فيديو السؤال: إيجاد مركز دائرة ونصف قطرها بإكمال المربع الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

بإكمال المربع، أوجد مركز الدائرة ﺱ تربيع ناقص أربعة ﺱ زائد ﺹ تربيع ناقص أربعة ﺹ ناقص ثمانية يساوي صفرًا ونصف قطرها.

معادلة الدائرة هي ﺱ ناقص ﻫ تربيع زائد ﺹ ناقص ﻙ تربيع يساوي نق تربيع. النقطة ﻙ ﻫ، هي نقطة المركز، ونق هو نصف القطر. إذن سنكمل المربع لأن هذه هي صورة المعادلة القياسية التي كتبت بها الصيغة.

إذن نريد أن نتحول من ﺱ تربيع ناقص أربعة ﺱ إلى شيء ما تربيع بدلالة ﺱ، والشيء نفسه بالنسبة لـ ﺹ، ثم يكون لدينا ثابت بالطرف الأيسر للمعادلة يمثل نصف القطر. إذن لإكمال المربع، سنأخذ قيمة ﺏ وهي سالب أربعة — وهو المعامل الموجود أمام الحد ﺱ — ونقسم ﺏ على اثنين، ونقوم بتربيعه.

بقسمة سالب أربعة على اثنين، نحصل على سالب اثنين، وبتربيع الناتج، نحصل على موجب أربعة. والآن سنفعل الشيء نفسه مع حدود ﺹ. لاحظ أن قيمة ﺏ التي سنقسمها على اثنين ثم نقوم بتربيعها هي قيمة الحد ﺱ نفسها؛ كلاهما سالب أربعة، لذا يمكننا إضافة العدد نفسه عند العمل مع ﺹ.

ولتحريك سالب ثمانية إلى الطرف الأيسر، نضيف ثمانية لكلا الطرفين، إذن يساوي ذلك ثمانية. مرة أخرى، الهدف الأساسي من إكمال المربع هو الحصول في النهاية على شيء ما تربيع، ﺱ تربيع ناقص أربعة ﺱ زائد أربعة، أي ﺱ ناقص اثنين تربيع، ما يساوي ﺱ ناقص اثنين في ﺱ ناقص اثنين.

يمكننا استخدام طريقة ضرب حدي القوس الأول في حدي القوس الثاني فنحصل مرة أخرى على ﺱ تربيع ناقص أربعة ﺱ زائد أربعة. وبما أنه المقدار نفسه بالنسبة لـ ﺹ، فسنفعل الشيء نفسه: ﺹ ناقص اثنين تربيع. ورغم ذلك، فالطرف الأيسر للمعادلة ليس ثمانية.

لاحظ كيف أضفنا عددي أربعة إلى الطرف الأيمن للمعادلة. عليك الحفاظ على المعادلات موزونة. بالتالي إذا أضفتهما إلى طرف واحد من المعادلة، فسيكون عليك إضافتهما إلى الطرف الآخر أيضًا، إذن لن يساوي ذلك ثمانية، بل ١٦.

ومن ثم تكون هذه هي معادلة الدائرة. هاتان المعادلتان متساويتان؛ لكن كل منهما في صورة مختلفة. ومعادلة الدائرة تكون بهذه الصورة حيث يمكن استخدامها لإيجاد نقطة المركز. على سبيل المثال، نقطة المركز في هذه المعادلة ستكون اثنين، اثنين؛ لأن اثنين هو ﻫ واثنان هو نفسه ﻙ في معادلتنا. ومن ثم، فذلك يساوي نق تربيع.

بالتالي، إذا أردنا إيجاد نصف القطر، علينا حساب الجذر التربيعي لـ نق تربيع لإيجاد نق، إذن الجذر التربيعي لـ ١٦ يعني أن نصف القطر يساوي أربعة، لكن مرة أخرى، معادلتنا ستكون ﺱ ناقص اثنين تربيع زائد ﺹ ناقص اثنين تربيع يساوي ١٦.