نسخة الفيديو النصية
أوجد، لأقرب جزء من مائة، المسافة بين المستويين: المتجه ستة، ثلاثة، ستة ضرب قياسي المتجه ﺭ يساوي ١١، وﺱ على ثلاثة زائد ﺹ على ستة زائد ﻉ على ثلاثة يساوي واحدًا.
في هذا السؤال، نريد إيجاد المسافة بين مستويين. ولنفعل ذلك، نبدأ بالتحقق مما إذا كان المستويان متوازيين. لعلنا نتذكر أن أي مستويين يكونان متوازيين إذا كان المتجهان العموديان على هذين المستويين متوازيين. يعطى بالمتجه العمودي على المستوى: المتجه ستة، ثلاثة، ستة ضرب قياسي المتجه ﺭ يساوي ١١ بالمتجه ستة، ثلاثة، ستة. أما المتجه العمودي على المستوى الآخر، فيمكننا إيجاده من خلال معاملات ﺱ وﺹ وﻉ. قد يكون من المفيد إعادة ترتيب هذه المعادلة بضرب الطرفين في ستة. ومن ثم، فإن المتجه العمودي يعطى بالمتجه اثنين، واحد، اثنين.
يكون أي متجهين متوازيين إذا كان كل منهما مضاعفًا قياسيًّا للآخر، وهذا هو الحال هنا. يعني هذا أن المتجهين العموديين متوازيان، وعليه فإن المستويين نفسهما متوازيان أيضًا. عندما يتعلق الأمر بإيجاد المسافة بين مستويين متوازيين، يمكننا تحديد نقطة على أحد المستويين وإيجاد المسافة العمودية من تلك النقطة إلى المستوى الآخر. دعونا نأخذ معادلة المستوى الثاني ونوجد نقطة تقع على هذا المستوى.
من إحدى طرق ذلك التعويض بـ ﺱ يساوي صفرًا وﺹ يساوي صفرًا. وعندما نفعل هذا، نحصل على المعادلة: صفر على ثلاثة زائد صفر على ستة زائد ﻉ على ثلاثة يساوي واحدًا. وبالتبسيط، نحصل على ﻉ على ثلاثة يساوي واحدًا، وعليه فإن ﻉ يساوي ثلاثة. وبما أننا افترضنا أن ﺱ وﺹ يساويان صفرًا، فإننا نعلم أن النقطة صفرًا، صفرًا، ثلاثة تقع على هذا المستوى. يمكننا بعد ذلك تذكر الصيغة التالية واستخدامها.
المسافة العمودية، التي نشير إليها بـ ﻝ، بين النقطة ﺱ واحد، ﺹ واحد، ﻉ واحد، ومستوى المتجه ﺭ ضرب قياسي ﺃ، ﺏ، ﺟ يساوي سالب ﺩ تعطى بالعلاقة: ﻝ يساوي القيمة المطلقة لـ ﺃﺱ واحد زائد ﺏﺹ واحد زائد ﺟﻉ واحد زائد ﺩ على الجذر التربيعي لـ ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع زائد ﺟ تربيع. قيم ﺱ واحد وﺹ واحد وﻉ واحد هي صفر، وصفر، وثلاثة، على الترتيب. ونأخذ قيم ﺃ وﺏ وﺟ من المستوى الآخر، وهي ستة، وثلاثة، وستة، على الترتيب.
لاحظ أنه على هذه الصورة لمعادلة المستوى، فإن سالب ﺩ سيناظر القيمة ١١. وهذا يعني أن ﺩ لا بد أن يساوي سالب ١١. والآن، أصبحنا مستعدين للتعويض بهذه القيم في الصيغة. لدينا ﻝ يساوي مقدار ستة في صفر زائد ثلاثة في صفر زائد ستة في ثلاثة زائد سالب ١١ على الجذر التربيعي لستة تربيع زائد ثلاثة تربيع زائد ستة تربيع. وبتبسيط ذلك، يصبح لدينا القيمة المطلقة لـ ١٨ ناقص ١١ على الجذر التربيعي لـ ٣٦ زائد تسعة زائد ٣٦.
في البسط، لدينا القيمة المطلقة لسبعة، وتساوي سبعة. وفي المقام، لدينا الجذر التربيعي لـ ٨١. يمكننا بعد ذلك كتابة أن هذه المسافة لا بد أن تساوي سبعة على تسعة وحدة طول. وهذه إجابة صحيحة تمامًا، لكن لاحظ أن السؤال يطلب منا إيجاد المسافة لأقرب جزء من مائة. لذا، علينا كتابة الناتج على صورة عدد عشري. نحن نعلم أن سبعة أتساع على صورة عدد عشري يساوي ٠٫٧ دوري. إذن، بالتقريب لأقرب جزء من مائة، تكون الإجابة هي أن المسافة بين المستويين لا بد أن تساوي ٠٫٧٨ وحدة طول.
