فيديو الدرس: الأحداث المستقلة الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحسب احتمالات الأحداث المستقلة.

١٥:٥١

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحسب احتمالات الأحداث المستقلة. سنبدأ بشرح معنى الأحداث المستقلة. نقول إن الحدثين مستقلان إذا كان ناتج وقوع أحد الحدثين لا يؤثر على ناتج وقوع الحدث الآخر. فإذا كان الحدثان ﺃ وﺏ مستقلين، يمكننا حساب احتمال وقوع كلا الحدثين بضرب احتمالي وقوع كل منهما على حدة. ويشار إلى ذلك عادة بقاعدة «التقاطع».

فاحتمال وقوع الحدثين ﺃ وﺏ يساوي احتمال وقوع ﺃ مضروبًا في احتمال وقوع ﺏ . ويكتب ذلك بالطريقة الأكثر شيوعًا على الصورة احتمال ﺃ تقاطع ﺏ يساوي احتمال ﺃ مضروبًا في احتمال ﺏ . تنطبق هذه القاعدة على الأحداث المستقلة فقط. ويمكن تمثيل هذا أيضًا باستخدام شكل ﭬﻦ حيث يكون احتمال ﺃ تقاطع ﺏ هو القطاع المشترك بين الدائرتين. سنتناول الآن بعض الأسئلة على الأحداث المستقلة.

في أي من السيناريوهات التالية يكون الحدثان ﺃ وﺏ حدثين مستقلين؟ الخيار (أ) ألقي حجر نرد. الحدث ﺃ هو الحصول على عدد زوجي، والحدث ﺏ هو الحصول على عدد أولي. الخيار (ب) ألقي حجر نرد وعملة معدنية. الحدث ﺃ هو الحصول على العدد ستة على حجر النرد، والحدث ﺏ هو استقرار العملة ووجه الصورة لأعلى. الخيار (ج) غادر طالب، أو طالبة، منزله في طريقه إلى المدرسة. الحدث ﺃ هو وصوله، أو وصولها، إلى محطة الحافلات في الوقت المحدد من أجل اللحاق بالحافلة، والحدث ﺏ هو الوصول إلى المدرسة في الوقت المحدد. الخيار (د) أخذ طفل قطعتين من الحلوى عشوائيًا من حقيبة تحتوي على قطع حلوى مضغ وقطع حلوى مقرمشة. الحدث ﺃ هو الحصول على حلوى المضغ في المرة الأولى، والحدث ﺏ هو الحصول على حلوى مقرمشة في المرة الثانية. الخيار (هـ) اختار مدرس طالبين عشوائيًا من مجموعة تحتوي على خمسة فتيان وخمس فتيات. الحدث ﺃ هو اختيار المدرس فتى في المرة الأولى، والحدث ﺏ هو اختيار المدرس فتاة في المرة الثانية.

إننا نتذكر أن الحدثين يكونان مستقلين إذا كان ناتج وقوع أحدهما لا يؤثر على ناتج وقوع الآخر. لنلق نظرة على الخيارات الخمسة جميعها بالترتيب. في الخيار (أ)، نلقي حجر نرد. الحدث ﺃ هو الحصول على عدد زوجي. والحدث ﺏ هو الحصول على عدد أولي. هذان الحدثان سيكونان مستقلين إذا لم توجد أعداد زوجية تكون أيضًا أعدادًا أولية. نحن نعلم أن حجر النرد المنتظم مرقم من واحد إلى ستة. إذن، الأعداد الزوجية هي اثنان وأربعة وستة. الأعداد الأولية هي الأعداد التي لها عاملان فقط. هذا يعني أنه في حجر النرد، لدينا الأعداد اثنان وثلاثة وخمسة. وبما أن العدد اثنين عدد زوجي وعدد أولي، فإن الحدث ﺃ والحدث ﺏ غير مستقلين. وهذا يعني أن الخيار (أ) ليس الإجابة الصحيحة.

يتضمن الخيار (ب) إلقاء حجر نرد وإلقاء عملة معدنية. الحدث ﺃ هو الحصول على العدد ستة على حجر النرد، والحدث ﺏ هو استقرار العملة ووجه الصورة لأعلى. إن إلقاء حجر النرد لا يؤثر على إلقاء العملة المعدنية، والعكس صحيح. هذا يعني أن ناتج وقوع الحدث ﺃ لا يؤثر على ناتج وقوع الحدث ﺏ . إذن، الحدثان ﺃ وﺏ مستقلان، وهذه إجابة صحيحة. هيا نلق نظرة على الأحداث في الخيارات الثلاثة الأخرى لنرى ما إذا كان أي منها يعد أيضًا مستقلًا.

في الخيار (ج)، الحدث ﺃ هو الوصول إلى محطة الحافلات في الوقت المحدد للحاق بالحافلة. والحدث ﺏ هو الوصول إلى المدرسة في الوقت المحدد. إذا فوت أحد الطلاب الحافلة لأنه لم يصل إلى محطة الحافلات في الوقت المحدد، فسيتأثر احتمال أو فرصة وصوله إلى المدرسة في الوقت المحدد. وذلك يعني أن ناتج وقوع الحدث ﺃ يؤثر فعليًا على ناتج وقوع الحدث ﺏ . لذا، في هذا السيناريو، الحدثان ﺃ وﺏ غير مستقلين.

في الخيار (د)، يختار طفل قطعتي حلوى من حقيبة. الحدث ﺃ هو أن يأخذ قطعة من حلوى المضغ في المرة الأولى. والحدث ﺏ هو أن يأخذ قطعة حلوى مقرمشة في المرة الثانية. بعد سحب قطعة الحلوى الأولى، ستنقص قطع الحلوى من الحقيبة قطعة واحدة. ذلك يعني أن ناتج سحب قطعة الحلوى الأولى سيؤثر على ناتج سحب قطعة الحلوى الثانية. إذن، حدثا سحب قطعة من حلوى المضغ أولًا ثم قطعة حلوى مقرمشة في المرة الثانية غير مستقلين. وذلك لأن وقوع الحدث ﺏ يتأثر بوقوع الحدث ﺃ.

الخيار (هـ) يعبر عن سيناريو مشابه للخيار (د). لكن هذه المرة يختار مدرس طالبين: الحدث ﺃ هو اختيار فتى في المرة الأولى، والحدث ﺏ هو اختيار فتاة في المرة الثانية. نحن نعلم أن هناك خمسة فتيان وخمس فتيات. اختيار فتى في المرة الأولى سيقلل عدد الفتيان إلى أربعة. وهذا بدوره يؤثر على فرصة أو احتمال اختيار فتاة في المرة الثانية. مرة أخرى، الحدث ﺃ يؤثر بالفعل على الحدث ﺏ . وعليه، فإن الحدثين غير مستقلين. السيناريو الوحيد الذي يعبر عن حدثين مستقلين من بين السيناريوهات الخمسة، هو ذلك الموضح في الخيار (ب). فالحصول على العدد ستة على حجر النرد والحصول على صورة على العملة المعدنية هما حدثان مستقلان.

يتضمن السؤال التالي حساب احتمال وقوع حدثين مستقلين معًا.

أمن سيف وداليا على حياتيهما في شركة للتأمين. قدرت الشركة احتمال أن يعيش سيف حتى ٨٥ سنة على الأقل بـ ٠٫٦. واحتمال أن تعيش داليا حتى ٨٥ سنة على الأقل بـ ٠٫٢٥. إذا كان هذان الحدثان مستقلين، فما احتمال أن يعيش كلاهما حتى ٨٥ سنة على الأقل؟

نقول إن الحدثين مستقلان إذا كان ناتج وقوع أحدهما لا يؤثر على ناتج وقوع الآخر. نحن نعلم أنه إذا كان هناك حدثان مستقلان، فإن احتمال وقوع الحدثين ﺃ وﺏ أو احتمال ﺃ تقاطع ﺏ يساوي احتمال وقوع ﺃ مضروبًا في احتمال وقوع ﺏ . إذا افترضنا أن الحدث ﺃ هو احتمال أن يعيش سيف حتى ٨٥ سنة على الأقل، فإن احتمال وقوع ﺃ هو ٠٫٦. وإذا كان الحدث ﺏ هو احتمال أن تعيش داليا حتى ٨٥ سنة أو أكثر، فإن احتمال وقوع ﺏ هو ٠٫٢٥. وبما أن هذين الحدثين مستقلان، يمكننا حساب احتمال حدوث كليهما بضرب ٠٫٦ في ٠٫٢٥. هذا يساوي ٠٫١٥. إذن، احتمال أن يعيش كل من سيف وداليا حتى ٨٥ سنة على الأقل هو ٠٫١٥.

يمكننا توضيح هذه المعلومة باستخدام شكل ﭬﻦ. يمثل القطاع المشترك بين الدائرتين ﺃ وﺏ احتمال وقوع كلا الحدثين. وذلك يساوي ٠٫١٥. نحن نعلم أن احتمال وقوع ﺃ هو ٠٫٦. وبما أن ٠٫٦ ناقص ٠٫١٥ يساوي ٠٫٤٥، فإن احتمال وقوع الحدث ﺃ وحده هو ٠٫٤٥. وبالمثل، فإن احتمال وقوع الحدث ﺏ وحده هو ٠٫١؛ لأن ٠٫٢٥ ناقص ٠٫١٥ يساوي ٠٫١. نحن نعرف أن مجموع الاحتمالات لا بد أن يساوي واحدًا. ومن ثم، لا بد أن يكون هناك ٠٫٣ خارج الدائرتين. ذلك لأن مجموع ٠٫٤٥ و٠٫١٥ و٠٫١ يساوي ٠٫٧. وواحد ناقص هذا يساوي ٠٫٣. يمثل ٠٫٣ هذا احتمال ألا يعيش سيف أو داليا حتى ٨٥ سنة.

يتضمن السؤال التالي حدثين مستقلين عند اختيار كرات من إناء.

إناء به كرات يحتوي على أربع كرات زرقاء وخمس كرات حمراء وكرة خضراء وكرتين سوداوين. اختيرت كرة عشوائيًا من الإناء. بعد استبدالها، اختيرت كرة أخرى. أوجد احتمال أن تكون الأولى زرقاء والثانية حمراء.

أحد الأجزاء الأساسية في هذا السؤال هو أن الكرة استبدلت. ذلك يعني أننا نتعامل مع حدثين مستقلين. فاختيار الكرة الأولى لا يؤثر على اختيار الكرة الثانية. وهذا لأن العدد الإجمالي للكرات في الإناء سيظل ثابتًا. ففي كل مرة يتم فيها اختيار كرة من الإناء، سيكون إجمالي الكرات الموجودة للاختيار منها هو ١٢ كرة. نحن نعلم أنه عند التعامل مع حدثين مستقلين، فإن احتمال وقوع الحدث ﺃ والحدث ﺏ يساوي احتمال وقوع الحدث ﺃ مضروبًا في احتمال وقوع الحدث ﺏ . ويعرف ذلك بالتقاطع.

في هذا السؤال، سنجعل الحدث ﺃ هو احتمال اختيار كرة زرقاء. والحدث ﺏ هو احتمال اختيار كرة حمراء. يمكن كتابة الاحتمال في صورة كسر؛ حيث يكون البسط هو عدد النواتج الناجحة والمقام هو عدد النواتج الممكنة لأي حدث عشوائي. في هذه الحالة، سيكون العدد العلوي أو البسط هو عدد الكرات باللون الذي نريده، والمقام هو إجمالي عدد الكرات. توجد أربع كرات زرقاء. لذا، فإن احتمال وقوع الحدث ﺃ هو أربعة من ١٢ أو أربعة على ١٢. توجد خمس كرات حمراء. لذا، فإن احتمال وقوع الحدث ﺏ، أي اختيار كرة حمراء، هو خمسة من ١٢ أو خمسة على ١٢.

قبل ضرب هذين الكسرين، نلاحظ أنه يمكن تبسيط الكسر الأول. فكل من البسط والمقام يقبل القسمة على أربعة، إذن يبسط أربعة على ١٢ إلى ثلث. يمكننا بعد ذلك ضرب البسطين والمقامين على نحو منفصل. واحد مضروبًا في خمسة يساوي خمسة، وثلاثة مضروبًا في ١٢ يساوي ٣٦. إذن، احتمال أن تكون الكرة الأولى هي الكرة الزرقاء والثانية هي الحمراء يساوي خمسة من ٣٦.

يتضمن السؤالان الأخيران إلقاء عملة معدنية عدة مرات.

ما احتمال إلقاء ثلاث عملات معدنية والحصول على كتابة على جميع الثلاثة؟

نحن نعلم أن إلقاء كل عملة معدنية هو حدث مستقل؛ لأن ناتج إلقاء واحدة منها لا يؤثر على ناتج إلقاء أي من العملتين الأخريين. عند التعامل مع ثلاثة أحداث مستقلة، فإن احتمال وقوع الحدث ﺃ والحدث ﺏ والحدث ﺟ جميعها يساوي احتمال ﺃ مضروبًا في احتمال ﺏ مضروبًا في احتمال ﺟ. عند إلقاء أي عملة معدنية، فإن احتمال الحصول على كتابة هو نصف. ويمكن كتابة ذلك أيضًا في صورة ٠٫٥ أو ٥٠ بالمائة. يمكننا القول إذن إن احتمال الحصول على كتابة بكل عملة من العملات الثلاثة هو نصف.

ولحساب احتمال الحصول على كتابة بالعملات الثلاثة، علينا ضرب نصف في نصف في نصف. ضرب قيم البسط يعطينا واحدًا. وضرب قيم المقام يعطينا ثمانية؛ حيث إن اثنين مضروبًا في اثنين يساوي أربعة، وبضرب ذلك في اثنين نحصل على ثمانية. إذن، احتمال إلقاء ثلاث عملات معدنية والحصول على كتابة بالعملات الثلاثة جميعها هو واحد من ثمانية، أو ثمن.

ما احتمال الحصول على كتابة مرة واحدة على الأقل عند إلقاء عملة معدنية ثلاث مرات؟

هناك عدة طرق لحل هذه المسألة. أيًا كانت الطريقة التي نقرر استخدامها، علينا أن نتذكر أن كل رمية أو إلقاء لعملة معدنية يمثل حدثًا مستقلًا. فناتج الرمية الأولى لا يؤثر على ناتج أي من الرميات الأخرى. إحدى طرق حل هذه المسألة هي سرد جميع مجموعات النواتج المحتملة عند إلقاء عملة معدنية ثلاث مرات. من المحتمل الحصول على كتابة في المرات الثلاثة التي نلقي فيها العملة. وهناك احتمال آخر؛ وهو الحصول على كتابة في الرميتين الأوليين والحصول على صورة في الرمية الثالثة. وقد نحصل على كتابة مرتين وصورة مرة واحدة بطريقتين أخريين. وهما إما كتابة، صورة، كتابة أو صورة، كتابة، كتابة. قد نحصل على كتابة مرة واحدة وصورة مرتين هكذا؛ كتابة، صورة، صورة. أو هكذا؛ صورة، كتابة، صورة أو صورة، صورة، كتابة.

وأخيرًا، يمكن الحصول على صورة في المرات الثلاثة. هذا يعني أن هناك ثماني مجموعات نواتج مختلفة يمكن أن تحدث. لكننا نريد احتمال الحصول على كتابة مرة واحدة على الأقل. المجموعة الموجودة بالأعلى تتضمن الحصول على كتابة ثلاث مرات. والمجموعات الثلاثة التي تليها تتضمن الحصول على كتابة مرتين. والمجموعات الثلاثة بعد ذلك تتضمن الحصول على كتابة مرة واحدة. ذلك يعني أن سبع مجموعات من ثماني مجموعات تضمنت الحصول على كتابة مرة واحدة على الأقل. إذن، احتمال وقوع ذلك هو سبعة من ثمانية أو سبعة أثمان.

هناك طريقة بديلة وهي حساب احتمال مجموعة النواتج الوحيدة التي لا نريدها أولًا، وهو احتمال الحصول على صورة ثلاث مرات. احتمال الحصول على صورة في أي رمية على حدة يساوي نصفًا. وحيث إن كل حدث من هذه الأحداث أو كل رمية من الرميات مستقل، يمكننا ضرب هذه الكسور معًا لحساب احتمال الحصول على صورة ثلاث مرات. احتمال الحصول على صورة ثلاث مرات هو ثمن. وبما أن احتمال الحصول على كتابة مرة واحدة على الأقل يمثل باقي الاحتمالات الأخرى، يمكننا طرح هذه الإجابة من واحد؛ لأننا نعلم أن مجموع الاحتمالات يساوي واحدًا. بطرح ثمن من واحد، نحصل مرة أخرى على الإجابة سبعة أثمان. عند إلقاء عملة معدنية ثلاث مرات، فإن احتمال الحصول على كتابة مرة واحدة على الأقل هو سبعة أثمان.

والآن سنلخص النقاط الأساسية الواردة في هذا الفيديو. تعلمنا في بداية هذا الفيديو أن الحدثين يكونان مستقلين إذا كان ناتج أحد الحدثين لا يؤثر على ناتج الحدث الآخر. وهذا ينطبق أيضًا على الأحداث المتعددة. فإذا كان الحدثان ﺃ وﺏ مستقلين، فإن احتمال وقوع كليهما يساوي احتمال وقوع ﺃ مضروبًا في احتمال وقوع ﺏ . بدلًا من كتابة كلمة «تقاطع»، نستخدم عادة الحرف n، الذي يعني التقاطع. عندما يكون الحدثان مستقلين، فإن احتمال ﺃ تقاطع ﺏ يساوي احتمال ﺃ مضروبًا في احتمال ﺏ .

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.