تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

فيديو: المتطابقات المثلثية: متطابقات الزاويتين المتتامتين ومتطابقات الدوال الفردية والدوال الزوجية

أحمد مدحت

يوضِّح الفيديو متطابقات الزاويتين المتتامتين، ومتطابقات الدوال الفردية والدوال الزوجية، واستخدامها لإيجاد قِيَم الدوال المثلثية.

٠٧:٢٧

‏نسخة الفيديو النصية

هنتكلّم عن المتطابقات المثلثية. وبالأخص هنتكلّم عن متطابقات الزاويتين المتتامتين، ومتطابقات الدوال الفردية والدوال الزوجية.

في الفيديو ده، هنعرف متطابقات الزاويتين المتتامتين، وكمان متطابقات الدوال الفردية والدوال الزوجية للدوال المثلثية. في الأول هنبدأ بمتطابقات الزاويتين المتتامتين. بس هنقلب الصفحة، هيظهر لنا شكل. الشكل اللي عندنا عبارة عن مثلث قائم الزاوية. وفيه عندنا زاويتين همّ 𝛼 وَ 𝛽. وبالنسبة للزاويتين 𝛼 وَ 𝛽، فهمّ زاويتين متتامتين. أمَّا أطوال أضلاع المثلث القائم، فهنفرض طول الضلع ده هو س. وبالنسبة لطول الضلع ده، فهنفرضه ص. أمَّا بالنسبة لطول الوتر بتاع المثلث القائم، فهنفرضه ل. بالنسبة للزاوية 𝛼، فـ جا 𝛼 يساوي المقابل للزاوية 𝛼 على الوتر بتاع المثلث القائم. بالنسبة للمقابل، فهو ص. أمَّا الوتر، فهو ل. وبالتالي جا 𝛼 تساوي ص على ل.

هنلاحظ من خلال المثلث اللي عندنا إن ص هو المجاور للزاوية 𝛽، وَ ل هو الوتر بتاع المثلث القائم. معنى كده إن ص على ل هيساوي جتا 𝛽. وبالنسبة لـ ظا 𝛼، فهي هتساوي المقابل للزاوية 𝛼 على المجاور ليها. والمقابل للزاوية 𝛼 هو ص، والمجاور ليها هو س. يعني ظا 𝛼 هتساوي ص على س. بالنسبة لـ ص، فهتمثّل المجاور للزاوية 𝛽. وبالنسبة لـ س، فهتمثّل المقابل للزاوية 𝛽. معنى كده إن ص على س يساوي ظتا 𝛽. أمَّا قا 𝛼، فهيساوي الوتر بتاع المثلث القائم على المقابل للزاوية 𝛼. يعني هيساوي ل على ص. ولأن ص هي المجاور للزاوية 𝛽، معنى كده إن ل على ص هيساوي قتا 𝛽. معنى كده إن جا 𝛼 وَ جتا 𝛽 دالتين متكافئتين. وَ ظا 𝛼 وَ ظتا 𝛽 دالتين متكافئتين. وَ قا 𝛼 وَ قتا 𝛽 دالتين متكافئتين. ولأن 𝛼 وَ 𝛽 زاويتين متتامتين، معنى كده إن قياس الزاوية 𝛽 هيساوي تسعين درجة ناقص 𝛼.

ومن خلال اللي إحنا وصلنا له، هنلاقي جا 𝛼 تساوي جتا 𝛽. تساوي جتا تسعين درجة ناقص 𝛼. تساوي ص على ل. وَ ظا 𝛼 تساوي ظتا 𝛽. تساوي ظتا تسعين درجة ناقص 𝛼. تساوي ص على س. أمَّا قا 𝛼، فهتساوي قتا 𝛽. وبالتالي هتساوي قتا تسعين درجة ناقص 𝛼. وبتساوي ل على ص.

طبعًا هنلاحظ إن جا 𝛼 بتساوي جتا تسعين درجة ناقص 𝛼. وَ ظا 𝛼 بتساوي ظتا تسعين درجة ناقص 𝛼. وَ قا 𝛼 بتساوي قتا تسعين درجة ناقص 𝛼. معنى كده نقدر نقول: إن إحنا وصلنا لمتطابقات الزاويتين المتتامتين، واللي هنشوفهم في الصفحة اللي جايَّة.

هنقلب الصفحة. فبالنسبة لمتطابقات الزاويتين المتتامتين، عندنا أول حاجة جا 𝜃 تساوي جتا 𝜋 عَ الاتنين ناقص 𝜃. أمَّا جتا 𝜃، فهتساوي جا 𝜋 عَ الاتنين ناقص 𝜃. بالنسبة لـ ظا 𝜃، فهتساوي ظتا 𝜋 عَ الاتنين ناقص 𝜃. وَ ظتا 𝜃 هتساوي ظا 𝜋 عَ الاتنين ناقص 𝜃. وبالنسبة لـ قا 𝜃، فهتساوي قتا 𝜋 عَ الاتنين ناقص 𝜃. وَ قتا 𝜃 هتساوي قا 𝜋 عَ الاتنين ناقص 𝜃.

بالنسبة لـ 𝜋 على الاتنين ناقص 𝜃، فهي بالتقدير الدائري. لكن إحنا نقدر نكتب كل متطابقة من المتطابقات اللي عندنا في صورة درجات. يعني نقدر نكتب الزوايا بالتقدير الستيني. فمثلًا جا 𝜃 يساوي جتا تسعين درجة ناقص 𝜃. نفس الكلام نقدر نطبّقه على بقية المتطابقات.

بعد كده هنشوف متطابقات الدوال الفردية والدوال الزوجية، بس في الصفحة اللي جايّة. هنقلب الصفحة. الدوال المثلثية الأساسية، اللي هي جا وَ جتا، وَ ظا وَ ظتا، وَ قا وَ قتا، فيه دوال منها عبارة عن دوال فردية ودوال تانية عبارة عن دوال زوجية. ولمّا هنستخدم دايرة الوحدة اللي هتظهر لنا، هنلاقي جا 𝜃 تساوي ص، وَ جا سالب 𝜃 تساوي سالب ص. وبالنسبة لـ جتا 𝜃، فهتساوي س، وَ جتا سالب 𝜃 هتساوي س. فمثلًا لو عندنا دالة هي الدالة د، فالدالة د دي هتبقى دالة زوجية لو كان د سالب س يساوي د س. وده عند كل قيمة لـ س في مجال الدالة د. والدالة د بتكون دالة فردية لو كان د سالب س يساوي سالب د س. وده عند كل قيمة لـ س في مجال الدالة د.

معنى كده، بما إن جا 𝜃 تساوي ص، وَ جا سالب 𝜃 تساوي سالب ص، إن الدالة جا هتبقى دالة فردية. وبما إن جتا 𝜃 تساوي س وَ جتا سالب 𝜃 تساوي س، هتبقى دالة الـ جتا دالة زوجية. بكده من خلال العلاقات اللي إحنا وضّحناها نقدر نوصل لمتطابقات الدوال الفردية والدوال الزوجية، اللي هنشوفها في الصفحة اللي جايّة. فهنقلب الصفحة.

بالنسبة لمتطابقات الدوال الفردية والدوال الزوجية، فإحنا عندنا الدالة جا دالة فردية. ومقلوبها، اللي هي الدالة قتا، كمان دالة فردية. وبالتالي هيبقى جا سالب 𝜃 تساوي سالب جا 𝜃. وَ قتا سالب 𝜃 تساوي سالب قتا 𝜃. أمَّا بالنسبة للدالة جتا، فهي دالة زوجية، ومقلوبها، اللي هي الدالة قا، برضو دالة زوجية. بالتالي جتا سالب 𝜃 تساوي جتا 𝜃. وَ قا سالب 𝜃 تساوي قا 𝜃. أمَّا الدالة ظا، فهي دالة فردية. ومقلوبها، اللي هي الدالة ظتا، كمان دالة فردية. وبالتالي ظا سالب 𝜃 تساوي سالب ظا 𝜃. وَ ظتا سالب 𝜃 تساوي سالب ظتا 𝜃.

بكده يبقى إحنا عرفنا متطابقات الدوال الفردية والدوال الزوجية. هنشوف مثال نستخدم فيه متطابقات الزاويتين المتتامتين ومتطابقات الدوال الفردية والدوال الزوجية، بس في الصفحة اللي جايّة.

هنقلب الصفحة، هيظهر لنا المثال. في المثال اللي عندنا: إذا كانت ظا 𝜃 تساوي واحد وتمنية وعشرين من مية. فإحنا عايزين نوجد ظتا 𝜃 ناقص 𝜋 عَ الاتنين.

بالنسبة لـ ظتا 𝜃 ناقص 𝜋 عَ الاتنين، فإحنا هنخرَّج سالب واحد كعامل مشترك من 𝜃 ناقص 𝜋 عَ الاتنين. فـ ظتا 𝜃 ناقص 𝜋 عَ الاتنين هتساوي ظتا سالب، 𝜋 عَ الاتنين ناقص 𝜃. بعد كده بالنسبة للدالة ظتا، فهي دالة فردية. وبالتالي من متطابقات الدوال الفردية والدوال الزوجية، هنلاقي إن ظتا 𝜃 ناقص 𝜋 عَ الاتنين تساوي سالب ظتا 𝜋 عَ الاتنين ناقص 𝜃. ومن متطابقات الزاويتين المتتامتين، ظتا 𝜋 عَ الاتنين ناقص 𝜃 بتساوي ظا 𝜃. بالتالي ظتا 𝜃 ناقص 𝜋 عَ الاتنين تساوي سالب ظا 𝜃. ومن المعطيات، ظا 𝜃 بتساوي واحد وتمنية وعشرين من مية. يعني ظتا 𝜃 ناقص 𝜋 عَ الاتنين تساوي سالب واحد وتمنية وعشرين من مية. بكده يبقى إحنا جِبنا قيمة ظتا 𝜃 ناقص 𝜋 عَ الاتنين.

بكده يبقى إحنا من خلال الفيديو ده، عرفنا متطابقات الزاويتين المتتامتين. وكمان عرفنا متطابقات الدوال الفردية والدوال الزوجية للدوال المثلثية.