نسخة الفيديو النصية
أوجد مشتقة ﺹ يساوي قا ﺱ ناقص ثلاثة قتا ﺱ.
مطلوب منا هنا إيجاد مشتقة الدالة ﺹ بالنسبة إلى المتغير ﺱ. يمكننا أن نعبر عن هذه العلاقة بالرمز ﺹ شرطة، ويعرف أيضًا باسم ﺹ أولي، أو ﺩﺹ على ﺩﺱ. لاحظ أن الدالة ﺹ هي مجموع دالتين، هما الدالة قا ﺱ والتي سنسميها ﺹ واحد، والدالة سالب ثلاثة قتا ﺱ والتي سنسميها ﺹ اثنين.
وسنستخدم الخاصية التي تنص على أن مشتقة مجموع عدة دوال هي مجموع مشتقات هذه الدوال، والخاصية التي تنص على أن مشتقة ثابت ما مضروبًا في دالة تساوي الثابت مضروبًا في مشتقة الدالة. وبذلك سنتمكن من إعادة كتابة مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ على صورة مشتقة قا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ زائد مشتقة سالب ثلاثة قتا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ، والتي تساوي مشتقة قا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ ناقص ثلاثة في مشتقة قتا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ.
والآن، كل ما علينا فعله هو إيجاد مشتقتي قا ﺱ وقتا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. أولًا، دعونا نتذكر تعريفي قا ﺱ وقتا ﺱ. إن قا ﺱ وقتا ﺱ هما ترميزان مختصران لمقلوب اثنين من الدوال المثلثية، أحدهما يرمز لمقلوب جتا ﺱ والآخر لمقلوب جا ﺱ، على الترتيب. ويوجد مقلوب دالة مثلثية آخر، يعرف باسم ظتا ﺱ. وهو يساوي واحدًا على ظا ﺱ. هذه رموز مقلوب الدوال المثلثية الثلاث.
في هذا السؤال، نحن مهتمون بمشتقات مقلوبات الدوال المثلثية الثلاث. ولمشتقات مقلوبات الدوال المثلثية الثلاث نتائج معروفة. فمشتقة قا ﺱ تساوي حاصل ضرب قا ﺱ ظا ﺱ. ومشتقة قتا ﺱ تساوي حاصل ضرب سالب قتا ﺱ ظتا ﺱ. ومشتقة ظتا ﺱ هي سالب قتا تربيع ﺱ، وهي طريقة أخرى لكتابة سالب واحد على جا تربيع ﺱ.
يمكنك حفظ هذه المشتقات أو حسابها أثناء حل المسألة. لنر كيف يمكننا حسابها. لاحظ أن مقلوبات جميع الدوال المثلثية عبارة عن خوارج قسمة في المتغير ﺱ، أي تتخذ صورة ﻉ على ﻕ، حيث ﻉ وﻕ دالتان في ﺱ. إذن، لإيجاد اشتقاقهما، يمكننا استخدام قاعدة القسمة. في هذه القاعدة، نشتق الدالة في البسط أولًا ثم نضربها في الدالة في المقام. ثم نطرح من هذا الناتج حاصل ضرب مشتقة الدالة في المقام في الدالة في البسط.
بعد ذلك نقسم الناتج على مربع الدالة في المقام. هيا نستخدم قاعدة القسمة لاشتقاق قا ﺱ. سنفترض أن ﻉ تساوي الدالة الثابتة واحدًا، وﻕ تساوي الدالة جتا ﺱ. إذن مشتقة ﻉ تساوي صفرًا. ومشتقة ﻕ تساوي سالب جا ﺱ. وقد استخدمنا هنا الخاصية التي تنص على أن مشتقة الدالة الثابتة تساوي صفرًا، واستخدمنا كذلك مشتقة قياسية معروفة. وبالتعويض بـ ﻉ وﻕ وبمشتقاتهما في قاعدة القسمة، نجد أن مشتقة قا ﺱ تساوي صفرًا مضروبًا في جتا ﺱ ناقص واحد في سالب جا ﺱ الكل مقسوم على جتا تربيع ﺱ. ويبسط هذا إلى جا ﺱ على جتا تربيع ﺱ، وهو ما يمكننا إعادة كتابته على صورة واحد على جتا ﺱ مضروبًا في جا ﺱ على جتا ﺱ.
الآن، وبتذكر تعريف قا ﺱ وكذلك المتطابقة، وهي جا ﺱ على جتا ﺱ يساوي ظا ﺱ، نجد أن مشتقة قا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ هي حاصل الضرب قا ﺱ ظا ﺱ. وبطريقة مشابهة، يمكننا استخدام قاعدة القسمة لإيجاد مشتقة قتا ﺱ. في هذه الحالة، نفترض أن ﻉ يساوي الدالة الثابتة واحدًا، وﻕ يساوي الدالة جا ﺱ. نشتق هاتين الدالتين إلى صفر وجتا ﺱ على الترتيب. وبالتعويض بـ ﻉ وﻕ وبمشتقاتهما في قاعدة القسمة، نجد أن مشتقة قتا ﺱ تساوي صفرًا مضروبًا في جا ﺱ ناقص واحد مضروبًا في جتا ﺱ الكل مقسوم على جا تربيع ﺱ، وهو ما يمكن تبسيطه إلى سالب جتا ﺱ على جا تربيع ﺱ. ويمكن إعادة كتابة هذا على صورة سالب واحد على جا ﺱ مضروبًا في جتا ﺱ على جا ﺱ.
والآن، لاحظ أن جتا ﺱ على جا ﺱ يساوي واحدًا مقسومًا على جا ﺱ على جتا ﺱ، وهو ما يساوي واحدًا على ظا ﺱ. استخدمنا هنا المتطابقة جا ﺱ على جتا ﺱ تساوي ظا ﺱ. لذا يمكننا إعادة كتابة مشتقة قتا ﺱ على صورة سالب واحد على جا ﺱ مضروبًا في واحد على ظا ﺱ. والآن، بتذكر تعريفي قتا ﺱ وظتا ﺱ، نجد أن مشتقة قتا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ هي حاصل الضرب سالب قتا ﺱ ظتا ﺱ. وتدريبًا، حاول أن تثبت أن مشتقة ظتا ﺱ تساوي سالب قتا تربيع ﺱ.
بعد أن حصلنا على مشتقتي قا ﺱ وقتا ﺱ، علينا استخدامهما لإيجاد مشتقة الدالة الأصلية. وهي ﺹ يساوي قا ﺱ ناقص ثلاثة قتا ﺱ. استنتجنا أن مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ تساوي مشتقة قا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ ناقص ثلاثة في مشتقة قتا ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. بالتعويض بمشتقتي قا ﺱ وقتا ﺱ، نجد أن مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ تساوي قا ﺱ ظا ﺱ ناقص ثلاثة في سالب قتا ﺱ ظتا ﺱ، وهو ما يبسط إلى قا ﺱ ظا ﺱ زائد ثلاثة قتا ﺱ ظتا ﺱ.
وبذلك، نكون قد أكملنا إجابة السؤال. من المهم ملاحظة أنه على الرغم من إمكانية حساب مشتقات مقلوبات الدوال المثلثية في أثناء حل السؤال باستخدام قاعدة القسمة، فإن علينا حفظ مشتقات جا ﺱ وجتا ﺱ حتى نتمكن من الإجابة عن أسئلة بهذه الصورة.
