نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سنتناول بعض القوانين الأساسية التي نستخدمها لحساب قياسات الزوايا، ثم سنطبقها لحساب قياسات زوايا مجهولة في عدد من الأشكال الهندسية. القانون الأول الذي سنتناوله يسمى نظرية الزوايا المتكاملة أو الزوج الخطي. وهي تنص على أن الزاويتين تكونان متكاملتين إذا كونتا زوجًا خطيًّا، أي إذا وقعتا معًا على خط مستقيم. يمكنك أن ترى مثالًا على ذلك في الشكل الموضح على يسار الشاشة. تقع الزاويتان ﺃ وﺏ معًا على هذا الخط المستقيم. ولأنهما تقعان على خط مستقيم، فهذا يعني أن مجموع قياسي هاتين الزاويتين يساوي ١٨٠ درجة، بسبب الحقيقة الأساسية التي تفيد بأن مجموع قياسات الزوايا الواقعة على خط مستقيم يساوي ١٨٠ درجة. إذن، مجموع قياسي الزاويتين المتكاملتين يساوي ١٨٠ درجة.
أما القانون الثاني فيسمى نظرية الزوايا المتتامة. تكون الزاويتان متتامتين إذا كون ضلعاهما غير المشتركين زاوية قائمة. والضلعان غير المشتركين هما الضلعان اللذان لا تتشارك فيهما الزاويتان معًا، أي الضلعان الموضحان باللون البرتقالي في هذا الشكل. الزاوية القائمة قياسها بالطبع ٩٠ درجة، وبالتالي فلدينا حقيقة أخرى عن الزاويتين المتتامتين، وهي أن مجموع قياسيهما يجب أن يساوي ٩٠ درجة. وهذه هي الحقيقة الأساسية بشأن الزاويتين المتتامتين. الحقيقة الأخيرة لدينا هنا متعلقة بالزاويتين المتقابلتين بالرأس، وهما الزاويتان غير المتجاورتين، أي اللتان لا تكون إحداهما بجوار الأخرى، وتتكونان نتيجة تقاطع خطين معًا، وهما الخطان الموضحان بالحرفين ﺃ وﺏ في هذا الشكل. يمكنني كذلك تحديد الزاويتين الأخريين باعتبارهما زاويتين متقابلتين بالرأس.
الحقيقة الأساسية عن الزاويتين المتقابلتين بالرأس هي أنهما متماثلتان أو متطابقتان، فقياس الزاوية ﺃ يساوي قياس الزاوية ﺏ. إذن فهذه هي الحقائق الرئيسة الثلاث التي سنستخدمها، بالإضافة إلى حقيقة أن مجموع قياسات زوايا المثلث يساوي ١٨٠ درجة. كما سنتعرف على كيفية تطبيق هذه الحقائق في عدد من المسائل.
هذه هي أول مسألة لدينا.
لدينا شكل معطى ومطلوب منا حساب قياس الزاوية ﺃﺟﺏ. وهي الزاوية التي تتكون عند الانتقال من ﺃ إلى ﺟ إلى ﺏ، أي هذه الزاوية.
لنفكر في كيفية حل هذه المسألة. بالنظر إلى الشكل، يمكننا تحديد بعض أنواع الزوايا. إذا نظرنا أولًا إلى هذه الزاوية، فسنلاحظ أنها تقابل الزاوية التي قياسها ١٠٥ درجات بالرأس، لأنهما تكونتا نتيجة تقاطع خطين معًا. وبتذكر الحقيقة الأساسية المتعلقة بالزاويتين المتقابلتين بالرأس، نجد أن الزاويتين متساويتان. إذن، قياس الزاوية ﺟﺃﺏ يساوي ١٠٥ درجات. لننظر بعد ذلك إلى الزاوية الأخرى التي في قاعدة المثلث، أي هذه الزاوية، الزاوية ﺃﺏﺟ. ستلاحظ أن هذه الزاوية مكملة للزاوية التي قياسها ١٤٢ درجة لأنهما تشكلان زوجًا خطيًّا من الزوايا.
تذكر أن الحقيقة الأساسية تفيد بأن مجموع قياسي الزاويتين المتكاملتين يساوي ١٨٠ درجة. هذا يعني أن قياس الزاوية ﺃﺏﺟ زائد ١٤٢ يجب أن يساوي ١٨٠. نطرح ١٤٢ من طرفي هذه المعادلة، وهكذا نجد أن قياس هذه الزاوية يساوي ٣٨ درجة. بذلك نكون أوجدنا قياسي زاويتين في هذا المثلث. ولقد سجلت قياسيهما على الشكل. أخيرًا، نريد إيجاد قياس الزاوية المطلوبة وهي الزاوية ﺃﺟﺏ. لذلك نسترجع حقيقة أن مجموع قياسات الزوايا الداخلية في المثلث يساوي ١٨٠ درجة. قياس الزاوية ﺃﺟﺏ زائد قياسي الزاويتين الأخريين، وهما ١٠٥ درجات و ٣٨ درجة، يجب أن يساوي ١٨٠. وهذا يعطينا المعادلة التي يمكن حلها لإيجاد قياس الزاوية الثالثة.
فإذا طرحنا ١٠٥ و ٣٨ من ١٨٠، فسنحصل على قياس الزاوية ﺃﺟﺏ، ويساوي ٣٧ درجة. بذلك نكون قد استخدمنا حقائق مختلفة في مسألة واحدة. استخدمنا حقيقة أن الزاويتين المتقابلتين بالرأس متطابقتان. ثم استخدمنا حقيقة أن مجموع قياسي الزاويتين المتكاملتين يساوي ١٨٠ درجة. وأخيرًا استخدمنا القانون الذي ينص على أن مجموع قياسات الزوايا الداخلية في المثلث يساوي ١٨٠ درجة. إذا طلب منك في المسألة إبداء الأسباب ضمن الإجابة، فعليك كتابة هذه الأسباب بهذه الصيغة أثناء الحل. سأستخدم هذه المصطلحات: الزاويتين المتقابلتين بالرأس، والزاويتين المتكاملتين، والزوايا الداخلية في المثلث، ضمن طريقتي في الحل.
في المسألة التالية، لدينا شكل معطى ومطلوب منا إيجاد قيمة ﺱ المستخدمة في تسمية زاويتين من زوايا هذا الشكل.
بالنظر إلى الشكل، علينا تحديد نوع الزاويتين المطلوبتين. لنجد أن هاتين الزاويتين غير المتجاورتين، محصورتان بين خطين متقاطعين، ومن ثم فهما زاويتان متقابلتان بالرأس. باسترجاع الحقائق الأساسية عن الزاويتين المتقابلتين بالرأس. نجد أن الزاويتين متطابقتان، ما يعني أن المقدارين الجبريين المعبرين عن قياسي هاتين الزاويتين متساويان. الخطوة التالية هي تكوين معادلة، من خلال المساواة بين هذين المقدارين. لدينا اثنان ﺱ ناقص ٣٠ يساوي ﺱ زائد ١٠. أصبحت المسألة الآن جبرية. هل يمكن حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﺱ؟
الخطوة الأولى هي إضافة ٣٠ إلى طرفي هذه المعادلة. هذا سيعطينا اثنين ﺱ يساوي ﺱ زائد ٤٠، ثم نطرح ﺱ من طرفي المعادلة. وبذلك نحصل على ﺱ يساوي ٤٠، وهو حل هذه المسألة. إذن في هذه المسألة، كان علينا تحديد نوع الزاويتين المطلوبتين، ثم استخدام الحقائق التي نعلمها عن تطابق الزاويتين المتقابلتين بالرأس، لتكوين معادلة يمكن حلها لإيجاد قيمة ﺱ المجهولة.
تتناول المسألة التالية الزاويتين المتكاملتين.
وتقول المسألة إن هناك زاويتين متكاملتين، النسبة بين قياسيهما ثلاثة إلى اثنين. ومطلوب منا إيجاد قياس الزاوية الأكبر.
سأتناول هذه المسألة بطريقتين مختلفتين ويمكنك اختيار الطريقة التي تفضلها. سأقسم الصفحة إلى نصفين أولًا. حسنًا، الطريقة الأولى هي استخدام مفهوم النسبة. تذكر الحقيقة الأساسية التي تفيد بأن مجموع قياسي الزاويتين المتكاملتين يساوي ١٨٠ درجة. إجمالي هذه النسبة هو خمسة أجزاء، لأن مجموع ثلاثة أجزاء وجزأين يساوي خمسة أجزاء، وبالتالي فهذه الأجزاء الخمسة المتساوية يجب أن تساوي ١٨٠. ومن هنا، إذا أردت إيجاد ما يساويه جزء واحد من هذه النسبة، فسأقسم على خمسة. إذن الجزء الواحد يساوي ١٨٠ مقسومًا على خمسة، ما يساوي ٣٦. علينا إيجاد قياس الزاوية الأكبر، والزاوية الأكبر هي الزاوية التي تحتوي على ثلاثة أجزاء من النسبة.
ولإيجاد قيمة الأجزاء الثلاثة، علينا ضرب ٣٦ في ثلاثة. بضرب ثلاثة أجزاء قيمة كل منها ٣٦ في ثلاثة نحصل على ١٠٨. وبالتالي فإن قياس الزاوية الأكبر يساوي ١٠٨ درجات. هذه إحدى طرق حل المسألة باستخدام مفاهيم النسبة. وهناك طريقة أخرى للحل باستخدام الجبر. فإذا كانت النسبة بين هاتين الزاويتين ثلاثة إلى اثنين، يمكنني تسميتهما ثلاثة ﺱ واثنين ﺱ مثلًا. وبتذكر الحقيقة الأساسية التي تفيد بأن مجموع قياسي الزاويتين المتكاملتين يساوي ١٨٠ درجة، يمكن تكوين معادلة. يمكن كتابة المعادلة: ثلاثة ﺱ زائد اثنين ﺱ يساوي ١٨٠. هذه هي المعادلة.
وإذا بسطنا الطرف الأيمن، ثلاثة ﺱ زائد اثنين ﺱ يساوي خمسة ﺱ، يصبح لدينا خمسة ﺱ يساوي ١٨٠. فإذا أردنا إيجاد قيمة ﺱ، فسنقسم على خمسة. إذن، يصبح لدينا ﺱ يساوي ٣٦. تذكر أن الزاوية الأكبر هي الزاوية التي أسميتها ثلاثة ﺱ، ولإيجاد قيمتها، علينا ضرب ٣٦ في ثلاثة. وهذا بالطبع يعطينا الإجابة نفسها وهي ١٠٨ درجات. إذن فالمنطق الذي تستند إليه الطريقتان متشابه جدًّا.
قد تكون الطريقة الجبرية منظمة أكثر، ولكن كلتا الطريقتين تصلح للتعامل مع هذه المسألة. ويجدر بك إجراء تحقق سريع، ما دام ذلك ممكنًا. سنرى ما سيحدث إذا حسبنا قياس الزاوية الأصغر. في الحالتين، لقد حسبنا أن الجزء الواحد أو ﺱ يساوي ٣٦، ومن ثم فإن الزاوية الأصغر تساوي اثنين في ٣٦، وهو ما يساوي ٧٢. وإذا تحققنا من مجموع الزاويتين، يمكننا عندئذ التأكد من حقيقة أن مجموع قياسيهما ١٨٠ درجة. فإجراء تحقق سريع في النهاية، من شأنه أن يمنحك بعض الثقة في الحل.
حسنًا، فلننتقل إلى المسألة الأخيرة، حيث لدينا شكل معطى ومطلوب منا إيجاد قياس الزاوية ﺟﻭﺃ. أي الزاوية التي تتكون عند الانتقال من ﺟ إلى ﻭ إلى ﺃ، وهي هذه الزاوية المحددة باللون الأخضر.
تتكون هذه الزاوية من جزأين. وبالفعل يمكننا أن نرى أن هذا الجزء يساوي ٤٢ درجة، ولكن علينا إيجاد قيمة الجزء المتبقي. بفحص هذا الشكل مرة أخرى، سنجد أن هناك زاويتين متتامتين؛ حيث توجد علامة للزاوية القائمة عند الانتقال من ﺩ إلى ﻭ إلى ﺏ، ما يعني أن هاتين الزاويتين المحددتين باللون البرتقالي زاويتان متتامتان، ومجموع قياسيهما يساوي ٩٠ درجة. إذن يمكن إيجاد قياس الزاوية ﺟﻭﺏ باستخدام هذه الحقيقة. وبذلك يمكنني كتابة هذه المعادلة: قياس الزاوية ﺟﻭﺏ زائد ٣١ يساوي ٩٠. بطرح ٣١ من طرفي هذه المعادلة، نجد أن قياس الزاوية ﺟﻭﺏ يساوي ٥٩ درجة. وها قد حددناها على الشكل. والآن لدينا كل ما نحتاجه لحساب قياس الزاوية ﺟﻭﺃ. لدينا القياس ٥٩ الذي حسبناه للتو، زائد القياس ٤٢ الذي نعرفه بالفعل. إذن، قياس هذه الزاوية يساوي ١٠١ من الدرجات.
خلاصة الأمر، عليك أن تتذكر هذه القوانين الأساسية الثلاثة الخاصة بالزوايا، وهي أن مجموع قياسي الزاويتين المتكاملتين يساوي ١٨٠ درجة، ومجموع قياسي الزاويتين المتتامتين يساوي ٩٠ درجة، والزاويتين المتقابلتين بالرأس متطابقتان. وعليك أن تتذكر أيضًا حقيقة أن مجموع قياسات الزوايا الداخلية في المثلث يساوي ١٨٠ درجة. عند حل مسألة، يجب أن تدقق في الشكل جيدًا لتحدد أنواع الزوايا التي يمكنك التعرف عليها، ثم تستخدم قوانين الزوايا المناسبة لحل المسألة.
