فيديو السؤال: إيجاد مجال دالة جذرية ومداها الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

افترض أن الدالة ﺩ ﺱ تساوي الجذر التربيعي لسالب ﺱ. أوجد مجال ﺩ ﺱ. أوجد مدى ﺩ ﺱ.

نبدأ بتذكير أنفسنا بما نعنيه عندما نتحدث عن مجال الدالة ومداها. مجال الدالة هو مجموعة كل المدخلات الممكنة لهذه الدالة التي تجعل الدالة صالحة، وتنتج قيمًا حقيقية لـ ﺹ. بعد ذلك، فور أن تكون لدينا هذه المجموعة ونعوض بها في الدالة، يكون المدى هو مجموعة القيم المخرجة الممكنة التي نحصل عليها. إذن، بالتفكير في الدالة ﺩ ﺱ تساوي الجذر التربيعي لسالب ﺱ، سنستخدم حقيقة أن مجال ومدى دالة الجذر التربيعي لـ ﺱ هما الفترة المغلقة من اليمين والمفتوحة من اليسار من صفر إلى ∞. بعبارة أخرى، قيم ﺱ التي نعوض بها في هذه الدالة يجب أن تكون قيمًا غير سالبة.

وبوصف أكثر تعميمًا، إذا كانت لدينا دالة جذر تربيعي مركبة، مثل الجذر التربيعي لـ ﺭ ﺱ، يمكن إيجاد المجال بحساب قيم ﺱ التي تحقق الدالة ﺭ ﺱ أكبر من أو يساوي صفرًا. في حالة الدالة المعطاة لنا إذن، نقول إن هذه هي القيم بحيث يكون سالب ﺱ أكبر من أو يساوي صفرًا. إذا ضربنا كلا الطرفين في عدد سالب، أو في هذه الحالة سالب واحد، فعلينا أن نعكس علامة التباين. إذن، بضرب كلا الطرفين في سالب واحد، نجد أن ﺱ يجب أن يكون أصغر من أو يساوي صفرًا. وباستخدام ترميز الفترة، يمكننا القول إن مجال ﺩ ﺱ هو الفترة المفتوحة من اليمين والمغلقة من اليسار من سالب ∞ إلى صفر.

والآن بعدما أصبح لدينا مجال الدالة ﺩ ﺱ، يمكننا إيجاد المدى. قلنا إن مدى الجذر التربيعي لـ ﺱ هو الفترة المغلقة من اليمين والمفتوحة من اليسار من صفر إلى ∞. بعبارة أخرى، بالنسبة إلى أي قيمة لـ ﺹ تنتمي لهذه الفترة، يمكننا إيجاد قيمة ما لـ ﺱ تحقق المعادلة ﺹ يساوي الجذر التربيعي لـ ﺱ. هذا يعني أنه إذا اخترنا عدد سالب ﺱ، فستحقق المعادلة ﺩ لسالب ﺱ يساوي الجذر التربيعي لسالب سالب ﺱ. وهذا هو نفسه الجذر التربيعي لموجب ﺱ، وهو ما يساوي ﺹ. إذن، أي عدد في الفترة المغلقة من اليمين والمفتوحة من اليسار من صفر إلى ∞ هو قيمة ممكنة للدالة ﺩ ﺱ. إذن، المدى هو الفترة المغلقة من اليمين والمفتوحة من اليسار من صفر إلى ∞.

وبهذا نكون قد حللنا السؤال جبريًّا، لكن كان بإمكاننا الإجابة عنه بيانيًّا أيضًا. افترض أن التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي الجذر التربيعي لـ ﺱ. وبما أن المجال هو مجموعة القيم التي يمكننا التعويض بها في الدالة، يمكننا التفكير فيه على التمثيل البياني باعتباره انتشارًا للقيم في الاتجاه الأفقي. وسنجد أن هذه القيم هي لكل ﺱ أكبر من أو يساوي صفرًا. إذا افترضنا بعد ذلك أن التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي الجذر التربيعي لسالب ﺱ، فسنجد أنه يمكننا تحويل ﺹ يساوي الجذر التربيعي لـ ﺱ إلى هذا التمثيل البياني إذا عكسناه حول المحور ﺹ.

وبذلك نجد أن المجال ينقلب. ليتضمن كل قيم ﺱ الأصغر من أو تساوي صفرًا. ويمكننا أيضًا أن نرى لماذا يظل المدى كما هو. بما أن المدى هو مجموعة القيم المخرجة الممكنة، فإننا نعتبره انتشارًا للقيم في الاتجاه ﺹ. وفي كلتا الحالتين، هذه القيم هي لكل ﺹ أكبر من أو يساوي صفرًا. وعليه، فإن المدى، مرة أخرى، هو الفترة المغلقة من اليمين والمفتوحة من اليسار من صفر إلى ∞.