تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

فيديو: النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل

سوزان فائق

يوضِّح الفيديو مفهوم النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل، ونتائجها في الربط بين التكاملات والمشتقات، وأمثلةً عليها.

١٢:٢٧

‏نسخة الفيديو النصية

في الفيديو ده هنتكلّم على النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل. هنعرف يعني إيه النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل. وهنعرف إيه نتايج النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل. وإزاي ربطت بين التكاملات والمشتقات.

أول حاجة هنعرف يعني إيه إيجاد المشتقّة العكسية، اللي هي بنسميها التكامل غير المحدّد لدالة. لو عندنا دالة د س بتساوي س تربيع زائد اتنين س. المشتقّة بتاعتها بتبقى د شرطة س، بتساوي … الـ س تربيع بننزل الأُس، ونضرب فيه وننقص الأُس واحد. يعني بيبقى س أُس اتنين ناقص الواحد. زائد … اتنين س بنسيب الثابت زي ما هو، وناخد الأُس بتاع الـ س ننزله؛ يعني هنضرب في واحد. والـ س هننقّص أسها واحد، يبقى واحد ناقص الواحد يبقى بصفر. يبقى د شرطة س بتساوي اتنين س زائد اتنين.

عملية إيجاد المشتقّة العكسية؛ إن إحنا كان يبقى مدّيلنا اتنين س زائد اتنين وطالب منّنا الـ د س. علشان كده اللي اتنين س زائد اتنين دي بنقول عليها تفاضل الدالة. وعايزين نوصل للـ د س بيبقى تكامل الدالة، اللي هو إيجاد قيمة المشتقّة العكسية للدالة. علشان نحسب المشتقّة العكسية للدالة، هنسميها مثلًا ت س، هتساوي … الاتنين س دي كانت جايّة من التفاضل. إزاي هنرجعها تاني للـ س تربيع. بنشوف اللي إحنا عملناه هنعكسه. إحنا نزّلنا الأُس واحد وضربنا فيه؛ يعني الاتنين دي هنسيبها زي ما هي. الـ س كانت أُسَّها زايد واحد؛ يعني كانت س تربيع. وكنا ضربنا في الأس ده؛ يعني هنقسم عليه. زائد … الاتنين كانت زي ما هي، وهنا كان فيه س أس صفر؛ يعني هنزودها واحد ونقسم عليه. يبقى الـ ت س هتبقى … هنختصر الاتنين مع الاتنين، هتبقى س تربيع زائد اتنين س. لكن ممكن كان عندنا قيمة مثلًا ثابت هنا موجب خمسة. لمّا فضلناه بقى صفر. فبالتالي تفاضل الـ س تربيع زائد اتنين س وزائد أي ثابت، هيدّينا نفس التفاضل اللي هو د شرطة س. بالتالي بنعمل حساب الثابت ده، وبنحطه في المشتقّة العكسية. وليه بنسمي المشتقّة العكسية إيجادها ده تكامل غير المحدّد؛ لأن ما بنبقاش محددين دالة بعينها.

عملية إيجاد المشتقّة العكسية دي اللي هي التكامل غير المحدّد لدالة بتبقى طريقة مختصرة لحساب التكامل المحدّد لدالة نفسها، باستخدام مجموع ريمان. مجموع ريمان ده كان عبارة عن إن إحنا بنقسّم المساحة تحت أي منحنى لمستطيلات عرضها متساوي وأطوالها مختلفة على حسب المنحنى. وكانت مجموع المستطيلات دي بنجيبه إلى ما لا نهاية؛ علشان نقلّل عرض المستطيلات على قد ما نقدر. فبالتالي بتطلع القيمة تحت المنحنى دقيقة. ونوجد المساحة لها إلى ما لا نهاية من المستطيلات. فكانت دي بتبقى عملية صعبة، وإن إحنا كنا بنحسب لها النهاية إلى ما لا نهاية عدد المستطيلات يروح للمالانهاية. فبالتالي كانت بتبقى مرهِقة فكنا بنستخدم طريقة إيجاد المشتقّة العكسية، اللي هو التكامل الغير المحدّد لدالة؛ علشان نختصر إيجاد النهايات واستخدام مجموع ريمان.

العلاقة بين التكاملات المحدّدة والمشتقات العكسية دي بنسميها بالنظرية الأساسية في التفاضل والتكامل. النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل بتقول: إذا كانت ت س مشتقّة عكسية للدالة المتصلة د س على الفترة المغلقة أ وَ ب. فإن التكامل المحدّد من أ إلى ب للدالة د س في د س، يساوي المشتقّة العكسية ت عند قيمة الـ ب، اللي هي نهاية الفترة. ناقص المشتقّة العكسية عند نقطة بداية الفترة اللي هي الـ أ. وبيمكن التعبير عن الطرف الأيسر بالرمز ت س من أ إلى ب. يعني نعوّض مرة بالـ ب في المشتقّة العكسية. وبعدين نطرح قيمة المشتقّة العكسية عند النقطة أ.

النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل كان لها نتائج. نقلب الصفحة ونشوف إيه هي.

من نتائج النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل؛ إنها ربطت بين التكاملات والمشتقات العكسية. فالتكامل هو إيجاد المشتقّة العكسية. في حين إن الاشتقاق هو عملية إيجاد المشتقات؛ لذلك فإن عملية التكامل والاشتقاق عمليتان عكسيتان. بيمكننا استخدام النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل لحساب التكاملات المحدّدة، دون الحاجة إلى استخدام النهايات زي ما قلنا في مجموع ريمان.

نقلب الصفحة ونشوف إزاي هنستخدم النظرية الأساسية في التكامل والتفاضل.

في المثال استخدم النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل؛ لحساب المنطقة المحصورة بين منحنى كل دالة مما يأتي، والمحور س على الفترة المعطاة: ص يساوي أربعة س تكعيب في الفترة من واحد إلى تلاتة. الفترة المغلقة من واحد إلى تلاتة. والمثال التاني ص يساوي سالب س تربيع زائد أربعة س زائد ستة، في الفترة المغلقة صفر إلى أربعة.

يعني في المثال الأولاني ص يساوي أربعة س تكعيب. عايزين نحسب تكامل من واحد إلى تلاتة لأربعة س تكعيب د س. والمثال التاني بيقول لنا عايز يحسب التكامل من صفر إلى أربعة للدالة سالب س تربيع زائد أربعة س زائد ستة.

هنحسب تكامل من واحد إلى تلاتة أربعة س تكعيب د س، باستخدام النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل. أول خطوة عندنا إن إحنا نحسب التكامل غير المحدّد للدالة، اللي هو مديهالنا اللي هي أربعة س تكعيب د س؛ علشان نوجد الـ ت س. هتساوي أربعة س تكعيب … لمّا هنكاملها، هنزوّد الأس واحد؛ يعني س أُس أربعة، ونقسم عليه، ونسيب الثابت زي ما هو. زائد ثابت. يبقى الـ ت س هتساوي س أُس أربعة زائد الثابت. كده إحنا حسبنا قيمة مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الدالة أربعة س تكعيب ومحور السينات. التكامل المحدّد بيحدّد لنا الفترة اللي هناخد لها المساحة بس، اللي هي من واحد إلى تلاتة، اللي هي الفترة اللي بنظلّلها دي. وباستخدام النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل. يبقى التكامل من واحد إلى تلاتة لأربعة س تكعيب د س، هيساوي … الـ ت س اللي جِبنا قيمتها، مرة هنعوّض بالتلاتة ومرة هنعوّض بالواحد. يبقى هنعوّض بالتلاتة هتبقى تلاتة أُس أربعة زائد الثابت. ناقص الواحد أُس أربعة زائد الثابت. هنوزّع الإشارة اللي هي السالب على القوس، يبقى هيساوي تلاتة أُس أربعة زائد الثابت. ناقص الواحد أُس أربعة اللي هي الواحد، ناقص الثابت. الثابت ناقص الثابت هيبقى بصفر. يبقى واحد وتمانين ناقص الواحد هتساوي تمانين.

يبقى مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى ص يساوي أربعة س تكعيب ومحور السينات على الفترة المغلقة من واحد إلى تلاتة، هي تمانين وحدة مربعة.

نقلب الصفحة وناخد الجزئية التانية.

ص يساوي سالب س تربيع زائد أربعة س زائد ستة، في الفترة من صفر إلى أربعة. يبقى هنحسب التكامل من صفر إلى أربعة لسالب س تربيع زائد أربعة س زائد الستة د س. هنوجد المشتقّة العكسية للدالة اللي هي ت س، اللي هو التكامل غير المحدّد لسالب س تربيع زائد أربعة س زائد ستة د س. وبعد كده لمّا هنستخدم النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل، هنعوّض بقيم الفترة اللي هو الحدّ الأعلى للفترة والحد الأدنى في المشتقّة العكسية. لمّا هنكامل الدالة اللي قدامنا، يبقى سالب س تربيع … نسيب الثابت زي ما هو، وهنزوّد أس الدالة واحد، اللي هو الـ س تربيع هتبقى س تكعيب ونقسم عليه. زائد الأربعة الثابت هنسيبه. والـ س هنزوّد الأس واحد، يبقى س تربيع، ونقسم عليه. زائد الستة دي كانت أصلها ستة س أس صفر. يبقى هتبقى ستة س أس واحد على الواحد. وما ننساش الثابت بتاع المشتقّة العكسية، اللي هو التكامل غير المحدّد.

يبقى كده ت س هتساوي سالب تُلت س تكعيب زائد اتنين س تربيع زائد ستة س زائد الثابت. دي مساحة المنحنى تحت الدالة اللي هو مديهالنا ومحور السينات. هنحسب في الفترة بس من صفر إلى أربعة؛ يعني هنحسب التكامل المحدّد للدالة باستخدام النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل. يبقى من صفر إلى أربعة للدالة سالب س تربيع زائد أربعة س زائد الستة د س. هتساوي الـ ت س من صفر إلى أربعة. يعني هنعوّض مرة بالصفر ومرة بالأربعة.

يبقى بالتعويض سالب تُلت س تكعيب اللي هي أربعة تكعيب. زائد اتنين أربعة تربيع. زائد ستة في أربعة. زائد الثابت. ده عند الحدّ الأعلى. ناقص سالب تلت في صفر أس تلاتة. زائد اتنين في صفر أُس اتنين. زائد ستة في صفر أُس واحد. زائد الثابت. يبقى القيمة دي كلها هتبقى تساوي صفر. وهيتبقّى بس الثابت. يبقى هنا فيه ثابت ناقص ثابت يبقى بصفر. يبقى القيمة هتساوي تقريبًا بعد التبسيط … هتبقى أربعة وتلاتين وسبعة وستين من مية. يبقى مساحة المنطقة المحصورة بين المنحنى سالب س تربيع زائد أربعة س زائد ستة، ومحور السينات على الفترة من صفر إلى أربعة هي أربعة وتلاتين وسبعة وستين من مية وحدة مربعة تقريبًا.

يبقى عرفنا في الفيديو ده إزاي هنستخدم النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل. وإزاي هي ربطت بين التكاملات والمشتقات. وبما إن الثابت دايمًا كان بيبقى مرة بالموجب ومرة بالسالب؛ نتيجة عن إن إحنا كنا بنعوّض مرة بالحدّ الأعلى ومرة بالحدّ الأدنى، فكانوا الاتنين بيُختصروا مع بعض، وكان بيبقى القيمة بينهم ثابت ناقص ثابت بتساوي صفر. فبعد كده ممكن نقدر نهمل القيمة دي مباشرةً وإحنا بنعوّض بقانون النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل. وبالتالي عرفنا إزاي هنستخدم النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل لحساب التكاملات المحدّدة، دون الحاجة إلى استخدام النهايات.