نسخة الفيديو النصية
أوجد ﺩﺹ على ﺩﺱ، إذا كان سبعة ﺹ يساوي ستة في ﺱ أس جا ستة ﺱ.
لدينا في السؤال سبعة ﺹ يساوي ستة في ﺱ أس جا ستة ﺱ. ومطلوب منا إيجاد مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ. أي ﺩﺹ على ﺩﺱ. نرى أن الطرف الأيسر هنا معقد للغاية؛ لأن لدينا فيه المتغير ﺱ مرفوعًا للأس جا ستة ﺱ، والذي هو في حد ذاته دالة في المتغير ﺱ. لهذا السبب، لا يمكن مباشرة تطبيق طرق الاشتقاق المعتادة، مثل قاعدة السلسلة أو قاعدة الضرب أو قاعدة القسمة. ولكن ما يمكننا فعله هو استخدام الاشتقاق اللوغاريتمي.
إذا كانت ﺹ دالة في ﺱ، فإن أول خطوة في الاشتقاق اللوغاريتمي هي تطبيق اللوغاريتم الطبيعي على كلا الطرفين؛ وعليه نحصل على اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺹ يساوي اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺩﺱ، مع تذكر أن اللوغاريتم الطبيعي يساوي اللوغاريتم للأساس ﻫ؛ حيث ﻫ هو عدد أويلر، ويساوي تقريبًا ٢٫٧١٨٢٨ وهكذا مع توالي الأرقام. لنطبق هذا إذن على الدالة لدينا. لكن دعونا أولًا نقسم الطرفين على سبعة بحيث يصبح لدينا ﺹ وحدها في الطرف الأيمن، وعليه يصبح اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺹ يساوي اللوغاريتم الطبيعي لستة على سبعة في ﺱ أس جا ستة ﺱ. ودعونا نضع قوسين حول المدخل لدينا لتوضيحه.
لكي يكون هذا صحيحًا، علينا تحديد أن ﺹ أكبر من صفر. وذلك لأن لوغاريتم صفر غير معرف واللوغاريتم غير موجود للقيم السالبة. إذا أردنا تضمين قيم سالبة، فعلينا وضع كل من ﺹ وﺩﺱ داخل علامتي القيمة المطلقة، مع العلم أن ﺹ ما زالت لا تساوي صفرًا. ولكن في هذه المسألة، سنحدد أن ﺹ أكبر من صفر. خطوتنا الثانية في الاشتقاق اللوغاريتمي هي استخدام قوانين اللوغاريتمات للتبسيط أو الفك.
بداية، يمكننا تطبيق قاعدة الضرب للوغاريتمات على الطرف الأيسر. وتنص هذه القاعدة على أن لوغاريتم حاصل الضرب ﺏﺟ للأساس ﺃ يساوي لوغاريتم ﺏ للأساس ﺃ زائد لوغاريتم ﺟ للأساس ﺃ. في هذه المسألة، الأساس هو ﻫ. وستة على سبعة يناظر ﺏ. وﺱ أس جا ستة ﺱ يناظر ﺟ. إذن قاعدة الضرب للوغاريتمات تعطينا اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺹ يساوي اللوغاريتم الطبيعي لستة على سبعة زائد اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ أس جا ستة ﺱ.
وكما نرى، الحد الثاني في الطرف الأيسر لا يزال معقدًا للغاية. ولتبسيط ذلك، يمكننا استخدام قاعدة القوة للوغاريتمات. تنص هذه القاعدة على أن لوغاريتم ﺏ أس ﺟ للأساس ﺃ يساوي ﺟ في لوغاريتم ﺏ للأساس ﺃ. اللوغاريتم لدينا أساسه ﻫ، وﺱ يناظر ﺏ، وجا ستة ﺱ يناظر ﺟ. والآن نكتب الأس جا ستة ﺱ بالأسفل ونضربه في اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ. وبذلك، يصبح لدينا اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺹ يساوي اللوغاريتم الطبيعي لستة على سبعة زائد جا ستة ﺱ في اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ.
حسنًا، لنفرغ بعض المساحة، نلاحظ الآن أنه أصبح لدينا شيء يسهل التعامل معه ويمكننا اشتقاقه بسهولة. وهذا يقودنا إلى الخطوة الثالثة في الاشتقاق اللوغاريتمي. وهي اشتقاق كلا الطرفين بالنسبة إلى ﺱ. في الطرف الأيسر، يمكننا استخدام حقيقة أن مشتقة المجموع تساوي مجموع المشتقات. وأول شيء يمكننا ملاحظته هو أنه بما أن اللوغاريتم الطبيعي لستة على سبعة يساوي ثابتًا، فإن مشتقته تساوي صفرًا. وفي الطرف الأيمن، يمكننا استخدام حقيقة أن ﺩ على ﺩﺱ للوغاريتم الطبيعي لـ ﺹ يساوي واحدًا على ﺹ في ﺩﺹ على ﺩﺱ؛ حيث ﺹ أكبر من صفر لأي ﺹ دالة في ﺱ.
بالنسبة إلى الحد الأخير في الطرف الأيسر من المعادلة، لدينا مشتقة حاصل ضرب. لذلك، يمكننا استخدام قاعدة الضرب للاشتقاق. وهي تنص على أن مشتقة أي حاصل ضرب، ﻉﻕ، بالنسبة إلى ﺱ تساوي ﻉ في ﺩﻕ على ﺩﺱ زائد ﺩﻉ على ﺩﺱ في ﻕ؛ حيث ﻉ وﻕ دالتان في المتغير ﺱ. في هذه المسألة، بفرض أن ﻉ يساوي جا ستة ﺱ وﻕ يساوي اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ، فإن ﺩﻉ على ﺩﺱ يساوي ستة في جتا ستة ﺱ، وﺩﻕ على ﺩﺱ يساوي واحدًا على ﺱ. إذن وفقًا لقاعدة الضرب، المشتقة بالنسبة إلى ﺱ لـ جا ستة ﺱ في اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ ستساوي جا ستة ﺱ، أي ﻉ؛ في واحد على ﺱ، أي ﺩﻕ على ﺩﺱ؛ زائد ستة في جتا ستة ﺱ، أي ﺩﻉ على ﺩﺱ؛ في اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ، أي ﻕ.
حسنًا، لنفرغ بعض المساحة، الآن يمكننا كتابة ذلك بوضوح أكثر. لدينا واحد على ﺹ في ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي جا ستة ﺱ على ﺱ زائد ستة جتا ستة ﺱ في اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ. ولكننا لم ننته بعد؛ لأن ما نريده هو إيجاد ﺩﺹ على ﺩﺱ. لذا علينا حذف العامل واحد على ﺹ في الطرف الأيمن. ويمكننا فعل ذلك بضرب الطرفين في ﺹ. في الطرف الأيمن، تحذف ﺹ إحداهما الأخرى. إذن يتبقى لدينا ﺩﺹ على ﺩﺱ في الطرف الأيمن. وفي الطرف الأيسر، نتذكر أن ﺹ يساوي ستة على سبعة في ﺱ أس جا ستة ﺱ.
هذا يقودنا إلى الخطوة الرابعة في الاشتقاق اللوغاريتمي، وهي الحل لإيجاد ﺩﺹ على ﺩﺱ. بالتعويض بـ ﺹ يساوي ستة على سبعة ﺱ أس جا ستة ﺱ، نحصل على ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ستة على سبعة في ﺱ أس جا ستة ﺱ مضروبًا في جا ستة ﺱ الكل على ﺱ زائد ستة في جتا ستة ﺱ في اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ.
