‬‏ في طرف بمفرده. ولذا، نضرب كلا طرفي المعادلة في ‪250‬‏. بعد ذلك، سنجد أن ‪250‬‏ في ‪tan 52‬‏ درجة يساوي ‪ℎ‬‏. عندما نكتب ذلك على الآلة الحاسبة، سنحصل على ‪319.9854‬‏ وهكذا مع توالي الأرقام. إذا أردنا التقريب لأقرب متر، فسنقرب لأقرب عدد صحيح. سننظر إذن إلى المنزلة العشرية الأولى ونلاحظ أن علينا التقريب لأعلى. ووحدة القياس المستخدمة هي المتر. إذن، يمكننا القول إن ارتفاع برج إيفل بناء على المعطيات التي لدينا يساوي تقديريًا ‪320‬‏ مترًا.

لنلق نظرة على مثال أخير لا يوجد فيه شكل توضيحي.

أوجد طول القطعة المستقيمة ‪𝐴𝐶‬‏، إذا كان ‪𝐴𝐵𝐶‬‏ مثلثًا قائم الزاوية عند ‪𝐵‬‏؛ حيث ‪sin 𝐶‬‏ يساوي تسعة على ‪16‬‏، و‪𝐴𝐵‬‏ يساوي ‪18‬‏ سنتيمترًا.

في هذه الحالة، يجب أن تكون الخطوة الأولى هي رسم مثلث قائم الزاوية يفي بهذه الشروط. أولًا، لدينا مثلث قائم الزاوية. والزاوية القائمة هي ‪𝐵‬‏. إذن سنسمي الزاوية القائمة لدينا ‪𝐵‬‏. ثم نضيف ‪𝐴‬‏ و‪𝐶‬‏. يخبرنا السؤال أن طول ‪𝐴𝐵‬‏ يساوي ‪18‬‏ سنتيمترًا. ثم لدينا هذه المعلومة الأخرى وهي أن ‪sin 𝐶‬‏ يساوي تسعة على ‪16‬‏. هذا يخبرنا أن الزاوية التي نتحدث عنها هي الزاوية ‪𝐶‬‏. وإذا فكرنا في اختصار النسب المثلثية ‪SOHCAHTOA‬‏، فإننا نعلم أن جيب الزاوية يساوي طول الضلع المقابل على طول الوتر. ولذا، إذا كانت الزاوية التي نفكر فيها هي ‪𝐶‬‏، فإن طول الضلع المقابل سيكون الضلع ‪𝐴𝐵‬‏. والوتر دائمًا هو الضلع المقابل للزاوية القائمة. وعليه، فإن هذه العلاقة تساوي ‪9‬‏ إلى ‪16‬‏.

الأمر الأساسي الذي علينا تذكره هنا هو أن هذه العلاقات عبارة عن نسب. وبذلك، فإن ‪sin‬‏ الزاوية ‪𝐶‬‏ يخبرنا أنه مقابل كل تسع وحدات من طول الضلع المقابل، ستكون هناك ‪16‬‏ وحدة من طول الوتر. إذن، يمكننا القول إنه إذا كان طول الضلع المقابل يساوي ‪18‬‏ سنتيمترًا، فإننا نعلم أن تسعة في اثنين يساوي ‪18‬‏. وعند التعامل مع النسب أو الكسور، إذا ضربنا البسط في اثنين، فعلينا ضرب المقام في اثنين. ‏‏‪16‬‏ في اثنين يساوي ‪32‬‏. وبذلك، يمكننا القول إن طول الوتر لا بد أن يساوي ‪32‬‏ سنتيمترًا. وبما أن القطعة المستقيمة ‪𝐴𝐶‬‏ هي الوتر. إذن طول هذه القطعة المستقيمة يساوي ‪32‬‏ سنتيمترًا.

عندما يكون لدينا مثلث قائم الزاوية، ونريد إيجاد طول أحد الأضلاع، فعلينا تذكر النسب المثلثية الثلاث، ثم اتباع الخطوات التالية. أولًا، تسمية أضلاع المثلث بالضلع المقابل، والضلع المجاور، والوتر بالنسبة إلى الزاوية المعلومة. ثانيًا، اختيار النسبة المثلثية الصحيحة التي تربط بين الضلع المعلوم والضلع المجهول. وأخيرًا، التعويض بالقيم ثم الحل لإيجاد القيمة المطلوبة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.