فيديو الدرس: قانون الجيب الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعرف على قانون الجيب ونرى كيفية تطبيقه على بعض المسائل المختلفة.

هذا هو كل ما يدور حوله قانون الجيب. إنه مفيد للغاية؛ لأنه يمكننا من تطبيق حساب المثلثات وحساب الأطوال وقياسات الزوايا في المثلثات غير القائمة. لدينا هنا شكل يوضح مثلثًا لا يحتوي على زاوية قائمة، وقد كتبت عليه حروفًا بطريقة معينة. إذ سميت رءوس المثلث الثلاثة ﺃ وﺏ وﺟ. ثم سميت أطوال الأضلاع المقابلة لهذه الرءوس بالحروف نفسها، ولكنها مضاف لها شرطة. إذن، طول الضلع ﺃ شرطة مقابل للزاوية ﺃ، وهكذا.

ما ينص عليه قانون الجيب هو أن النسبة بين طول ضلع ما وجيب الزاوية المقابلة له ثابتة داخل مثلث محدد. لذا، إذا قسمنا طول الضلع ﺃ شرطة على جيب الزاوية المقابلة له ﺃ، فسنحصل على النتيجة نفسها التي نحصل عليها إذا قسمنا طول الضلع ﺏ شرطة على جيب الزاوية ﺏ. وسنحصل أيضًا على النتيجة نفسها إذا قسمنا طول الضلع ﺟ شرطة على جيب الزاوية المقابلة له ﺟ.

وهذه هي إحدى طرق تحديد العلاقة. وهذه الصورة مفيدة تحديدًا إذا كنا نريد حساب طول أحد الأضلاع. لكن يمكنك أيضًا تحديدها باستخدام المقلوبات؛ حيث يمكنني قلب كل من هذه الكسور. إذن، يمكن كتابة العلاقة أيضًا بهذه الصورة؛ حيث تكون جميع هذه الكسور مقلوبة. هذه الصورة مفيدة بالتحديد عندما يطلب منك إيجاد قياس إحدى الزوايا.

إذن، متى نستخدم قانون الجيب؟ حسنًا، كما قلت سابقًا، نحن نستخدمه في المثلثات غير القائمة، لكننا نستخدمه تحديدًا بصورة أكبر عندما تكون المعطيات التي لدينا في السؤال عبارة عن أزواج متقابلة. فعلى سبيل المثال، قد يكون لدينا طولا الضلعين ﺃ شرطة وﺏ شرطة، وقد يكون لدينا قياس الزاوية ﺃ ونريد حساب قياس الزاوية ﺏ. ولهذا، نظرًا لأن هذين الزوجين متقابلان، فستكون الفرصة متاحة لاستخدام قانون الجيب.

هذا السؤال يقول: أوجد جميع القيم الممكنة لأطوال أضلاع المثلث ﺃﺏﺟ وقياسات زواياه الأخرى. ومطلوب منا تقريب الأطوال لأقرب سنتيمتر، وقياسات الزوايا لأقرب درجة.

سنناقش إذن المقصود بجميع القيم الممكنة بعد قليل، لكن لنبدأ بتذكر تعريف قانون الجيب الذي سنحتاج إليه في هذا السؤال. تذكر أنه هو هذه النسبة هنا، وبالطبع يمكننا استخدام مقلوب ذلك. لذا، يمكننا كتابته بطريقة أخرى.

حسنًا، لدينا هنا ثلاثة أمور علينا حسابها: قياسا زاويتين ناقصان، ثم طول ضلع ناقص. وسبب معرفتنا أنه يمكننا استخدام نسبة الجيب هو أن لدينا أزواجًا متقابلة. لدينا هذا الضلع طوله ١٤ سنتيمترًا، وزاوية قياسها ٥٢ درجة، وهذا الضلع طوله ٨٫١ سنتيمترات، وهو ما يعني أن لدينا المعطيات الكافية لحساب قياس الزاوية ﺏ أولًا.

إذن، ما سنفعله هو كتابة قانون الجيب فقط باستخدام قياس الزاوية ﺃ، وطول الضلع ﺃ شرطة، وقياس الزاوية ﺏ، وطول الضلع ﺏ شرطة. والآن، بما أننا سنحسب قياس الزاوية أولًا، سنستخدم الصورة المقلوبة لهذه العلاقة. إذن، باستخدام جميع المعطيات لدينا، نجد أن جا ﺏ مقسومًا على ٨٫١ يساوي جا ٥٢ مقسومًا على ١٤. والآن، أصبح لدينا معادلة يمكننا حلها لإيجاد قياس الزاوية ﺏ.

الخطوة الأولى هي ضرب طرفي هذه المعادلة في ٨٫١. لدينا إذن جا ﺏ يساوي ٨٫١ مضروبًا في جا ٥٢ على ١٤. والآن، سنستخدم الدالة العكسية للجيب لحساب قياس الزاوية ﺏ. وباستخدام الآلة الحاسبة لإيجاد قيمة ذلك، نجد أن قياس الزاوية ﺏ يساوي ٢٧٫١٢٤. وسنقرب ذلك إذن إلى ٢٧ درجة. لذا، إذا كان لدينا قياس الزاوية ﺏ يساوي ٢٧ درجة، ولدينا بالفعل قياس الزاوية ﺃ يساوي ٥٢ درجة، فيمكننا إيجاد قياس الزاوية ﺟ مباشرة، ليس باستخدام قانون الجيب ولكن باستخدام مجموع قياسات الزوايا في المثلث. إذن، قياس الزاوية ﺟ يساوي ١٨٠ ناقص ٥٢ ناقص ٢٧، وبذلك فإن قياسها ١٠١ من الدرجات.

حسنًا، لدينا الآن قياسات جميع زوايا المثلث، وما علينا سوى إيجاد طول الضلع الأخير. سنطبق قانون الجيب مرة أخرى. وبما أننا نحسب طول ضلع هذه المرة، فسنستخدم الصورة الأولى التي تكون فيها أطوال الأضلاع في البسط. الآن، نحتاج فقط لاستخدام أحد الأزواج الأخرى، إما الزوج ﺃ أو الزوج ﺏ. سنختار استخدام الزوج ﺃ. إذن، لدينا ﺟ شرطة على جا ١٠١ يساوي ١٤ على جا ٥٢. والآن علينا الانتباه للتمييز بين الأحرف ِوَالْأَحْرُفِ المضاف لها شرطة هُنَا. تذكر أن الأحرف المضاف لها شرطة تمثل أطوال الأضلاع، إذن لدينا هنا ﺟ شرطة.

لحل هذه المعادلة لإيجاد طول الضلع ﺟ شرطة، علينا ضرب طرفي المعادلة في جا ١٠١. وبذلك، فإن ﺟ شرطة يساوي ١٤ مضروبًا في جا ١٠١ مقسومًا على جا ٥٢، وهو ما يساوي ١٧٫٤٣. والآن، مطلوب منا تقريب هذا لأقرب سنتيمتر، وبذلك فإن طول الضلع ﺟ شرطة يساوي ١٧ سنتيمترًا. إذن، هذه هي القيم الثلاث التي حسبناها؛ حيث لدينا طول الضلع ﺟ شرطة يساوي ١٧ سنتيمترًا، وقياس الزاوية ﺏ يساوي ٢٧ درجة، وقياس الزاوية ﺟ يساوي ١٠١ من الدرجات.

والآن، لنعد إلى هذا الجزء من السؤال حيث طلب منا إيجاد جميع القيم الممكنة لأطوال الأضلاع وقياسات الزوايا الأخرى. وما علينا التفكير فيه هو أنه عندما أوجدنا قياس الزاوية ﺏ، وجدنا أنه يساوي ٢٧ درجة. إذن، ما علينا أخذه في الاعتبار هو أن هناك في الحقيقة احتمالًا آخر لقياس الزاوية ﺏ، وهذا بناء على حقيقة أن جيب زاوية ما يساوي جيب ١٨٠ ناقص قياس هذه الزاوية. هذه إحدى خصائص نسبة الجيب.

إذن ما نستنتجه من ذلك هو أنه على الرغم من أن قياس الزاوية ﺏ يمكن أن يكون ٢٧ درجة، فقد يكون أيضًا ١٨٠ ناقص ٢٧، ما يعني أن قياس الزاوية ﺏ يمكن أن يكون ١٥٣ درجة. لكن إذا نظرنا إلى المعطيات التي لدينا بالفعل في هذه المرحلة، وهي أن الزاوية ﺃ قياسها ٥٢ درجة، نجد أن ذلك غير ممكن. هذا لأننا إذا جمعنا قياسي ﺃ وﺏ معًا، فسنحصل على مجموع قياسات زوايا أعلى من ١٨٠ درجة، ونحن نعرف أن مجموع قياسات الزوايا في أي مثلث يساوي ١٨٠ درجة. هذا يخبرنا بأنه، في الواقع، لا يوجد حل ممكن آخر لقياس الزاوية ﺏ. ذلك لأنه إذا كان قياسها ١٥٣ درجة، فلن يكون من الممكن تضمين ذلك في مثلث بالمعلومات التي نعرفها بالفعل.

لكن هذا التحقق مهم. ولو كان من الممكن تضمين هذه الزاوية في مثلث قياس إحدى زاوياه ٥٢ درجة، لكنا سنحصل على مجموعة أخرى من القياسات الممكنة، وعندئذ سيكون علينا حساب قياس الزاوية ﺟ وطول الضلع ﺟ شرطة مرة أخرى باستخدام القيمة الثانية لقياس الزاوية ﺏ. إذن، في هذا السؤال، طبقنا قانون الجيب مرتين؛ مرة لحساب طول ضلع، ومرة أخرى لحساب قياس زاوية. ثم استخدمنا حقيقة أن مجموع قياسات زوايا المثلث يساوي ١٨٠ درجة لإيجاد قياس الزاوية الثالثة في المثلث.

هذا السؤال يقول: ﺃﺏﺟ مثلث، قياس الزاوية ﺃ هو ٥٥ درجة، وﺏﺟ طوله ١٣ سنتيمترًا، وﺃﺟ طوله ٢٨ سنتيمترًا. مطلوب منا، إذا كان المثلث موجودًا، إيجاد جميع القيم الممكنة لأطوال الأضلاع وقياسات الزوايا الأخرى، ثم أخبرنا السؤال بكيفية تقريب الإجابات.

من المثير للاهتمام الآن أن السؤال يقول: «إذا كان المثلث موجودًا». إذن، ما سنفعله هو أننا سنفترض أن المثلث موجود بالفعل، وسنتابع الحل. وإذا نجحنا في الحل، يكون إذن المثلث موجودًا بالفعل. أما إذا واجهنا مشكلة، فسنعرف أن المثلث غير موجود.

لذا سنفترض أنه موجود أولًا، وسنرسم هذا المثلث. ها هو الشكل الذي رسمناه، موضح عليه جميع المعطيات. الآن مطلوب منا حساب أطوال الأضلاع وقياسات الزوايا، ويمكننا ملاحظة أننا بحاجة لاستخدام قانون الجيب هنا لأن لدينا زوجًا متقابلًا لزاوية قياسها ٥٥ درجة، وضلع طوله ١٣ سنتيمترًا. لنتذكر إذن قانون الجيب. وها هو هنا، وينص على أن النسبة بين جيب زاوية ما وطول الضلع المقابل لها ثابتة في المثلث الواحد. تذكر أن ﺃ شرطة وﺏ شرطة وﺟ شرطة تمثل أطوال الأضلاع المقابلة للزوايا ﺃ وﺏ وﺟ. لذا، سنضيفها إلى الشكل.

والآن، اخترنا استخدام قانون الجيب بهذه الصورة بحيث تكون قياسات الزوايا في البسط؛ لأننا سنحاول أولًا حساب قياس الزاوية ﺏ. وسيتطلب ذلك إعادة ترتيب بسيطة إذا بدأنا بقياس الزاوية في البسط. يمكننا استخدام الصورة الأخرى لمقلوبات كل هذه الكسور، لكن الأمر سيتطلب إعادة ترتيب أكثر تعقيدًا نوعًا ما.

إذن، ما سنفعله بعد ذلك هو أننا سنكتب قانون الجيب باستخدام الزوج الذي نعرفه، وهو الزوج ﺃ، وباستخدام الزوج الذي نريد حسابه، وهو الزوج ﺏ. ومن ذلك، نحصل على جا ﺏ مقسومًا على ٢٨ يساوي جا ٥٥ مقسومًا على ١٣. ذلك يعطينا معادلة نحاول حلها لإيجاد قياس الزاوية ﺏ. والخطوة الأولى هي ضرب كلا طرفي هذه المعادلة في ٢٨. وبذلك، نحصل على جا ﺏ يساوي ٢٨ جا ٥٥ على ١٣.

الآن، لإيجاد قياس الزاوية ﺏ، علينا أن نستخدم الدالة العكسية للجيب. وبذلك، فإن ﺏ تساوي الدالة العكسية لجيب هذه النسبة، وهي ٢٨ جا ٥٥ على ١٣. والآن، إذا حاولنا كتابة ذلك على الآلة الحاسبة، فسنجد أننا سنحصل على خطأ ما، ولا يمكننا حقًا حساب قياس الزاوية ﺏ. لنعد إلى الخطوة السابقة لنعرف سبب ذلك. إذا أوجدنا قيمة الكسر في هذه الخطوة هنا، فسنجد أنها تساوي ١٫٧٦٤. إذن، يصبح لدينا جا ﺏ يساوي ١٫٧٦٤. وهذا هو سبب أننا حصلنا على خطأ.

إذا كنت تتذكر، فإن قيمة الجيب لأي زاوية تكون دائمًا بين سالب واحد وواحد. وفي حالة وجود زاوية موجبة، مثلما هو الحال في أي مثلث، فهي دائمًا بين صفر وواحد. وعليه، فمن غير الممكن أن يكون جا ﺏ مساويًا لهذه القيمة ١٫٧٦، التي تزيد عن واحد. ونستنتج من ذلك أنه لا يمكننا حساب قياس الزاوية ﺏ، وعليه فإن افتراض أن هذا المثلث موجود يجب أن يكون خطأ. إذن، فإجابتنا عن هذا السؤال هي أنه لا يمكننا حساب أطوال أي من هذه الأضلاع أو قياسات أي من الزوايا؛ لأن المثلث غير موجود.

لنلق نظرة على مسألة كلامية. وهي تخبرنا بأن شريف يريد حساب ارتفاع مبنى شاهق. وهو ينظر إلى المبنى من المستوى الأفقي نفسه، وقياس زاوية ارتفاع قمة المبنى يساوي ٤٠ درجة. تحرك شريف بعد ذلك مسافة ٣٠ مترًا إلى الخلف، وأصبح قياس زاوية الارتفاع الآن ٢٥ درجة. مطلوب منا حساب ارتفاع هذا المبنى لأقرب جزء من عشرة.

حسنًا، ليس لدينا شكل هنا، ومن المنطقي دائمًا أن نرسمه بأنفسنا. إذن، نبدأ برسم مبنى مرتفع. يقف شريف على بعد مسافة معينة منه. لا نعلم طول هذه المسافة. وقياس زاوية ارتفاع قمة المبنى يساوي ٤٠ درجة. تحرك شريف الآن ٣٠ مترًا إلى الخلف، وأصبح قياس زاوية الارتفاع الآن ٢٥ درجة؛ إذن نضيف هذا الجزء إلى الشكل. ثم نضيف بعض الأحرف إلى الشكل. ونجد أن ﺏﺩ هو الضلع الذي نريد حساب طوله، وهو يمثل ارتفاع المبنى.

الآن لدينا ﺃﺏﺩ مثلث قائم الزاوية، لذا نظريًا يمكننا استخدام الصيغ المعتادة لحساب المثلثات، أي نسب الجيب وجيب التمام والظل، في هذا المثلث. لكننا لا نعرف إلا قياس زاوية واحدة حاليًا، ومن ثم نحتاج إلى بعض المعلومات الأخرى، ويفضل أن يكون طول ضلع، كي نوجد طول الضلع ﺏﺩ. لدينا أيضًا مثلث غير قائم الزاوية، وهو المثلث ﺃﺏﺟ، الذي لدينا فيه معطيات أكثر. إذ نعرف فيه قياس زاوية وطول ضلع. نلاحظ أيضًا أن الضلع ﺃﺏ مشترك بين هذين المثلثين. لذا، ربما يمكننا استخدام المثلث غير القائم الزاوية لإيجاد طول الضلع ﺃﺏ، ثم نستخدم حساب المثلثات في المثلث ﺃﺏﺩ لإيجاد ارتفاع هذا المبنى.

إذن، لننظر أولًا إلى المثلث غير القائم الزاوية، وهو المثلث ﺃﺏﺟ. وفي الواقع، يمكننا إيجاد جميع قياسات الزوايا الثلاث في هذا المثلث؛ لأن الزاوية التي قياسها ٤٠ درجة تقع على خط مستقيم مع الزاوية الأخرى. وعليه، فإن قياس هذه الزاوية الأخرى لا بد أن يساوي ١٤٠ درجة، باستخدام حقيقة أن مجموع قياسات الزوايا الواقعة على خط مستقيم يساوي ١٨٠ درجة. إذن، قياس هذه الزاوية هنا، الزاوية ﺃ، لا بد أن يكون ١٤٠ درجة. يمكننا أيضًا إيجاد قياس الزاوية ﺏ لأننا نعلم أن مجموع قياسات زوايا المثلث يساوي ١٨٠ درجة، إذن قياس الزاوية ﺏ لابد أن يكون ١٥.

بالنظر إلى هذا المثلث غير القائم الزاوية، نجد أننا نعرف جميع قياسات الزوايا الثلاث ونعلم طول ضلع واحد فيه، وهو ما يعني أنه يمكننا تطبيق قانون الجيب لإيجاد طول أي من الضلعين الآخرين. إذن، سنسميها ﺃ شرطة وﺏ شرطة وﺟ شرطة بما يتفق مع الزوايا المقابلة لها. وهيا نتذكر قانون الجيب. ها هو هنا. سنستخدمه بهذه الصورة التي فيها أطوال الأضلاع في البسط؛ لأننا نريد حساب طول ضلع.

فنحن نريد حساب طول الضلع ﺃﺏ، المشار إليه هنا بالضلع ﺟ شرطة. لذا، سنستخدم الضلع ﺟ شرطة والزاوية ﺟ. وسنستخدم أيضًا الضلع ﺏ شرطة والزاوية ﺏ لأنهما الزوج الذي نعرفه. إذن سنحصل على ﺟ شرطة على جا ٢٥ يساوي ٣٠ على جا ١٥، باستخدام الزوجين المتقابلين. يمكننا حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﺟ شرطة. علينا ضرب كلا الطرفين في جا ٢٥. نستنتج من ذلك أن ﺟ شرطة يساوي ٣٠ جا ٢٥ على جا ١٥. وبحساب ذلك، نجد أنه يساوي ٤٨٫٩٨٦١. والآن، سنحتفظ بهذه القيمة على الآلة الحاسبة كما هي لكي نستخدمها لاحقًا في العملية الحسابية.

والآن، إذا انتبهنا إلى المثلث القائم الزاوية، أي المثلث ﺃﺏﺩ، فسنجد أن لدينا زاوية قياسها ٤٠ درجة، ولدينا طول الضلع ﺟ شرطة، أو ﺃﺏ، وهو ٤٨، ونريد حساب طول الضلع ﺏﺩ هذا. إذن، يمكننا استخدام الصيغ القياسية لحساب المثلثات. سنبدأ بتسمية الأضلاع الثلاثة في هذا المثلث بالنسبة إلى هذه الزاوية التي قياسها ٤٠. إذن، لدينا الضلع المقابل، والضلع المجاور، والوتر. والآن نعرف طول الوتر ونريد حساب طول الضلع المقابل. إذن، نستنتج من ذلك أننا سنستخدم نسبة جيب الزاوية، أي نسبة الجيب القياسية في المثلث القائم الزاوية، وليس قانون الجيب.

تذكر أن نسبة الجيب هي طول الضلع المقابل مقسومًا على طول الوتر. والآن، يمكنك استخدام قانون الجيب في المثلث القائم الزاوية، لكنه أمر معقد دون داع. فهو يتضمن استخدام الزاوية التي قياسها ٩٠ درجة، وجا ٩٠ يساوي واحدًا فقط. بينما سيكون الأمر أكثر سهولة إن استخدمنا نسبة الجيب المعتادة. إذن سنكتب هذه النسبة لهذا المثلث. لدينا جا ٤٠ يساوي طول الضلع المقابل ﺏﺩ على ٤٨٫٩٨. نريد حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﺏﺩ، لذا علينا ضرب كلا الطرفين في هذه القيمة ٤٨٫٩٨٦.

ولهذا السبب احتفظنا بهذه القيمة على الآلة الحاسبة؛ لأنه يمكننا الآن الضغط فقط على الضرب في جا ٤٠ للحصول على إجابة دقيقة. وبإيجاد قيمة ذلك، نحصل على ٣١٫٤٨. وعند تقريب الناتج لأقرب جزء من عشرة كما هو مطلوب، سنحصل على الإجابة وهي أن ارتفاع هذا المبنى يساوي ٣١٫٥ مترًا. إذن، في هذا السؤال، رسم شكل مناسب أولًا كان أمرًا مهمًا. بعد ذلك استخدمنا قانون الجيب في المثلث غير القائم الزاوية، ثم استخدمنا الصورة المعتادة لنسبة الجيب في المثلث القائم الزاوية للإجابة عن السؤال.

خلاصة القول، إن قانون الجيب يسمح لنا بحساب قياسات الزوايا وأطوال الأضلاع في المثلثات غير القائمة. وينص على أن النسبة بين طول ضلع وجيب الزاوية المقابلة له ثابتة في المثلث الواحد. ويمكننا استخدامه بأي من هاتين الصورتين بناء على ما إذا كنا نريد حساب طول ضلع ما أو قياس زاوية ما.